Blatt 6

Institut für Informatik
der Universität München
Prof. M. Hofmann
Dipl.-Inf. Hermann Gruber
SS 2008
28. Mai 2008
Übungen zur Vorlesung
Logik für Informatiker
Blatt 6
Aufgabe H-20: Sei L = (P, F, ar) eine prädikatenlogische Sprache mit P =
{P, Q, R}, F = {a, f, g} und einer (noch festzulegenden) Stelligkeitsfunktion ar.
a) Geben Sie geeignete Abbildungsvorschriften für ar an, so dass, bei geeigneter Wahl der Menge X der Variablensymbole, die Zeichenkette
((∀x.Q(x)) ∨ ∃x.∀y.(P (f (x), z) ∧ Q(a))) ∨ ∀z.R(x, z, g(x, x, f (x)))
eine Formel über L ist.
b) Markieren Sie, z.B. durch Unterstreichen, alle freien Vorkommen von Variablen in der in Teilaufgabe a) angegebenen Formel.
c) Zeichnen Sie für diese Formel einen Syntaxbaum mit Rückwärtsverweisen.
Aufgabe H-21: Welche der folgenden Strukturen ist ein Modell für die folgende Formel?
∃x∃y∃z.(P (x, y) ∧ P (z, y) ∧ P (x, z) ∧ ¬P (z, x))
Hierbei sei P ein zweistelliges Prädikat. Ist die Formel erfüllbar? Ist sie allgemeingültig? Begründen Sie Ihre Antworten kurz.
a) Die Struktur A mit der Menge |A| = N und der Relation
PA = { (m, n) | m, n ∈ N, m < n }
b) Die Struktur B mit der Menge |B| = N und der Relation
PB = { (m, n) | m, n ∈ N, m ist kongruent zu n modulo 42 }
c) Die Struktur C mit der Menge |C| = 2N , also der Menge aller Teilmengen
von N, und der Relation
PC = { (A, B) | A, B ∈ 2N , A ⊆ B }
–bitte wenden–
Aufgabe H-22: Sei L = (P, F, ar) eine prädikatenlogische Sprache mit P =
{kl}, F = {minus, zero, f } und Stelligkeiten ar(kl) = 2, ar(minus) = 2,
ar(zero) = 0 und ar(f ) = 1. Die Konstante zero, die zweistellige Funktion
minus und die Kleiner-Relation kl seien hier auf reellen Zahlen wie üblich
interpretiert.1 Das Epsilon-Delta-Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion
f : R → R an der Stelle x0 besagt: Zu jedem ǫ > 0 gibt es ein δ > 0, so dass:
für alle reellen Zahlen x, deren Abstand zu x0 kleiner als δ ist, der Abstand der
Funktionswerte f (x) und f (x0 ) kleiner als ǫ ist. Die Funktion f heisst punktweise stetig, falls f das Epsilon-Delta-Kriterium an jeder Stelle x0 ∈ R erfüllt.
a) Drücken Sie die Aussage “x und y haben Abstand kleiner als δ” mittels der
Kleiner-als-Relation kl und der zweistelligen Funktion minus in der oben
angegebenen prädikatenlogischen Sprache als Formel ϕ mit drei freien
Variablen x, y und δ aus.2
b) Formalisieren Sie die Aussage “f ist punktweise stetig” als geschlossene
Formel in der oben angegebenen prädikatenlogischen Sprache.
c) In obigem Kriterium kann die Zahl δ in Abhängigkeit von ǫ und von
x0 gewählt werden, so dass das Kriterium erfüllt wird. Dieses δ kann also
insbesondere für jede Stelle x0 neu gewählt werden. Eine Funktion f heisst
uniform stetig, falls dieses δ unabhängig von x0 gewählt werden kann,
so dass das Kriterium erfüllt wird. Formalisieren Sie die Aussage “f ist
uniform stetig” als Formel in der oben angegebenen prädikatenlogischen
Sprache.
1
Präzise ausgedrückt: Wir betrachten die Struktur R für L, wobei |R| die Menge der reellen
Zahlen ist, zeroR die Zahl 0, minusR : (a, b) 7→ a − b die reellwertige Minus-Funktion, und fR
eine beliebige Funktion aus R → R.
2
Präzise ausgedrückt: Gesucht ist eine Formel ϕ so dass JϕKR η = tt genau dann wenn die
reellwertige Ungleichung |η(x) − η(y)| < η(δ) erfüllt ist.