GEOMETRIE (4a) - Universität Koblenz · Landau
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Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 GEOMETRIE (4a) Kurzskript Dieses Kurzskript ist vor allem eine Sammlung von Sätzen und Definitionen und sollte ausdrücklich nur zusammen mit weiteren Erläuterungen in der Veranstaltung genutzt werden. Fehler sind wahrscheinlich, und Lücken zum Teil sogar gewollt. 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Kapitel 0 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 2 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Objekte: 0-dimensional Punkt 1-dimensional Gerade, Kreislinie, Polygon 1-dimensional mit Rand Halbgerade, Strecke, Polygonzug 2-dimensional Ebene, Figur 2-dimensional mit Rand Halbebene Der Rand eines 𝑛-dimensionalen Objektes ist immer ein Objekt der Dimension 𝑛 − 1. 3 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Beim Konstruieren mit Zirkel und Lineal sind folgende Aktionen erlaubt: Markieren beliebiger Punkte in 1- oder 2-dimensionalen -/Objekten. Konvention: Wenn nicht ausdrücklich erklärt, dann liegt solch ein Punkt nicht im Rand eines Objekts 4 Zeichnen einer Gerade durch zwei existierende Punkte Lineal Verbinden zweier existierender Punkte durch eine Strecke Lineal Markieren von Schnittpunkten von zwei 1-dimensionalen Objekten -/- Zeichnen eines Kreises um einen existierenden Mittelpunkt durch einen weiteren Punkt Zirkel Zeichnen eines Kreises um einen existierenden Mittelpunkt mit einem bekannten Radius* Zirkel Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Der Radius ist ein Abstand. Bekannte Abstände sind die Längen von existierenden Strecken bzw. der Abstand von zwei existierenden Punkten. Somit wird das Abtragen von Abständen zur grundlegenden Aufgabe des Zirkels. Eine typische Konstruktionsaufgabe in der Sekundarstufe I: Konstruiere ein Dreieck ABC. Gegeben sei 𝑙 (𝑐) = 3 𝑐𝑚, 𝑤(𝛼 ) = 60°, 𝑤(𝛽) = 45° Hier sind keine Repräsentanten für Längen/Winkelgrößen vorgegeben. Deshalb nutzen wir z.B. das Geodreieck (enthält Repräsentanten für Längen/Winkelgrößen). Die Arbeit mit dem Geodreieck interessiert uns in dieser Vorlesung nicht. 5 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 𝜸 Konventionen 𝜶 𝜷 in einem Dreieck 𝐴𝐵𝐶 heißen die Innenwinkel i.d.R. 𝛼, 𝛽, 𝛾 (𝛼 liegt an 𝐴, 𝛽 an 𝐵, 𝛾 an 𝐶) die Dreiecksseiten werden i.d.R. als Strecken zwischen den entsprechenden Eckpunkten notiert (z.B. [𝐴𝐵]) 𝑎 ist die Trägergerade von [𝐵𝐶], 𝑏 ist die Trägergerade von [𝐴𝐶], 𝑐 ist die Trägergerade von [𝐴𝐵] 6 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 vorgegebene Repräsentanten Konstruieren Sie aus den beiden gegebenen Winkeln und der gegeben Strecke ein Dreieck, so dass die Strecke von den beiden Winkeln eingeschlossen ist. 7 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Gegebene Objekte benennen: 8 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Grundkonstruktionen Abtragen Strecke Winkel Figur Halbieren Strecke Winkel Lot Fällen Errichten Mittelsenkrechte Parallele durch einen Punkt Mittelparallele 9 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Weitere Konstruktionen im Dreieck Schwerpunkt, Seitenhalbierende Inkreismittelpunkt, Winkelhalbierende Umkreismittelpunkt, Mittelsenkrechte Höhen(geraden), Höhenschnittpunkt am Kreis Mittelpunkt bestimmen Tangenten durch Punkt außerhalb des Kreises Tangente durch Punkt auf dem Kreis Vielfaches Strecke n-facher Länge & Teilen Winkel n-facher Größe Strecke in n gleichlange Strecken teilen Winkel in n gleichgroße Winkel teile 10 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Namen Punkt Gerade Strecke (halb-)offene Strecken Mittelpunkt Mittelsenkrechte Dreieck Halbgerade Winkel Winkelhalbierende Kreis 𝐴, 𝐵, 𝐶, … 𝑎, 𝑏, … , 𝑔, ℎ, … = 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, … [𝐴𝐵], [𝐶𝐷], … ]𝐴𝐵[, ]𝐶𝐷], [𝐸𝐹 [ … 𝑀[𝐴𝐵] 𝑚[𝐴𝐵] 𝐴𝐵𝐶 = [𝐴𝐵] ∪ [𝐵𝐶 ] ∪ [𝐴𝐶 ] 𝑔𝑆 , ℎ𝑆 (mit Anfangspunkt 𝑆) 𝛼, 𝛽, 𝛾,… = ∠𝐴𝑆𝐵 oder ∠(𝑔𝑆 , ℎ𝑆 ) 𝑤𝛼 , 𝑤𝛽 , … 𝑘(𝑀, [𝑀𝑃]) (mit Mittelpunkt 𝑀 durch 𝑃) Menge aller Punkte = Ebene 𝑬 Menge aller Geraden in der Ebene 𝑮 11 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16 Konvention: Wir notieren Winkel (so) grundsätzlich (wie möglich) gegen den Uhrzeigersinn: 𝛼 = ∠𝐵𝑆𝐴 = ∠(ℎ𝑆 , 𝑔𝑆 ) 12 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
