English - Universität Koblenz · Landau

Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Kapitel 3
Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis
Anwendungen & bekannte Sätze
1
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Im Folgenden werden Maßzahlen für Winkelgrößen (i.d.R. 0° − 360°)
und für Streckenlängen (in der Regel in 𝑐𝑚, oder ganz ohne Maßeinheit)
so genutzt, als wären sie formal und korrekt eingeführt worden. Wir
verlassen uns da auf unser Schulwissen.
Die Flächenmessung beruht auf folgender Idee:
So wie die Einheitsstrecke (Länge 1) genutzt
wird um eine Strecke auszumessen, soll eine
Fläche mit Einheitsquadraten (Seitenlängen
1(𝑐𝑚) , Flächeninhalt 1(𝑐𝑚2 ) ausgelegt
werden.
2
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
In einem Rechteck mit ganzzahligen Seitenlängen 𝑎 und 𝑏 ist
offensichtlich die Maßzahl seiner Flächengröße gleich dem Produkt der
Maßzahlen seiner Seitenlängen. Dies gilt aber sogar für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
Wir definieren: Der Flächeninhalt 𝐴 eines Rechtecks 𝑹 mit den
Seitenlängen 𝑎 und 𝑏 ist das Produkt der Längen 𝑎 und 𝑏: 𝐴(𝑹) = 𝑎 ∙ 𝑏
Flächeninhalte weiterer 𝑛-Ecke lassen sich über die anschauliche
Eigenschaft der Zerlegungsgleichheit definieren.
Wir nennen zwei 𝑛-Ecke 𝑃, 𝑄 zerlegungsgleich, wenn sie sich so in
gleichviele Teilpolygone zerlegen lassen, dass es eine 1-zu-1-Zuordnung
kongruenter Teilpolygone von 𝑃 und 𝑄 gibt.
3
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Ein Parallelogramm 𝑷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 ist ein konvexes Viereck, bei dem
gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Die Höhe eines Parallelogramms ist der Abstand der Trägergeraden
zweier paralleler Seiten. Ist z.B. [𝐴𝐵] eine dieser Seiten, bezeichnen wir
die Höhe mit ℎ[𝐴𝐵] . Ein Parallelogramm hat zwei i.d.R. verschiedene
Höhen.
Für ein Parallelogramm 𝑷 gilt
𝐴(𝑷) = |𝐴𝐵| ⋅ ℎ[𝐴𝐵]
𝑷 hat somit den gleichen Flächeninhalt wie ein Rechteck mit den
Seitenlängen |𝐴𝐵| und ℎ[𝐴𝐵] .
4
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
𝐴(𝑷) = |𝐴𝐵| ⋅ ℎ[𝐴𝐵]
𝑷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 hat den gleichen Flächeninhalt wie 𝑹 = 𝐴𝐵𝐸𝐹
ℎ[𝐴𝐵] = |𝐵𝐸 |
5
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Gilt [𝐶𝐷] ∩ [𝐸𝐹 ] = 𝜙, ist der Nachweis nicht ganz so einfach
6
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Gilt [𝐶𝐷] ∩ [𝐸𝐹 ] = 𝜙, ist der Nachweis nicht ganz so einfach
Eine Parallele zu 𝐴𝐵 liefert zwei kongruente Dreiecke.
7
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Gilt [𝐶𝐷] ∩ [𝐸𝐹 ] = 𝜙, ist der Nachweis nicht ganz so einfach
Eine Parallele zu 𝐴𝐵 liefert zwei kongruente Dreiecke.
Nun ist noch die Flächengleichheit des übrigen Rechtecks und übrigen
Parallelogramms nachzuweisen.
8
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Gilt [𝐶𝐷] ∩ [𝐸𝐹 ] = 𝜙, ist der Nachweis nicht ganz so einfach
Eine Parallele zu 𝐴𝐵 liefert zwei kongruente Dreiecke.
Nun ist noch die Flächengleichheit des übrigen Rechtecks und übrigen
Parallelogramms nachzuweisen.
Die beiden grün markierten Rechtecke sind kongruent.
9
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Die Höhe eines Dreiecks 𝐴𝐵𝐶 ist der Abstand der Trägergeraden einer
Seite zum Punkt außerhalb dieser Geraden. Z.B. ist ℎ[𝐴𝐵] = 𝑑 (𝐴𝐵, 𝐶 )
eine dieser Seiten, bezeichnen wir die Höhe mit. Ein Dreieck hat drei
i.d.R. verschiedene Höhen.
Für ein Dreieck 𝚫 = 𝐴𝐵𝐶 gilt
1
2
𝐴(𝚫) = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ ℎ[𝐴𝐵]
Dies folgt aus der Betrachtung eines entsprechenden Parallelogramms.
10
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Ein Trapez 𝑻 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 ist ein konvexes Viereck mit eiem Paar symmetrischer Seiten. Die Höhe eines Trapezes 𝐴𝐵𝐶𝐷 ist der Abstand der
Trägergeraden der parallelen Seiten. Ist z.B. [𝐴𝐵] eine dieser Seiten,
bezeichnen wir die Höhe mit ℎ[𝐴𝐵] . Ein Trapez, das kein Parallelogramm
ist, hat eine eindeutige Höhe.
Ein symmetrisches Trapez 𝑻𝒔 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 ist ein Trapez, und es gibt eine
Symmetrieachse 𝑚 mit 𝐴𝐵 ⊥ 𝑚 ⊥ 𝐶𝐷 ∧ 𝑆𝑚 (𝐴) = 𝐵 ∧ 𝑆𝑚 (𝐶 ) = 𝐷.
Flächenformel:
11
𝐴(𝑻𝒔 ) =
|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷 |
⋅
2
ℎ[𝐴𝐵]
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Kurzdefinitionen der besonderen (einfachen) Vierecke:
Das Parallelogramm hat zwei Paar gegenüberliegender paralleler Seiten
Das symmetrische Trapez hat ein Paar gegenüberliegender paralleler
Seiten und eine zu diesen senkrechte Symmetrieachse.
Das Drachenviereck hat zwei Paar benachbarter Seiten gleicher Länge.
Die Raute hat vier gleichlange Seiten
Das Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
Das Quadrat hat vier gleichlange Seiten und vier rechte Winkel.
12
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Das Haus der Vierecke
Eine Möglichkeit, die
besonderen Vierecke zu
charakterisieren, führt über
die Betrachtung der Punktund Achsensymmetrien.
↘, ↙ ∼ „… ist ein…“
13
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Eine letzte Formel für die Berechnung der Fläche eines besonderen
Vierecks fehlt noch:
Für ein Drachenviereck 𝑫 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 gilt:
1
𝐴(𝑇𝑠 ) = ⋅ |𝐴𝐶 | ⋅ |𝐵𝐷|
2
Einer der bekanntesten Sätze im Zusammenhang mit Flächenberechnung
ist der Satz des Pythagoras:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
14
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die dem rechten
Winkel gegenüberliegende Seite; die Katheten sind die am rechten
Winkel anliegenden Seiten.
Im Folgenden liegt der rechte Winkel immer am Punkt 𝐶.
Satz des Pythagoras: Bei jedem rechtwinkligen
Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der
Quadrate über den Katheten mit den Längen
𝑎, 𝑏 gleich dem Flächeninhalt des Quadrates
über der Hypotenuse mit der Länge 𝑐. Es gilt
also:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
15
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Dieser Satz bildet gemeinsam mit den folgenden beiden Sätzen die
Satzgruppe des Pythagoras:
Sei 𝐷 der Fußpunkt des Lots auf 𝐴𝐵 durch 𝐶. Wir nennen |𝐴𝐷 |, |𝐵𝐷| Hypotenusenabschnitte, und es sei 𝑝 = |𝐴𝐷| ∧ 𝑞 = |𝐵𝐷 |.
Kathetensatz (des Euklid)
Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das
Quadrat über einer Kathete denselben
Flächeninhalt wie das Rechteck über dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt mit
der Seitenlänge der Hypotenuse.
𝑎2 = 𝑐 ⋅ 𝑝
16
𝑏2 = 𝑐 ⋅ 𝑞
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Höhensatz (des Euklid)
Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat
das Höhenquadrat denselben
Flächeninhalt wie ein Rechteck mit
den beiden Hypotenusenabschnitten
als Seitenlängen.
ℎ2 = 𝑝 ⋅ 𝑞
ä
(Das Höhenquadrat ist das Quadrat über 𝐶𝐷)
Für alle drei Sätze gilt auch die Umkehrung, bzw.: In einem nicht
rechtwinkligen Dreieck gilt keine dieser Gleichungen.
17
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Es gibt eine Vielzahl an Beweisen für diese
Sätze, Euklid beweist den Kathetensatz über
Kongruenzen. Daraus folgt dann direkt der
Satz des Pythagoras.
Satz des Pythagoras
Kongruenzbeweis:
Aus den gegebenen rechten Winkeln und den rechten
Winkeln im Quadrat folgt: 𝐴𝐶 ∥ 𝐵𝐸 ∧ 𝐶𝐷 ∥ 𝐵𝐻
18
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Satz des Pythagoras
Kongruenzbeweis:
Aus den gegebenen rechten Winkeln und den rechten
Winkeln im Quadrat folgt: 𝐴𝐶 ∥ 𝐵𝐸 ∧ 𝐶𝐷 ∥ 𝐵𝐻
Mit Kongruenzsatz SWS gilt 𝐴𝐵𝐸 ≅ 𝐻𝐵𝐶,
denn [𝐴𝐵] ≅ [𝐻𝐵] und [𝐵𝐸 ] ≅ [𝐵𝐶 ]
und ∠𝐸𝐵𝐴 ≅ ∠𝐶𝐵𝐻
Damit gilt auch 𝐴(𝐴𝐵𝐸 ) = 𝐴(𝐻𝐵𝐶 )
19
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Satz des Pythagoras
Kongruenzbeweis:
Aus den gegebenen rechten Winkeln und den rechten
Winkeln im Quadrat folgt: 𝐴𝐶 ∥ 𝐵𝐸 ∧ 𝐶𝐷 ∥ 𝐵𝐻
Mit Kongruenzsatz SWS gilt 𝐴𝐵𝐸 ≅ 𝐻𝐵𝐶,
denn [𝐴𝐵] ≅ [𝐻𝐵] und [𝐵𝐸 ] ≅ [𝐵𝐶 ]
und ∠𝐸𝐵𝐴 ≅ ∠𝐶𝐵𝐻
Damit gilt auch 𝐴(𝐴𝐵𝐸 ) = 𝐴(𝐻𝐵𝐶 )
𝐴(𝐻𝐵𝐶 ) = 𝐴(𝐻𝐵𝐷) und 𝐴(𝐴𝐵𝐸 ) = 𝐴(𝐶𝐵𝐸 )
⟹ 𝐴(𝐻𝐵𝐷) = 𝐴(𝐶𝐵𝐸 )
20
⟹ 𝐴(𝐻𝐵𝐷𝐺 ) = 𝐴(𝐶𝐵𝐸𝐹 )
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Satz des Pythagoras
Kongruenzbeweis:
Aus den gegebenen rechten Winkeln und den rechten
Winkeln im Quadrat folgt: 𝐴𝐶 ∥ 𝐵𝐸 ∧ 𝐶𝐷 ∥ 𝐵𝐻
Mit Kongruenzsatz SWS gilt 𝐴𝐵𝐸 ≅ 𝐻𝐵𝐶,
denn [𝐴𝐵] ≅ [𝐻𝐵] und [𝐵𝐸 ] ≅ [𝐵𝐶 ]
und ∠𝐸𝐵𝐴 ≅ ∠𝐶𝐵𝐻
Damit gilt auch 𝐴(𝐴𝐵𝐸 ) = 𝐴(𝐻𝐵𝐶 )
𝐴(𝐻𝐵𝐶 ) = 𝐴(𝐻𝐵𝐷) und 𝐴(𝐴𝐵𝐸 ) = 𝐴(𝐶𝐵𝐸 )
⟹ 𝐴(𝐻𝐵𝐷) = 𝐴(𝐶𝐵𝐸 )
⟹ 𝐴(𝐻𝐵𝐷𝐺 ) = 𝐴(𝐶𝐵𝐸𝐹 )
Damit ist ein Teil des Kathetensatzes bewiesen. Der zweite Teil
wird analog bewiesen. Der Satz des Pythagoras folgt direkt
21
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Winkel am Kreis
In einem Kreis 𝑘 = 𝑘(𝑀, 𝑟) nennen wir einen orientierten Winkel ∢𝐴𝑀𝐵,
wobei 𝐴,𝐵 ∈ 𝑘 Kreispunkte sind, einen Zentri- oder Mittelpunktswinkel.
Einen gleich orientierten, nicht überstumpfen Winkel ∢𝐴𝐶𝐵 mit 𝐶 ∈ 𝑘 nennen
wir zugehörigen Peripherie- oder Umfangswinkel über der Sehne [𝐴𝐵].
Achtung: Oft findet man in der Literatur keine Festlegung der Orientierung.
Dann sind die Bezeichnungen und viele Aussagen nicht eindeutig!
22
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Zentri-Peripheriewinkelsatz
Jeder Zentriwinkel ist doppelt so groß wie ein zugehöriger Peripheriewinkel.
Im ZPWS enthalten:
Umfangswinkelsatz
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent.
Sonderfall des ZPWS:
Satz des Thales
Die Sehne [𝐴𝐵] ist der Durchmesser des Kreises
23
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Beweis:
Gegeben: Peripheriewinkel: ∢𝐴𝐶𝐵, 𝛾 = |∢ACB|
Und Zentriwinkel ∢𝐴𝑀𝐵, 𝜇 = |∢𝐴𝑀𝐵|
Sei 𝑔 = 𝑚[𝐴𝐶] , ℎ = 𝑚[𝐵𝐶]
⟹ 𝑔 ∩ ℎ = {𝑀}
⟹ 𝑆𝑔 (𝐴) = 𝐶 ∧ 𝑆ℎ (𝐶 ) = 𝐵
⟹ (𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 )(𝐴) = 𝑆ℎ (𝐶 ) = 𝐵
⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝐷𝑀,𝜇
⟹ 𝜇 = 2 ∙ |∢(𝑔, ℎ)|
Noch zu zeigen: 𝛾 = |∢(𝑔, ℎ)|
24
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Wir zeigen, dass es eine Kongruenzabbildung 𝜑 gibt mit 𝜑(∢(𝑔, ℎ) ) = ∢𝐴𝐶𝐵,
also gilt: ∢𝐴𝐶𝐵 ≅ ∢(𝑔, ℎ)
Mit 𝐷𝑀,90° (∢(𝑔, ℎ)) = ∢(𝑔′, ℎ′)
gilt |𝑔′, ℎ′| = |𝑔′, ℎ′|
und 𝐴𝐶 ⊥ 𝑔 ⊥ 𝑔′ ⟹ 𝑔′ ∥ 𝐴𝐶
und 𝐵𝐶 ⊥ ℎ ⊥ ℎ′ ⟹ ℎ′ ∥ 𝐵𝐶
Damit kann der Winkel ∢(𝑔′, ℎ′)
auf den Winkel ∢𝐴𝐶𝐵 geschoben
werden:
𝑇𝑀𝐶 (𝑀) = 𝐶 ⟹ 𝑇𝑀𝐶 (∢(𝑔′, ℎ′)) = ∢𝐴𝐶𝐵
𝛾 = |∢ACB| = |∢(𝑔′, ℎ′)| = |∢(𝑔, ℎ)|
25
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Satz des Thales (nach Thales von Milet, ca. 600 v. Chr.):
Jeder Peripheriewinkel über dem Durchmesser eines Kreises ist ein rechter
Winkel. Der Zentriwinkel ist gestreckt.
Bekanntere Formulierung:
Liegt der Punkt 𝐶 eines Dreiecks 𝐴𝐵𝐶 auf einem Halbkreis über der Strecke
𝐴𝐵, dann hat das Dreieck bei 𝐶 immer einen rechten Winkel.
Die Umkehrung gilt auch (zwei Formulierungen):
 Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der Punkt, an dem der rechte Winkel
liegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse.
 Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt auf der
Hypotenuse.
26
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
 Der Goldene Schnitt in 𝟓-Eck und Pentagramm
Beim regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel
gleich groß. Beim einfachen regelmäßigen Fünfeck messen alle Innenwinkel
3 ∙ 180°
= 108°
5
Ein überschlagenes regelmäßiges Fünfeck besteht aus den fünf Diagonalen des
einfachen regelmäßigen Fünfecks und heißt Pentagramm (fünfzackiger Stern).
Dieses hat eine mannigfaltige kulturelle und ästhetische Bedeutung





27
Symbol der Venus, des Abraxas und anderer Götter
Symbol für Gesundheit, u.a. bei Pythagoras
Symbol der Freimaurer
in der Heraldik und Numismatik (auf Wappen/Flaggen und Münzen)
in Religion und Okkultismus
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Seine besondere Ästhetik wird oft mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung
gebracht:
Als Goldenen Schnitt bezeichnet man die Teilung einer Strecke (auch Fläche
oder anderen Größe), bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren
Teil 𝑎 gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil 𝑏 ist:
𝑎+𝑏 𝑎
=
𝑎
𝑏
Im Pentagramm und der Figur F (rechts) haben
alle Strecken nur vier verschiedene Längen
2𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏, 𝑎, 𝑏
Es gilt sogar
2𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎
=
=
𝑎+𝑏
𝑎
𝑏
28
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Ausführliche Untersuchung/Beweisskizze:
5-Eck 𝑃 und Pentagramm 𝐷sind drehsymmetrisch mit dem Winkel
360°
5
= 72°:
𝐷𝑀,72° (𝑃 ∪ 𝐷) = 𝑃 ∪ 𝐷
Die Größe aller in der Figur 𝑃 ∪ 𝐷 eingezeichneten Winkel ein ganzzahliges
Vielfaches von 36° ist.
Es folgt: (1) Die Schnittpunkte der Diagonalen
bilden ein weiteres einfaches regeläßiges 5-Eck
(2) Jede Diagonale ist parallel zu einer Seite.
29
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau
Geometrie (4b)
Wintersemester 2015/16
Mit den vielfachen Winkelkongruenzen können
wir die Existenz vieler gleichschenkliger
Dreiecke nachweisen:
𝐴′ 𝐴′′ 𝐵′′ ,
𝐴′ 𝐵′′ 𝐵′
𝐵𝐴′𝐵′′,
𝐵𝐴′′𝐵′′ …
Es folgen sämtliche Kongruenzen, insbesondere
gelten |𝐴′𝐵′| ≅ |𝐵′𝐵′′| und |𝑍𝐵′| ≅ |𝐴′′𝐵′′|
Damit gilt nämlich:
𝑑(𝑃)
𝑠(𝑃)
𝑠(𝑃) 𝑑(𝑄)
=
=
=
𝑠(𝑃) 𝑑 (𝑃) − 𝑠(𝑃) 𝑑(𝑄) 𝑠(𝑄)
Mit den Bezeichnungen Diagonalenlänge 𝑑,
Seitenlänge 𝑠, großes 5-eck 𝑃, kleines 5-eck 𝑄
30
Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau