Grundwissen Mathe 7 - Digitale Schule Bayern

Grundwissen Mathematik
-9-
Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz
Jahrgangsstufe 7
7.1
Daten, Diagramme und Prozente
7.1.1
Daten und Diagramme
Zum Vergleich von Daten sind Säulen- und Balkendiagramme (unten links) geeignet.
Durchschnittstemperaturen
(Zeitliche) Veränderungen werden am günstigsten durch
Liniendiagramme (rechts) dargestellt.
Notenverteilung
10%
10
Schulweg
18%
8
6
45%
4
27%
20
15
10
5
0
2
0
1
2
3
4
5
6
Fahrradfahrer
Fußgänger
Busfahrer
Autofahrer
Das arithmetische Mittel (Durchschnitt, Mittelwert) ist
der Quotient aus der Summe der Werte und der Anzahl
der Werte.
7.1.2
25
Temperatur in Grad Celsius
Die Verteilung innerhalb einer Gesamtheit wird am besten
durch Kreisdiagramme (Mitte) gezeigt.
Jan
April
Jul
Okt
Monate
218,8 + 227,1 + 234,2
= 226,7
3
Erweiterte Prozentrechung
Zu beachten ist dabei immer, auf welche Gesamtheit sich
die Prozentaufgabe bezieht …
30% von 70% von 140
0,3 ⋅ (0,7 ⋅ 140) = 0,3 ⋅ 98 = 29,4
… und welchen Anteil die Prozentangabe darstellt.
Preissteigerung um 15% (des ursprünglichen
Preises) auf 736 €
736 € sind 115% (des ursprünglichen Wertes)
736 € : 1,15 = 640 €
7.2
Terme
7.2.1
Grundlagen
Sinnvolle Rechenausdrücke mit Variablen nennt man
Terme.
T1 ( x) = (2 x − 5) ⋅ 10
T2 (a; b) = a 2 − 4b + 7a
Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man den
Wert des Terms.
T2 (3;5) = 32 − 4 ⋅ 5 + 7 ⋅ 3 = 9 − 20 + 21 = 10
Alle Zahlen, die man einsetzen darf, bilden die Definitionsmenge D.
T3 ( x) =
Zwei Terme heißen äquivalent, wenn sie bei jeder
möglichen Einsetzung für die Variablen denselben
Wert liefern.
7.2.2
3
⇒ D = Q \ {-3 ; 2 }
( x − 2)(3 + x)
T4 (a) = 9a 2 − 6ab + b 2
und
2
T5 (a) = (3a − b) sind äquivalent.
Termumformungen
Termumformungen unter Beachtung aller Rechengesetze
erzeugen stets äquivalente Terme.
Die Rechengesetze (→ Kapitel 5.1.5) gelten auch für
alle rationalen Zahlen
Grundwissen Mathematik
- 10 -
Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz
Gleichartige Terme
•
•
sind solche, die sich nur in einem Zahlfaktor unterscheiden.
werden addiert/subtrahiert, indem man nur ihre
Vorfaktoren addiert/subtrahiert und die Variablen
beibehält.
− 3ab 2 ; 5ab 2 ; 1,7ab 2
(nicht gleichartig dazu sind : − 3a 2 b; 5ab)
− 7cd 2 + 6c 2 d + 5cd 2 − 9,4cd 2 − 3,7c 2 d =
= −7cd 2 + 5cd 2 − 9,4cd 2 + 6c 2 d − 3,7c 2 d =
= (−7 + 5 − 9,4)cd 2 + (6 − 3,7)c 2 d =
= −11,4cd 2 + 2,3c 2 d
Produkte
werden mit Hilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes vereinfacht.
(2u ) ⋅ v ⋅  1 uv  ⋅ 1 ⋅ v = 2 ⋅ u ⋅ v ⋅ 1 u ⋅ v ⋅ 1 ⋅ v =
AG
2
2  6
1 1
1
= 2 ⋅ ⋅ ⋅ u ⋅ u ⋅ v ⋅ v ⋅ v = u 2v 3
2 6
6
KG
6
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem
man ihre Exponenten addiert: a m ⋅ a n = a m + n
x 3 ⋅ x 2 = x 3+ 2 = x 5
Ein Produkt wird potenziert, indem man seine Faktoren
einzeln potenziert: (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
1 
1 3 1 3
 ⋅ b =   ⋅ b = b
8
2 
2
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten
multipliziert: (a m ) n = a m ⋅n
(3c 2 ⋅ d 3 )3 = 33 ⋅ (c 2 ) 3 ⋅ (d 3 )3 = 27 ⋅ c 2⋅3 ⋅ d 3⋅3 =
3
3
= 27c 6 d 9
Summen
•
•
werden multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der
anderen Klammer (mit entsprechenden Vorzeichen!) multipliziert.
können faktorisiert (d.h. in ein Produkt verwandelt) werden, indem man gemeinsame Faktoren der
einzelnen Summanden ausklammert.
7.3
Lineare Gleichungen
7.3.1
Grundlagen
Gleichungen heißen linear, wenn die Variable nur allein
und nicht in einer Potenz vorkommt.
(3a − 2b) ⋅ (−5a + b) = −15a 2 + 3ab + 10ab − 2b 2 =
= −15a 2 + 13ab − 2b 2
3xy 2 − 12 xy + 15 x 2 y = 3xy ⋅ ( y − 4 + 5 x )
3 x − 2 = 0;
5 x − 2 = 3 − 3x
3
nicht: x − x = −8
Äquivalenzumformungen sind Umformungen, die die Lösungsmenge L nicht ändern. Solche sind zum Beispiel,
wenn man auf beiden Seiten der Gleichung
• dieselbe Zahl oder denselben Term addiert/subtrahiert
• mit derselben von Null verschiedenen Zahl multipliziert
• durch dieselbe von Null verschiedene Zahl dividiert.
7.3.2
Lösungsverfahren
Man löst lineare Gleichungen, indem man zunächst beide
Seiten getrennt voneinander vereinfacht,
alle x-Terme auf die eine Seite,
alle Zahlen auf die andere Seite bringt
und dann durch Division (oder Multiplikation) x isoliert.
2 x + 5( x + 1) = 4( x − 2) + 1
2 x + 5x + 5 = 4 x − 8 + 1
7x + 5 = 4x − 7
| –4x
3 x + 5 = −7
| –5
3x = −12
|:3
x = −4
L = {–4}
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7.4
Symmetrie
7.4.1
Symmetriearten
- 11 -
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a
P
Achsensymmetrie
Es gibt (mindestens) eine Symmetrieachse a.
Zwei achsensymmetrische Punkte P und P‘ haben den
gleichen Abstand von a.
Die Verbindungsstrecke [PP‘] steht senkrecht auf a.
P‘
Q
R = R‘
Punktsymmetrie
Es gibt (mindestens) ein Symmetriezentrum Z.
Zwei punktsymmetrische Punkte Q und Q‘ haben den
gleichen Abstand von Z.
Die Verbindungsstrecke [QQ‘] geht durch Z.
7.4.2
Z
Q‘
Grundkonstruktionen
Mittelsenkrechte m[AB] zu [AB]
(= Symmetrieachse zu A und B)
1.
2.
A
Kreis um A und B mit Radius r
Die Gerade durch die Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte.
Winkelhalbierende w
1.
2.
B
P
m[AB]
w
Kreis um S mit beliebigem Radius schneidet die Schenkel in den Punkten P und Q
Die Symmetrieachse zu P und Q ist die Winkelhalbierende w.
7.4.3
Q
Symmetrische Vierecke
Parallelogramm
Raute
Quadrat
7.5
Winkel
7.5.1
Winkel an einer Geradenkreuzung
Drachenviereck
Rechteck
gleichschenkliges Trapez
Gegenüberliegende Winkel nennt man Scheitelwinkel
Angrenzende Winkel nennt man Nebenwinkel
Eigenschaften: Scheitelwinkel sind gleich groß:
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°:
7.5.2
α
δ
γ
β
α = γ und β = δ
α + δ = δ + γ = γ + β = β + α = 180°
Winkel an Doppelkreuzungen
Stufenwinkel:
α1 und α2 ; β 1 und β 2 ; γ1 und γ2 ; δ1 und δ2
β1 α
1
γ1 δ
1
Wechselwinkel (z.B.):
α1 und γ2 ; β 1 und δ2 ; γ1 und α2 ; δ1 und β 2
Eigenschaften: Stufenwinkel sind gleich groß.
Wechselwinkel sind gleich groß.
β2
γ2
h
α2
δ2
g1
g1 || g2
g2
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7.5.3
- 12 -
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Innenwinkelsummen
τ
γ
Die Summe der Innenwinkel
eines Dreiecks beträgt 180°.
α
β
Die Summe der
Innenwinkel eines Vierecks
beträgt 360°.
ω
ε + ω + ϕ + τ = 360°
α + β + γ = 180°
7.6
Dreiecke
7.6.1
Grundlagen
ϕ
ε
Dreiecksungleichung(en): In jedem Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten größer als die Länge der dritten
Seite.
Seitenlängen ↔ Winkel: In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber.
7.6.2
Besondere Strecken und Geraden in Dreiecken
Höhe:
In jedem Dreieck gibt es drei Höhen ha, hb und hc.
Es handelt sich jeweils um die Lotstrecken von einem
Eckpunkt des Dreiecks auf die gegenüberliegende
Seite.
C
a
hc
b
B
A
C
γ
c
Winkelhalbierende:
In jedem Dreieck gibt es drei Winkelhalbierende
wα, wβ und wγ.
Mittelsenkrechte:
In jedem Dreieck gibt es drei Mittelsenkrechte
ma, mb und mc.
Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem
Punkt, dem Umkreismittelpunkt. Der Umkreis um
diesen Punkt verläuft durch die Ecken des Dreiecks.
7.6.3
B
C
A
B
mc
B
c
A
mc
A
C
γ
a
b
A
β
α
c
gleichschenkliges Dreieck:
• zwei gleich lange Seiten (Schenkel)
• zwei gleich große Winkel (Basiswinkel)
• eine Symmetrieachse
a=b=c
α = β = γ = 60°
B
Spitze
Schenkel
Schenkel
Basiswinkel
Basis
rechtwinkliges Dreieck:
• ein Winkel 90°
• die Katheten liegen am 90°-Winkel an
• die Hypotenuse liegt dem 90°-Winkel gegenüber
ma
mb
a
b
Besondere Dreiecke
gleichseitiges Dreieck:
• drei gleich lange Seiten
• drei gleich große Winkel
• drei Symmetrieachsen
β
α
C
wα
Kathete
Hypotenuse
Kathete
Basiswinkel
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7.6.4
- 13 -
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Kongruenzsätze für Dreiecke
F
G
Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen
deckungsgleich oder kongruent.
F≅G
SSS
SWS
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten
übereinstimmen.
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten
und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel
übereinstimmen.
WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer
SWW Seite und zwei gleichliegenden Winkeln
übereinstimmen.
SsW
7.6.5
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten
und dem Gegenwinkel der größeren Seite
übereinstimmen.
SSS
SWS
SWW
WSW
SsW
Satz des Thales
C
Ein Dreieck ABC hat genau dann einen rechten Winkel
bei C, wenn C auf einem Kreis über der Strecke [AB]
liegt.
A
Thaleskreis über [AB]
B