Grundwissen 7

Grundwissen Mathematik
1
Jahrgangsstufe 7
Terme
T1 ( x) = (2 x − 5) ⋅ 10
Sinnvolle Rechenausdrücke aus Variablen und Zahlen
nennt man Terme.
T2 (a; b) = a 2 − 4b + 7a
Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man
den Wert des Terms.
T2 (3;5) = 32 − 4 ⋅ 5 + 7 ⋅ 3 = 9 − 20 + 21 = 10
Alle Zahlen, die man einsetzen darf, bilden die Definitionsmenge D.
T3 ( x) =
Summen
2
werden multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden
der anderen Klammer (mit entsprechenden Vorzeichen!) multipliziert.
können faktorisiert (d.h. in ein Produkt verwandelt) werden, indem man gemeinsame Faktoren
der einzelnen Summanden ausklammert.
3
⇒ D = Q \ {-3 ; 2 }
( x − 2)(3 + x)
(3a − 2b )(− 5a + b ) = −15a 2 + 3ab + 10ab − 2b 2 =
= −15a 2 + 13ab − 2b 2
3xy 2 − 12 xy + 15 x 2 y = 3xy ⋅ ( y − 4 + 5 x )
Gleichungen
Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben.
Äquivalenzumformungen sind Umformungen, die die Lösungsmenge L nicht ändern. Solche sind zum Beispiel,
wenn man auf beiden Seiten der Gleichung
dieselbe Zahl oder denselben Term addiert/subtrahiert
mit derselben von Null verschiedenen Zahl multipliziert
durch dieselbe von Null verschiedene Zahl dividiert.
Man löst lineare Gleichungen, indem man zunächst
beide Seiten getrennt voneinander vereinfacht,
alle x-Terme auf die eine Seite,
alle Zahlen auf die andere Seite bringt
und dann durch Division (oder Multiplikation) x isoliert.
2 x + 5( x + 1) = 4( x − 2) + 1
2 x + 5x + 5 = 4 x − 8 + 1
7x + 5 = 4x − 7
| –4x
3 x + 5 = −7
| –5
3x = −12
|:3
x = −4
3
L = {–4}
Symmetrie
Achsensymmetrie
Es gibt (mindestens) eine Symmetrieachse a.
Zwei achsensymmetrische Punkte P und P‘ haben den
gleichen Abstand von a.
Die Verbindungsstrecke [PP‘] steht senkrecht auf a.
P
a
P‘
Q
R = R‘
Punktsymmetrie
Es gibt (mindestens) ein Symmetriezentrum Z.
Zwei punktsymmetrische Punkte Q und Q‘ haben den
gleichen Abstand von Z.
Die Verbindungsstrecke [QQ‘] geht durch Z.
Z
Q‘
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Grundwissen Mathematik
Jahrgangsstufe 7
Grundkonstruktionen
Mittelsenkrechte m[AB] zu [AB]
(= Symmetrieachse zu A und B)
1.
2.
A
Kreis um A und B mit Radius r
Die Gerade durch die Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte.
Winkelhalbierende w
1.
2.
B
P
w
m[AB]
Kreis um S mit beliebigem Radius schneidet die Schenkel in den Punkten P und Q
Die Symmetrieachse zu P und Q ist die Winkelhalbierende w.
Symmetrische Vierecke (
Q
• Punktsymmetriezentrum,
Symmetrieachse)
Parallelogramm
4
Raute
Quadrat
Drachenviereck
gleichschenkliges Trapez
Rechteck
Winkel
Winkel an einer Geradenkreuzung
gegenüberliegende Winkel nennt man Scheitelwinkel
angrenzende Winkel nennt man Nebenwinkel
Eigenschaften:
α
δ
γ
β
Scheitelwinkel sind gleich groß:
α = γ und β = δ
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°:
α + δ = δ + γ = γ + β = β + α = 180°
Winkel an Doppelkreuzungen
Stufenwinkel:
β1 und β2
α1 und α2
γ1 und γ2
δ1 und δ2
Wechselwinkel (z.B.):
α1 und γ2
β1 und δ2
γ1 und α2
δ1 und β2
Eigenschaften:
β1 α
1
γ1 δ
1
γ2
Stufenwinkel sind gleich groß.
Wechselwinkel sind gleich groß.
g1 || g2
β2 α
2
δ2
g2
h
Innenwinkelsummen
τ
γ
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt
180°.
Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt
360°.
5
g1
ϕ
ε
α
β
ω
α + β + γ = 180°
ε + ω + ϕ + τ = 360°
Kongruenz
Definition
F
Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen
deckungsgleich (gleiche Größe und Form) oder
kongruent.
G
F≅G
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Grundwissen Mathematik
Jahrgangsstufe 7
Kongruenzsätze für Dreiecke
SSS
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten übereinstimmen.
SSS
SWS
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen.
SWS
WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer
SWW Seite und zwei gleichliegenden Winkeln
übereinstimmen.
SsW
6
SWW
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite
übereinstimmen.
WSW
SsW
Dreiecke
Besondere Strecken und Geraden in Dreiecken
Höhe:
In jedem Dreieck gibt es drei Höhen ha, hb und hc.
Es handelt sich jeweils um die Lotstrecken von einem
Eckpunkt des Dreiecks auf die gegenüberliegende
Seite.
C
a
b
B
c
A
Winkelhalbierende:
In jedem Dreieck gibt es drei Winkelhalbierende
wα, wβ und wγ. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt
des Inkreises, der die Seiten des Dreiecks berührt.
C
γ
C
wα
β
α
B
C
ma
mb
A
a
b
Mittelsenkrechte:
In jedem Dreieck gibt es drei Mittelsenkrechte
ma, mb und mc. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt
des Umkreises, der durch die Ecken des Dreiecks
verläuft.
hc
B
mc
B
c
A
mc
A
C
γ
Besondere Dreiecke
gleichseitiges Dreieck:
drei gleich lange Seiten
drei gleich große Winkel
a
b
A
β
α
c
a=b=c
α = β = γ = 60°
B
gleichschenkliges Dreieck:
zwei gleich lange Seiten (Schenkel)
zwei gleich große Winkel (Basiswinkel)
Spitze
Schenkel
Schenkel
Basiswinkel
rechtwinkliges Dreieck:
ein Winkel 90°
die Katheten liegen am 90°-Winkel an
die Hypotenuse liegt dem 90°-Winkel gegenüber
Basis
Kathete
Basiswinkel
Kathete
Hypotenuse
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Jahrgangsstufe 7
C
Satz des Thales
Ein Dreieck ABC hat genau dann einen rechten Winkel
bei C, wenn C auf einem Kreis über der Strecke [AB]
liegt.
A
B
Thaleskreis über [AB]
7
Arithmetisches Mittel und Prozente
Das arithmetische Mittel (Durchschnitt, Mittelwert) ist
der Quotient aus der Summe der Werte und der Anzahl der Werte.
218,8 + 227,1 + 234,2
= 226,7
3
Berechnungen mit Prozenten
Jede Prozentaufgabe besteht aus 3 Angaben (siehe auch
Grundwissen 6. Jahrgangsstufe, Seite 3)
17,5% von 120 kg = 21 kg
Prozentsatz
Grundwert
Prozentwert
Berechnung des Prozentsatzes
21 kg
= 0,175 = 17,5%
120 kg
Berechnung des Grundwertes
21 kg : 0,175 = 120 kg
Zu beachten ist dabei immer, auf welche Gesamtheit
sich die Prozentaufgabe bezieht …
30% von 70% von 140
0,3 ⋅ (0,7 ⋅ 140) = 0,3 ⋅ 98 = 29,4
… und welchen Anteil die Prozentangabe darstellt.
Preissteigerung um 15% (des ursprünglichen Preises)
auf 736 €
736 € sind 115% (des ursprünglichen Wertes)
736 € : 1,15 = 640 €
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