Grundwissen Kongruenz und Dreiecke
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Werdenfels – Gymnasium – Grundwissen Mathematik Grundwissen Dreiecke und Kongruenz Kongruenz und besondere Dreiecke Kongruente Figuren Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie deckungsgleich ist. Zwei Figuren können durch Kongruenzabbildungen zur Deckung gebracht werden. • Achsenspiegelung • Drehung • Verschiebung • Punkstpieglung sind Kongruenzabbildungen. Kongruenzssätze Für Dreicke gibt es fünf Sätze, mit deren Hilfe man die Kongruenz von Dreiecken nachweisen kann. • Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. (sss- Satz) • Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. (sws- Satz) • Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkel und der angrenzenden Seite übereinstimmen. (wsw- Satz). • Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite, einem angrenzenden Winkel und einem der Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. (sww- Satz) • Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der größten Seite, dem gegenüberligenden Winkel und einer weiteren Seite übereinstimmen. Mit Hilfe der 5 Kongruenzsätze kann man geometrische Sätze beweisen. 1 Werdenfels – Gymnasium – Grundwissen Mathematik Der mathematische Satz ist in der Wenn- Dann- Form: • Im Wenn- Teil steht die Voraussetzung. • im Dann- Teil steht die Behauptung. Werden Behauptung und Voraussetzung vertauscht, dann spricht man vom Kehrsatz. Besondere Dreiecke Das gleichschenklige Dreieck Ein Dreieck, welches zwei gleichlange Seiten aufweist, ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die gleichlangen Seiten sind die Schenkel, die dritte, verschiedenlange Seite, ist die Basis. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel immer gleich groß. Transversalen im Dreieck Unter Transversalen eines Dreiecks werden Linien verstanden, die durch die Fläche des Dreiecks verlaufen. Wir haben verschiedene derartige Transversalen kennengelernt: Transversale Höhe Beschreibung Sie ist die Senkrechte durch den Eckpunkt eines Dreiecks auf die gegenüberliegende Dreicksseite. Seitenhalbierende Sie ist die Verbindung eines Eckpunkts mit der Seitenmitte der gegenüberliegenden Seite. Winkelhalbierende Sie halbiert den Winkel in einem Eckpunkt. Rechtwinklige Dreiecke Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die folgenden Begriffe üblich: • Die Dreiecksseite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypothenuse . • Die Dreiecksseiten, die an dem rechten Winkel anliegen, sind die Katheten des Dreiecks. Im Dreieck ist vorallem der Satz von Thales wichtig: 2 Werdenfels – Gymnasium – Grundwissen Mathematik Die Gegenecke der Hypothenuse eines rechtwinkliges Dreiecken liegt auf einem Kreis mit der Hypothenuse als Durchmesser. 3
