Grundwissen Kongruenz und Dreiecke

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Werdenfels – Gymnasium – Grundwissen Mathematik
Grundwissen Dreiecke und Kongruenz
Kongruenz und besondere Dreiecke
Kongruente Figuren
Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie deckungsgleich ist. Zwei Figuren können durch
Kongruenzabbildungen zur Deckung gebracht werden.
• Achsenspiegelung
• Drehung
• Verschiebung
• Punkstpieglung
sind Kongruenzabbildungen.
Kongruenzssätze
Für Dreicke gibt es fünf Sätze, mit deren Hilfe man die Kongruenz von Dreiecken nachweisen kann.
• Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten
übereinstimmen. (sss- Satz)
• Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und
dem Zwischenwinkel übereinstimmen. (sws- Satz)
• Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkel und
der angrenzenden Seite übereinstimmen. (wsw- Satz).
• Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite, einem
angrenzenden Winkel und einem der Seite gegenüberliegenden
Winkel übereinstimmen. (sww- Satz)
• Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der größten Seite, dem gegenüberligenden Winkel und einer weiteren Seite
übereinstimmen.
Mit Hilfe der 5 Kongruenzsätze kann man geometrische Sätze beweisen.
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Der mathematische Satz ist in der Wenn- Dann- Form:
• Im Wenn- Teil steht die Voraussetzung.
• im Dann- Teil steht die Behauptung.
Werden Behauptung und Voraussetzung vertauscht, dann spricht man vom Kehrsatz.
Besondere Dreiecke
Das gleichschenklige Dreieck
Ein Dreieck, welches zwei gleichlange Seiten aufweist, ist ein gleichschenkliges Dreieck.
Die gleichlangen Seiten sind die Schenkel, die dritte, verschiedenlange Seite, ist die Basis.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel immer
gleich groß.
Transversalen im Dreieck
Unter Transversalen eines Dreiecks werden Linien verstanden, die durch die Fläche des
Dreiecks verlaufen. Wir haben verschiedene derartige Transversalen kennengelernt:
Transversale
Höhe
Beschreibung
Sie ist die Senkrechte durch den Eckpunkt
eines Dreiecks auf die gegenüberliegende Dreicksseite.
Seitenhalbierende Sie ist die Verbindung eines Eckpunkts
mit der Seitenmitte der gegenüberliegenden Seite.
Winkelhalbierende Sie halbiert den Winkel in einem Eckpunkt.
Rechtwinklige Dreiecke
Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die folgenden Begriffe üblich:
• Die Dreiecksseite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypothenuse .
• Die Dreiecksseiten, die an dem rechten Winkel anliegen, sind die Katheten des
Dreiecks.
Im Dreieck ist vorallem der Satz von Thales wichtig:
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Die Gegenecke der Hypothenuse eines rechtwinkliges Dreiecken liegt
auf einem Kreis mit der Hypothenuse als Durchmesser.
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