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Arbeitsblatt, Aufgaben LaWeMa Seite 1 Mathe-AG des SFZ Inhaltsverzeichnis: 1 Was sollte man vom Schulstoff wissen? .................................................................................. 1 2 Weitere Hilfsmittel ................................................................................................................... 2 Literatur ....................................................................................................................................... 2 Link ............................................................................................................................................. 2 1 Was sollte man vom Schulstoff wissen? a) Wenn ein oder mehrere Größen gesucht werden, die bestimmte Bedingungen erfüllen müssen, kann man diese mit Gleichungen zu berechnen versuchen. Nimm an, dass die Bedingung für die Größen x,y, .. erfüllt sind, erstelle mit Hilfe der Bedingungen so viele Gleichungen, wie Du Unbekannte hast und löse die Gleichungen. Aber Vorsicht: Damit hat man erst gezeigt, was gelten muss, wenn es eine Lösung gibt. Es ist noch zu zeigen, dass diese Variablenwerte eine Lösung sind. (In der Schule nennt man dies oft Probe) b) Wenn es um Teiler von Zahlen oder andere Eigenschaften von natürlichen Zahlen geht, ist die Zerlegung in Primzahlen oft hilfreich: Jede Zahl hat eine eindeutige Zerlegung in Primzahlen. c) Sollen geometrische Aufgaben bearbeitet werden, so sollte man versuche, die Figuren aus Dreiecken und Kreisteilen aufzubauen, indem man sie zusammensetzt oder indem man von ihnen Dreiecke weg nimmt. d) Die Fläche von Dreiecken ist das halbe Produkt aus der Grundseite und der Höhe. Ist es ein rechtwinkliges Dreieck, so ist dies das halbe Produkt der beiden Katheten. Eine Dreiecksfläche ändert sich also nicht, wenn man die Spitze auf einer Parallelen zur Grundseite bewegt, bewegt sich die Spitze auf einer anderen Geraden, so nimmt die Fläche proportional zur Höhe zu. e) Strahlensätze (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Strahlens%C3%A4tze) f) Kongruenzsätze (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzs%C3%A4tze) 1. SSS-Satz: Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent. 2. WSW-Satz: Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent. 3. SWS-Satz: Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent. 4. SsW-Satz: Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent. g) Thalessatz und seine Umkehrung (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Thales): Die freien Ecken C aller rechtwinkligen Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse AB liegen auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB. MatheSFZ_AB01.doc W.Seyboldt Stand: 12.9.12 Arbeitsblatt, Aufgaben LaWeMa Seite 2 Mathe-AG des SFZ Und seine Umkehrung: Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf einem Kreis liegen, dass eine Seite, etwa AB ein Halbkreis ist, hat bei der dritten Seite C einen rechten Winkel. Dies kann man einsetzen, um z.b. zu zeigen, dass irgendwo ein rechter Winkel ist oder man damit zeigen, dass sich ein Punkt auf einem Kreis bewegt. Die Gerade von C nach M, der Mitte der Strecke AB teilt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke. Jetzt kann man etwas über Winkel aussagen. h) Oft kann man Geometrieprogramme, z.B. Geogebra zu Hilfe nehmen, wenn man sich eine Vorstellung von der Aufgabe machen möchte. Bewege Punkte. 2 Weitere Hilfsmittel i) Soll man beweisen, dass zwei Aussagen A und B gleichwertig (äquivalent) sind, so zeigt man dass aus der Aussage A die Aussage B folgt und davon unabhängig zeigt man, dass aus der Aussage B die Aussage A folgt. Der Beweis besteht also aus zwei unabhängigen Teilen. j) Muss man etwas bestimmen oder berechnen, so sollt man nie vergessen, die Probe zu machen. Dies ist der eigentliche Beweis. Das in der Schule übliche Gleichungslösen zeigt eigentlich nur, dass die Lösung bestimmt Eigenschaften erfüllen muss, oder besser, dass alle Zahlen, die nicht Lösung sind, keine Lösung sein können. k) Vollständige Induktion Literatur 1. 2. 3. 4. 5. F. Meier: Mathe ist cool, junior, Cornelsen-Verlag Engel: Problem-Solving Strategies, Springer-Verlag Natalia Grinberg: Lösungsstrategien, Verlag Harri Deutsch Wolfgang Mayer: Lösungsstrategien für mathematische Aufgaben Specht / Strich: geometria, Uni Magdeburg Link Die Infos und Unterlagen sind im Dropbox-Ordner https://www.dropbox.com/sh/i4dhi25o2rzbhrn/JIt8mfwpHp zu finden. MatheSFZ_AB01.doc W.Seyboldt Stand: 12.9.12
