Zahlenlehre 02 - BRG Krems Ringstraße

Zahlenlehre
Mag. Daniel Zeller
Menge der rationalen ZAHLEN
Problemstellung:
b ⋅ x = a mit a, b ∈ ] b ≠ 0 ist nur dann in ] lösbar, wenn b a .
Lösen der Gleichung:
b ⋅ x = a ⇒ x = a : b ……... x ist Quotient und a : b lässt man als Symbol stehen, auch
wenn b | a , schreibt man
Def.:
a
.
b
Das Verhältnis (des Quotienten) zweier ganzer Zahlen nennt man rationale Zahl.
_ = { ab a, b ∈ ] ∧ b ≠ 0} …Menge der rationalen Zahlen
Achtung: Division durch Null
a
∈ ] wenn b a , d.h. die Menge der ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.
b
_ ist eine Erweiterung von ] . ] ist in _ eingebettet.
Wenn b | a , dann nennt man
a
Bruchzahl!
b
Bsp.:
Zwei Darstellungsarten einer Bruchzahl sind üblich:
1. BRUCHFORM (Bruch)
2. DEZIMALFORM (Dezimalzahl)
Ad 1.) Die Darstellung in Bruchform ist nicht eindeutig!
Bsp.:
1 2 3 4
= = = = ... „äquivalente Brüche“ (vom Wert her gleich)
2 4 6 8
a a⋅k
=
b b⋅k
k ∈ ] \ {0}
]∗ = ] \ {0}
Erweitern
Kürzen
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Die Veranschaulichung erfolgt durch Gitterpunkte einer Geraden:
Man kann einen Bruch beliebig erweitern, aber nur solange kürzen, bis der ggT(a,b) = 1 ist,
d.h. a und b relativ prim sind.
Ad 2.) Die Darstellung in Dezimalform
Endliche Dezimalzahlen sind nur besondere Schreibweisen für Brüche, deren Nenner
dekadische Einheiten sind.
1
10
1
0,01 =
100
1
0,001 =
1000
............................
0,1
=
0,000...001
=
=
=
=
1
101
1
102
1
103
1
10n
=
=
10 −1
=
10−2
=
10 −3
10 − n
Dezimalzahlen sind die Fortsetzung der Darstellung einer Zahl im Zehnersystem, dabei gibt
es auch negative Exponenten.
43,853 = 4 ⋅ 101 + 3 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10−1 + 5 ⋅ 10−2 + 3 ⋅ 10−3
Umwandlung: Dezimalzahl in Bruch
Bsp.:
Umwandlung: Bruch in Dezimalzahl
Bsp.:
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Umwandlung: Bruch in periodische Dezimalzahl
Bsp.:
Umwandlung: periodische Dezimalzahl in Bruch
Bsp.:
Jeder Bruch (rationale Zahl) lässt sich als endliche Dezimalzahl oder als unendliche
periodische Dezimalzahl darstellen!
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Mag. Daniel Zeller
Besondere Darstellung eines Bruches – KETTENBRUCH
Bsp.:
127
23
=2+
52
52
1
= 2 + 52
23
=2+
1
2 + 236
=2+
1
2 + 231
6
=2+
1
2 + 3 +1 5
6
=2+
1
2 + 3 +1 1
6
5
=2+
1
2+
1
3 + 11
1+
5
wenn hier 1 steht, dann ist die Kette aus
127
= [ 2 ; 2 ; 3 ; 1; 5 ]
52
Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher Kettenbruch darstellen. Diese Darstellung ist
eindeutig.
Die Menge _ bildet bezüglich der Addition und Multiplikation einen Körper.
(_ ; +
;⋅
)
KÖRPER der rationalen Zahlen
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