Behauptung: Zahlenlehre 1

„Die Mathematik ist die Königin
der Wissenschaften und die
Zahlentheorie ist die Königin der
Mathematik“ (Carl Friedrich Gauß)
Zahlenlehre 1
2. Termin, Wien 2014
© Mag.a Dagmar Kerschbaumer
Letzter Termin
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Einführung in die Zahlentheorie
Begriffsklärung (Axiom, Satz, Beweis …)
Peano-Axiome (N)
Beweisarten
Zahlenlehre 1
Direkte Beweise
Proposition (Quadrate gerader Zahlen):
Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade.
Vorgang:
 mit der Voraussetzung beginnen
 umformen
 daraus die Behauptung herleiten
Zahlenlehre 1
Behauptung:
 A \ B   B \ A   A  B 
Übungsaufgaben
Zahlenlehre 1
Übungsaufgabe 1: Mengenlehre, logisches Schließen:
 Mengenlehre (Symbole aus der Mengenlehre)
 Grundbegriffe des logischen Schließens (Symbole aus der
Logik)
vorstellen (inkl. Kurzbeispielen)
Übungsaufgabe 2 (direkter BW):
a) Beweisen Sie, dass die Summe von zwei geraden Zahlen
wieder gerade ist.
b) Beweisen Sie, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl
wieder ungerade ist. (Anmerkung: kann auch indirekt gezeigt
werden)
Zahlenlehre 1
Indirekter Beweise
Satz: Es gibt keine rationale Zahl x mit x² = 2.
Vorgang:
 das Gegenteil annehmen
 logische Schlusskette aufbauen
 das führt in einen Widerspruch
 Daher kann die Annahme nicht richtig gewesen sein und daher
muss das Gegenteil (also die Behauptung des Satzes) wahr sein.
Übungsaufgaben
Zahlenlehre 1
Übungsaufgabe 3 (indirekter BW):
Zeigen Sie, dass für a, b   aus a  b die Ungleichung
a b
 2
b a
folgt.
Prüfen Sie, ob auch die Umkehrung gilt.
Zahlenlehre 1
Prinzip der vollständigen Induktion:
Das 5. Peano-Axiome ist wesentlich für das Beweisverfahren der
vollständigen Induktion. D.h., wenn eine Aussage, falls sie auf ein
allgemeines n zutrifft, auch auf den Nachfolger von n zutrifft, und wenn
diese Aussage für 1 gilt, dann gilt sie für alle natürlichen Zahlen.
(vgl. 1. Seminartermin: 5) Ist M eine Teilmenge von N mit a є M und enthält M zu
jedem Element auch dessen Nachfolger, so gilt M = N.)
(1) Behauptung
(2) Induktionsanfang: Man zeigt, die Behauptung ist richtig.
Anmerkung:
Häufig beginnt man bei der vollständigen Induktion mit 1
(man könnte auch mit 0 beginnen).
(3) Induktionsschritt: Man nimmt nun an, dass diese
Behauptung auch für n gilt und folgert daraus, dass sie auch
für n+1 gilt.
Zahlenlehre 1
Gaußsche Summenformel

arithmetischen Reihe (Summe n aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen)

Carl Friedrich Gauß (1777-1855, Göttingen)

erster Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra (in seiner
Dissertation)

Zahlentheorie

Theorie der Himmelsmechanik …

Buchtipp: Kehlmann, Daniel: Die Vermessung der Welt (Rowohlt, Reinbek
2005). (auch verfilmt 2012; fiktive Doppelbiographie, Carl Friedrich Gauß
und Alexander von Humboldt, 1769–1859)
Zahlenlehre 1
BW:
(1) Behauptung:
1+2+…+n=
(2) Induktionsanfang:
1
n  n  1
2
1 2
2
(3) Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Formel für
n gilt und zeigen, dass sie auch für n+1 gilt.
1+2+…+n+n+1 =
n  n  1
+n+1 =

2
n 2  n  2n  2 n 2  3n  2 n  1  n  2  n  1  n  1  1
qed




2
2
2
2
Übungsaufgaben
Zahlenlehre 1
Übungsaufgabe 5 (vollständige Induktion):
Zeigen Sie, dass für die Summe von m natürliche Zahlen gilt:
m
k² 
k 1
m  m  1  2m  1
6
Übungsaufgabe 6 (vollständige Induktion):
Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
1
n


n 1
k 1 k  k  1
Übungsaufgabe 7 (Fibonacci-Zahlen):
Stellen Sie die Fibonacci-Zahlen vor (Kaninchen Problem, Definition)
und zeigen Sie, dass für die Fibonacci-Zahlen die Beziehung
n
F
i 1
i
2
 Fn  Fn 1
für alle natürlichen Zahlen n gilt.
Arbeitsphase im Seminar
Zahlenlehre 1
I) Zeigen Sie durch Induktion, dass für die Summe von m natürliche
Zahlen gilt:
2
m
 m  m  1 
3
k 


2


k 1
Verwendete Literatur
Zahlenlehre 1
Fachliteratur:
Kaiser, Hans, Nöbauer, Wilfried: Geschichte der Mathematik (3. Auflage, München, Wien 2002).
Reiss, Kristina, Schmieder, Gerald: Basiswissen Zahlentheorie. Eine Einführung in Zahlen und
Zahlenbereiche (3. Auflage, Berlin Heidelberg 2014).
Schichl, Hermann, Steinbauer Roland: Einführung in das mathematische Arbeiten (2., überarbeitete
Auflage, Berlin Heidelberg 2012).