Menge der komplexen ZAHLEN

Zahlenlehre
Mag. Daniel Zeller
Menge der komplexen ZAHLEN
x 2 − 8 x + 17 = 0
x1,2 = 4 ± 16 − 17
x1,2 = 4 ± −1
Die Diskriminate D<0 => in \ nicht lösbar!
Probe:
(4 +
)
(
2
)
−1 − 8 ⋅ 4 + −1 + 17 =
16 + 8 ⋅ −1 + ( −1) − 32 − 8 ⋅ −1 + 17 = 0
16 − 1 − 32 + 17 = 0 w .A.
Man rechnet dabei formal mit den Rechengesetzen der Menge \ , obwohl
−1 und damit
4 + −1 in \ gar nicht definiert ist.
Was versteht man unter
−1 ? Gibt es diese Wurzel?
•
Im Mittelalter: „unmögliche Zahl“
•
Vieta: „eingebildete Zahl“, „imaginäre Zahl“, „komplexe Zahl“
•
Euler:
−1 = i und damit i 2 = −1
ABER:
−1 = −1 ⋅ −1 = ( −1) ⋅ ( −1) =
1 =1
Rechenregel, die nur in \ bewiesen ist.
a ⋅ b = a⋅b
a, b ≥ 0
Existiert i als Zahl?
x1 = 4 + −1 = 4 + i
x1 = 4 − −1 = 4 − i
Probe:
(4 ± i )
2
− 8 ⋅ ( 4 ± i ) + 17 =
16 ± 8 ⋅ i + i 2 − 32 ± 8 ⋅ i + 17 = 0
1 + i 2 = 1 − 1 = 0 w .A.
Beide Ausdrücke sind Lösungen der Gleichung. Man kann sie daher als Zahlen ansehen.
=> damit existiert i wirklich!
Seite 49
Zahlenlehre
Mag. Daniel Zeller
i .............imaginäre Einheit
a ⋅ i .........imaginäre Zahlen (a ∈ \ )
4 + i⎫
⎬ komplexeZahlen
4 − i⎭
Allgemein:
z = a + b⋅i
a, b ∈ \
⇒ KOMPLEXE ZAHLEN
a… Realteil
b… Imaginärteil
Sonderfälle:
1. a = 0 : z = 0 + b ⋅ i = b ⋅ i
Imaginäre Zahl. Imaginäre Zahlen sind auch komplexe Zahlen
2. b = 0 : z = a + 0 ⋅ i = a
Reelle Zahl: Reelle Zahlen sind auch komplexe Zahlen
3. a = 0 ∧ b = 0 : z = 0 + 0 ⋅ i = 0
Die Zahl 0 ist reell und imaginär.
^ …. Menge der komplexen Zahlen (0, reelle und imaginäre Zahlen)
^ .... a + b ⋅ i
a, b ∈ \
Mengendiagramm:
Wann liegt Gleichheit von komplexen Zahlen vor?
a + b ⋅ i = a′ + b′ ⋅ i ⇔ a = a′ ∧ b = b′
Komplexe Zahlen sind nur dann gleich, wenn sie in REALTEIL und IMAGINÄRTEIL
übereinstimmen.
Kann man komplexe Zahlen ihrer Größe nach ordnen?
1 + 4i > 1 + 2i
−1
4i > 2i
−2i
2i > 0
:2
i >0
⋅i
i2 > 0
−1 > 0
f .A.
1 + 4i < 1 + 2i
Komplexe Zahlen kann man NICHT der Größe nach ordnen. Sie sind daher nicht auf der
Zahlengeraden (ausgenommen die Teilmenge der reellen Zahlen) durch Punkte darstellbar.
Seite 50
Zahlenlehre
Mag. Daniel Zeller
RECHNEN mit komplexen Zahlen
1) Addition
( 2 + 3 i ) + ( 4 + 5i ) = 6 + 8 i
Definition:
(a + b ⋅ i ) + (c + d ⋅ i ) = (a + c ) + (b + d ) ⋅ i
2) Subtraktion
( 2 + 3i ) − ( 4 + 5i ) = −2 − 2i
Definition:
(a + b ⋅ i ) − (c + d ⋅ i ) = (a − c ) + (b − d ) ⋅ i
3) Multiplikation
( 2 + 3i ) ⋅ ( 4 + 5i ) = 8 + 12i + 10i + 15i 2
= 8 + 22i − 15
= −7 + 22i
Definition:
( a + b ⋅ i ) ⋅ ( c + d ⋅ i ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) ⋅ i
Definition:
Zwei komplexe Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden,
nennt man KONJUGIERT KOMPLEXE Zahlen.
z = a + bi
z = a − bi
Mutliplikation
( a + bi ) ⋅ ( a − bi ) = a2 − b2i 2 = a2 + b2
Addition
( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a
Summe und Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen sind reell.
4) Division
( 2 − 3i ) : ( 3 + 4i ) = ?
( 3 + 4i ) ⋅ x = ( 2 − 3 i )
2 − 3i ( 2 − 3 i ) ⋅ ( 3 − 4i )
=
3 + 4i ( 3 + 4i ) ⋅ ( 3 − 4i )
6 − 9i − 8i − 12
9 + 16
−6 − 17i
6 17
=
=−
−
i
25
25 25
=
Seite 51
Zahlenlehre
Mag. Daniel Zeller
GRAPHISCHE DARSTELLUNG in der GAUSS’schen Zahlenebene:
z1 = 4 + 2i
z2 = −3 + 3i
z3 = 2 − 4i
•
Jede komplexe zahl lässt sich eindeutig als Punkt in der Gauß’schen Zahlenebene
darstellen! Die Umkehrung gilt ebenfalls.
•
Es gibt ebenso eine umkehrbare eindeutige Zuordnung zwischen komplexer Zahl und
Ortsvektor!
Veranschaulichung von Addition und Subtraktion:
z1 = 3 + i
z2 = 1 + 2i
Graphische Addition
=> Pfeiladdition
Graphische Subtraktion
=> Pfeiladdition mit −z2
Graphische Multiplikation
=> Drehstreckung
Graphische Division
=> Derhstauchung
Seite 52