Zahlenlehre 1

„Alles ist Zahl“ (Pythagoras)
Zahlenlehre 1
1. Termin, Wien 2014
© Mag.a Dagmar Kerschbaumer
Themen
!  Beweise (Beweisverfahren), Natürliche Zahlen (N), Ganze Zahlen
(Z)
!  Teilbarkeit, Primzahlen, ggT, kgV
!  Euklidischer Algorithmus
!  Diophantische Gleichungen
!  Kongruenzen
Leistungsnachweis
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Anwesenheitspflicht (immanenter Prüfungscharakter)
Vorbereitung und Präsentation eigene Beiträge
selbstständig Probleme lösen und diskutieren
aktive Teilnahme im Seminar
schriftliche Prüfung am Ende des Semesters (gem. mit der Gruppe
von Prof. Mag. Kerschbaumer; Mitte Jänner 2015; Dauer: 1 Ue)
Bildungsziele
!  mit den zahlentheoretischen Grundlagen der Schulmathematik
vertraut sein
!  angemessene Nutzung der mathematischen Fachsprache
!  erworbene Kenntnisse zur Lösung von Problemstellungen
einsetzen
Literatur
Basisliteratur:
!  Bartholomé, Andreas, Rung, Josef, Kern, Hans: Zahlentheorie für
Einsteiger. Eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende und
andere Interessierte (7., aktualisierte Auflage, Wiesbaden 2010).
Weiterführende Literatur (für Interessierte):
!  Reiss, Kristina, Schmieder, Gerald: Basiswissen Zahlentheorie.
Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche (3. Auflage, Berlin
Heidelberg 2014).
Literatur (zum mathematischen Arbeiten allg.):
!  Schichl, Hermann, Steinbauer Roland: Einführung in das
mathematische Arbeiten (2., überarbeitete Auflage, Berlin
Heidelberg 2012).
„Zahlenspielerei“
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„Zahlentrick“, Anleitung:
!  a … dreiziffrige Zahl (bestehend aus verschiedenen
Ziffern; führende 0 ist erlaubt)
!  b … wird durch „Umdrehen“ gebildet
!  c … sei die Differenz von a und b
!  d … wird wieder durch „Umdrehen“ gebildet
!  c + d … gesuchte Summe
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Beweis:
a … dreiziffrige Zahl mit der Zifferndarstellung xyz,
wobei x,y,z є {0,1,2,…,9} und verschieden
a = 100x + 10y + z
b = 100z + 10y + x
→ c = 99 · l x – z l
→ c + d = 99 · 11 = 1089
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Primfaktorenzerlegen:
1089 = 3²·11² = 9·11² = 99·11
Sei k є {1,2,…,9} → k-fache von 99:
!  Hunderterziffer wächst stets um 1
!  Einerziffer vermindert sich um 1
→ c + d = 99·k + 99·(11 – k) =
= 99· (k + 11 – k) =
= 99·11 = 1089
Zahlenbegriff, Entwicklung
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Einige Gedanken zur Genesis der natürlichen
Zahlen:
!  Was sind Zahlen?
!  Vom menschlichen Intellekt zum Zählen ersonnen?
!  Die natürlichen Zahlen spielten schon in der
Weltanschauung der Pythagoräer eine große Rolle, daher
beschäftigten sich die Pythagoräer mit
zahlentheoretischen Fragen (Eigenschaften der
natürlichen Zahlen).
!  „Alles ist Zahl“ (Pythagoras, um 550 v. Chr.;umstritten, ob
diese Erkenntnis schon der pythagoreischen Periode oder
der platonischen Periode zuzuordnen ist)
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Entstehung der Zahlentheorie:
!  „Die natürlichen Zahlen hat Gott gemacht, alles übrige
ist Menschenwerk.“ (Leopold Kronecker, 1823 –
1891, dt. Mathematiker)
!  Die Entstehung der Zahlentheorie im heutigen Sinn
geht auf die Barockzeit und den Franzosen Pierre de
Fermat (um 1630) zurück, wobei Leonhard Euler
(1707 – 1783) diese durch wichtige Resultate
bereichert hat.
!  Als Vorläufer in der Antike ist Diophantos von
Alexandria (um 250 n. Chr.) anzusehen, der als
bedeutender Zahlentheoretiker in Erscheinung tritt.
Zahlenlehre 1
!  Diophantos von Alexandria (250 n. Chr.) beschäftigte
sich u. a. mit dem Lösen von „unbestimmten“ Gleichungen,
d. h. Gleichungen, die freie Parameter enthalten,
wobei als Lösungen ausschließlich positive rationale Zahlen
zugelassen wurden. Unsere heutigen „diophantischen
Gleichungen“ sind von ähnlicher Beschaffenheit.
!  Die Methoden des Diophantos sind wahrscheinlich einer
Tradition algebraischer Methoden zugehörig, die aus der
babylonischen Algebra (Babylonier, 2500 v. Chr. – 100 v.
Chr.) entsprangen und sich auch in der Algebra der
Araber fortgesetzt.
Zahlenlehre 1
!  Richard Dedekind schreibt in seiner Abhandlung
(1887): „Die Zahlen sind freie Schöpfungen des
menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die
Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen.
Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und
durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in
den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit
genauer zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in
unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen. Verfolgt man
genau, was wir beim Zählen der Menge oder Anzahl von Dingen
tun, so wird man auf die Betrachtung der Fähigkeit des Geistes
geführt, Dinge auf Dinge zu beziehen, einem Ding ein Ding
entsprechen zu lassen, oder ein Ding durch ein Ding
abzubilden, ohne welche Fähigkeit überhaupt kein Denken
möglich ist …“
Zahlenlehre 1
!  Ursprung der Zahlen kann als Streifzug durch die
Geistesgeschichte der Menschheit aufgefasst werden.
!  Bei den Sumerern und Ägyptern war der Zahlenbegriff
schon hoch entwickelt (um 3000 v. Chr.) und man findet
bereits ganze Zahlen, Bruchzahlen und sehr große
Zahlen.
!  zurück zur Frage „Was sind Zahlen?“
!  Bis ins 19. Jahrhundert wurde der Begriff „Zahl“ in
intuitiver Weise verwendet. Erst das Zeitalter der
Axiomatisierung ab Mitte des 19. Jahrhunderts setzte sich
mit den grundlagentheoretischen Fragen der Zahlen
auseinander.
„Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaft, und
die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.“
(Carl Friedrich Gauß, 1777-1855, Göttingen)
Axiome
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Axiome
!  sind unbeweisbare Sätze bzw. Grundannahmen (d.h. das
sind gewisse Grundaussagen)
!  Ein Axiom ist ein Grundsatz einer Theorie, der innerhalb
des Systems nicht begründet wird.
!  Peano-Axiome
!  diese Axiome sind sozusagen „Spielregeln“ im Umgang mit
den natürlichen Zahlen
!  D.h. alles, was über N und die Elemente von N behauptet
wird, muss sich aus diesen Axiomen unter Anwendung
der logischen Schlussregeln herleiten lassen.
Natürliche Zahlen, N
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Peano-Axiome:
!  lt. Lit. zumeist 5 Peano-Axiome
!  Das 1. Axiom wird oft nicht genannt, da das erste Axiom
keine Aussage über die Struktur der Menge der natürlichen
Zahlen liefert, sondern nur ein Name für eine bestimmte
„ausgezeichnete natürliche Zahl“ festgelegt wird.
Zudem kommt es nicht auf den Namen „1“ dieses
ausgezeichneten Elements an.
!  Die folgenden 4 Axiome haben eine andere Qualität.
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Peano-Axiome:
(1) 1 ist eine natürliche Zahl.
(2)  Jedem n є N ist genau ein n‘ (der Nachfolger) zugeordnet.
(3)  Es gibt ein a є N , das für kein n є N Nachfolger ist. (andere
Formulierung: „1 ist kein Nachfolger“)
(4)  Sind n, m є N verschieden, so sind auch die Nachfolger n‘, m‘
verschieden. (d.h. jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens
einer natürlichen Zahl)
(5)  Ist M eine Teilmenge von N mit a є M und enthält M zu jedem
Element auch dessen Nachfolger, so gilt M = N.
Sind diese Axiome erfüllt, so heißt N die Menge der natürlichen
Zahlen. Alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen müssen sich
entsprechend aus den Axiomen herleiten lassen.
Beweise
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Beweise bilden die Grundlage des „mathematischen
Gebäudes“:
!  Eine Aussage hat erst Relevanz, wenn die Herleitung (der
Beweis) gelungen ist.
!  Diese Aussage ist dann in der auf den Axiomen
gegründeten Theorie wahr.
!  Diese Aussage ist kein Erfahrungssatz mehr, hat mehr als
empirische Bedeutung und ist in einen logisch
konsistenten Rahmen eingebunden.
!  Gilt eine Aussage A als bewiesen und kann man eine
weitere Aussage B logisch aus A ableiten, so gilt auch B
als bewiesen.
Sätze, Bezeichnungen
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!  Bewiesene Aussagen nennt man Sätze oder Theoreme.
!  Um die Wichtigkeit zu unterstreichen werden auch Bezeichnungen
wie Hauptsatz oder Fundamentalsatz verwendet.
!  Proposition (lat. Aussage): manchmal an Stelle vom Begriff Satz
verwendet (zumeist etwas weniger Wichtig als ein Satz oder
Theorem).
!  Lemma (Hilfssatz, Schlüsselgedanke), Korollar (oft triviale
Folgerung) …
Beweisende:
!  w.z.z.w
!  qed. (quod erat demonstrandum)
!  "
Verwendete Literatur
Zahlenlehre 1
Fachliteratur:
Bartholomé, Andreas, Rung, Josef, Kern, Hans: Zahlentheorie für Einsteiger. Eine Einführung für Schüler,
Lehrer, Studierende und andere Interessierte (7., aktualisierte Auflage, Wiesbaden 2010).
Kaiser, Hans, Nöbauer, Wilfried: Geschichte der Mathematik (3. Auflage, München, Wien 2002).
Reiss, Kristina, Schmieder, Gerald: Basiswissen Zahlentheorie. Eine Einführung in Zahlen und
Zahlenbereiche (3. Auflage, Berlin Heidelberg 2014).
Schichl, Hermann, Steinbauer Roland: Einführung in das mathematische Arbeiten (2., überarbeitete
Auflage, Berlin Heidelberg 2012).
Schulbücher:
Götz, Stefan, Reichel, Hans-Christian (Hrsg.), Müller, Robert, Hanisch, Günter: Mathematik 5 (Wien
2010).