1 Zur Kondensation auf konvexen Oberflächen I I. Teil Experimentelle Zahlenlehre G. Schulz Universität des Saarlandes Fakultät 7 für Physik und Mechatronik April 2009 Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Kondensation von Atomen und Molekülen auf konvexen Oberflächen mit Hilfe zahlentheoretischer Ansätze quantenmechanisch zu beschreiben. Die Konvexität bzw. positive Krümmung von Oberflächen bewirkt, dass nicht einzelne Partikel, sondern nur ganze Partikelverbände, die sich bereits in der Gasphase gebildet haben müssen, die Kräfte erfahren, die erforderlich sind, die Partikel auf den Oberflächen dauerhaft zu binden. Die Bildung solcher Partikelverbände aus einer zunächst noch unbekannten, zufälligen Zahl von Einzelpartikeln kann bereits lange vor der Kondensation als sog. kritische Trübung in der Gasphase beobachtet und mit optischen Verfahren auch quantitativ vermessen werden. Die erratische Größenverteilung dieser Partikelverbände oder "Cluster" hat sich bis© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 2 her einer exakten Vorausbestimmung entzogen und scheint allein mit zahlentheoretischen Methoden erfassbar zu sein. Die Grundzüge der Zahlentheorie auf der Menge der natürlichen Zahlen und ihre wesentlichen Ergebnisse sollen im Folgenden als bekannt vorausgesetzt werden. Um aber genau diese meist hoch abstrakt formulierten Ergebnisse leichter handhabbar zu machen und damit für die Anwendungen zu erschließen, sollen die Indices, Parameter und Funktionen, Ableitungen und Corrolare, die zur Charakterisierung der natürlichen Zahlen dienen, mit Hilfe einfacher (und möglichst schneller) Operatoren dargestellt und jeder einzelnen Zahl als Muster ihrer Eigenschaften angeheftet werden. Schon diese Muster lassen interessante Zusammenhänge erkennen, die sonst nicht in den Lehrbüchern zu finden sind. I. Der Ganzzahlteiler T Von besonderer Bedeutung für den Aufbau aller Operatoren ist der Ganzzahlteiler T(n), der angibt, wie oft die natürliche Zahl n aus der Menge der natürlichen Zahlen 1 n N ganzzahlig, das heißt, ohne Rest geteilt werden kann (n) n (1) Dieser Operator besteht aus einem einfachen und sehr schnellen Algorithmus, im Wesentlichen aus der Prüfung, ob die Differenz zwischen dem Quotienten aus der Zahl n und einer der Zahlen n' < n und dem ganzzahligen Anteil des Quotienten von Null verschieden ist und zählt, wie viele Zahlen n' diese Bedingung erfüllen. Da die Abfrage nur eine wesentliche Operation und im Übrigen nur Zuweisungen enthält, ist der Algorithmus außerordentlich schnell. Der Operator ist so konstruiert, dass er neben dem Ergebnis n auch die ganzen Zahlen n' <= n liefert, durch die n ohne Rest geteilt werden kann und diese in einem Zahlenschema aufgelistet. II. Die Zerlegung der Zahlen in ihre Teiler Teilerschema I z. B. für n:48 1 2 3 4 6 48 24 16 12 8 8 12 16 24 48 6 4 3 2 1 |sqrt(n)| = 6 sqrt(n) = Teilerschema II z. B. für T(48) -> 10 6.928 n:15 1 3 15 5 5 15 3 1 |sqrt(n)| = 3 sqrt(n) = Teilerschema III z. B. T(15) -> 4 3.873 n:4 T(4) -> 3 1 2 4 4 sqrt(n) = 2.000 © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 2 1 |sqrt(n)| = 2 3 Aus dem (horizontal wie vertikal antisymmetrischen) Schema der Teiler lesen wir sofort die bekannte Tatsache ab, dass die Prüfung auf Teilbarkeit durch die Zahlen n' n nur bis (2) n' max | n || sqrt(n) | durchgeführt zu werden braucht, da ab dann die Zahlen links aufsteigend gleich den Zahlen rechts aufsteigend sind. Lediglich im Falle, dass die betrachtete Zahl das Quadrat einer Primzahl ist, ist die strenge Antisymmetrie durch eine Leerstelle auf der rechten Seite zu unterbrechen. (Die senkrechten Striche besagen, dass nur der ganzzahlige Teil der nachfolgenden Zahl genommen werden soll). III. Das Volumen einer Zahl Aus dem Schema der Teiler ergibt sich automatisch das sog Volumen V(n) der Zahl n, das heißt, die Summer aller Teiler einer Zahl außer der Zahl selbst, also V ( n) max (n' n / n' ) n . (3) 1 In der Zahlentheorie wird anstelle des Volumens häufig die sog. Sigma-Funktion einer Zahl σ(n) verwendet. Darunter versteht man die Summe sämtlicher Teiler einer Zahl (einschließlich der Zahl selbst), also ( n) V ( n ) n max (n' n / n' ) . (4) 1 In der praktischen Anwendung hat sich die Differenz D(n) n V (n) (5) als nützlich herausgestellt und wird deswegen ebenfalls in die Ergebniszeilen der zu untersuchenden Zahlen eingetragen. IV Die Eulersche Funktion Von fundamentaler Bedeutung für die Charakterisierung einer Zahl ist die Eulersche Funktion phi, also (n) , die angibt, wie groß die Anzahl N" aller Zahlen n' ' n ist, die mit n selbst teilerfremd sind. Bezeichnet GGT(n, n'') den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, so gilt in diesem Falle also (n) N " (6) wenn GGT (n, n ' ' ) 1 mit 1...N " (7) Um gewisse Strukturen oder vielmehr Abweichungen von regulären Strukturen graphisch leichter erkennen und aussondern zu können, hat sich die relative Eulersche Zahl als nützlich erwiesen, also (n) (n) / n . (8) Auch für den GGT kann ein sehr schneller Algorithmus angegeben werden, der aber nur zu Kontrollzwecken benutzt werden sollte, da , wie sogleich noch gezeigt werden wird, die Funktion φ auf anderem Wege einfacher und vor allem schneller berechnet werden kann. © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 4 V. Die Primzahlzerlegung. Bekanntlich kann jede natürliche Zahl durch ein Produkt aus Primzahlen dargestellt werden. Die weitere Zerlegung der Teiler einer Zahl kann offensichtlich nur soweit getrieben werden, bis der Teilerteiler entweder (trivialerweise) 1 oder eine Primzahl ist, die beide nicht mehr weiter (ganzzahlig) geteilt werden können. Auf diese Weise erhält man mit Hilfe eines Teilerteileroperators anstelle des (antisymmetrischen) Schemas der Teiler einer Zahl einen ganzen Baum der Zerlegung, dessen Astenden mit i verschiedenen Primzahlen besetzt sind. Die Anzahl i der Primzahlen und die Primzahlen selbst werden der Größe nach geordnet am Ende der Zeilen als charakteristische Größen hinter einer Zahl eingetragen. Das Produkt dieser Primzahlen ergibt die Zahl n. i n pi i (9) 1 Darin sind Produkte gleicher Primzahlen zu Potenzen zusammengefasst. Und für die Eulersche Funktion gilt: i i 1 1 (n) p 1 ( p 1) n (1 1/ p ) , (10) wie leicht mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden kann. Damit sind alle Größen in der nachfolgenden Tabelle erklärt und einer einfachen und schnellen Berechnung zugänglich gemacht, z. B. für die Zahlen von 1 bis 30: Tabelle I (Erläuterungen zu den Tabellen im Text) n V(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 1 1 3 1 6 1 7 4 8 1 16 1 10 9 15 1 21 1 22 11 14 1 36 6 16 13 28 1 42 n -V(n) τ(n) 1 1 2 1 4 0 6 1 5 2 10 -4 12 4 6 1 16 -3 18 -2 10 8 22 -12 19 10 14 0 28 -12 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6 4 4 2 8 3 4 4 6 2 8 φ(n) ρ(n) i 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 1.000000000 0.500000000 0.666666667 0.500000000 0.800000000 0.333333333 0.857142857 0.500000000 0.666666667 0.400000000 0.909090909 0.333333333 0.923076923 0.428571429 0.533333333 0.500000000 0.941176471 0.333333333 0.947368421 0.400000000 0.571428571 0.454545455 0.956521739 0.333333333 0.800000000 0.461538462 0.666666667 0.428571429 0.965517241 0.266666667 1 1 1 2 1 2 1 3 2 2 1 3 1 2 2 4 1 3 1 3 2 2 1 4 2 2 3 3 1 3 © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre p ν, ν= 1 ... (1) 2 3 2 5 2 7 2 3 2 11 2 13 2 3 2 17 2 19 2 3 2 23 2 5 2 3 2 29 2 2 3 2 3 5 2 2 3 7 5 2 2 3 3 2 7 11 5 2 5 13 3 2 2 3 5 3 7 2 3 5 Und diese Tabelle kann für alle 1 n N fortgesetzt werden, das heißt, soweit die numerische Genauigkeit, die Länge der Mantisse des benutzten Rechenwerks ausreichend groß ist, um die Ganzzahlteilung festzustellen! Zum Beispiel erhält man genau so wie für die Zahlen von 1 bis 1 Mio für die Zahlen von 1 Mio bis 1 Mio + 30: Tabelle II n V(n) n -V(n) 1000000+ 1 10003 989998 2 1000014 -12 3 1 1000002 4 803686 196318 5 613755 386250 6 714314 285692 7 34513 965494 8 2088792-1088784 9 3707 996302 10 963862 36148 11 333341 666670 12 884724 115288 13 148915 851098 14 1000026 -12 15 200009 800006 16 937546 62470 17 507567 492450 18 500012 500006 19 21325 978694 20 2201388-1201368 21 90923 909098 22 514354 485668 23 333345 666678 24 875036 124988 25 421759 578266 26 1241136 -241110 27 231333 768694 28 750028 250000 29 376483 623546 30 800042 199988 τ(n) 4 8 2 18 16 8 4 96 4 16 4 12 8 8 4 10 12 4 4 48 4 8 4 8 24 20 16 6 8 8 φ(n) 990000 333332 1000002 485056 528768 428568 965496 290304 996304 363600 666672 461520 852624 333336 800008 500000 637560 500008 978696 228480 909100 495232 666680 500008 691200 333288 793152 500012 645120 400008 ρ(n) i 0.989999010 0.333331333 0.999999000 0.485054060 0.528765356 0.428565429 0.965489242 0.290301678 0.996295033 0.363596364 0.666664667 0.461514462 0.852612916 0.333331333 0.799996000 0.499992000 0.637549162 0.499999000 0.978677405 0.228475430 0.909080909 0.495221105 0.666664667 0.499996000 0.691182720 0.333279335 0.793130585 0.499998000 0.645101292 0.399996000 pν, ν= 1 ... i 2 101 3 2 1 1000003 5 2 4 3 3 2 2 29 8 2 2 2 293 4 2 2 3 4 2 3 7 3 2 2 5 5 2 4 3 2 2 2 47 6 2 2 2 11 3 2 2 3 4 2 5 5 6 2 4 7 3 2 3 3 3 2 9901 3 166667 2 53 53 89 5 163 409 7 71429 34483 2 3 3 17 19 43 3413 5 11 9091 333337 2 13 19231 373 383 3 166669 200003 2 2 2 62501 3 23 4831 500009 21277 3 5 7 2381 90911 107 4673 333341 2 2 125003 5 13 17 181 3 3 3 3 6173 19 73 103 2 250007 31 10753 5 100003 Man betrachte sorgfältig die einzelnen Spalten der Tabellen, Wiederkehrende Zahlen in den Spalten 2 bis 6 weisen auf gemeinsame Strukturen und übereinstimmende Eigenschaften der zu untersuchenden Zahlen am Anfang der Zeilen hin. So erhalten wir die folgenden Ergebnisse: VI. Vollkommene Zahlen. Zahlen die mit ihrem Volumen übereinstimmen heißen vollkommene Zahlen. Für sie gilt D(n) n V (n) 0 . Sortiert man die Zahlen von 1 bis 100000 nach diesem Kriterium, so erhält man die Ergebnistabelle III: Tabelle III n 6 28 496 8128 V(n) 6 28 496 8128 n-V(n) 0 0 0 0 τ(n) 4 6 10 14 φ(n) 2 12 240 4032 ρ(n) i 0.333333333 0.428571429 0.483870968 0.496062992 2 3 5 7 pν, ν= 1 ... i 2 2 2 2 3 2 2 2 7 2 2 2 2 31 2 2 127 Man erkennt, dass die vollkommenen Zahlen gerade Zahlen sind und ihre Prim-Produkte dargestellt werden durch © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 6 nv 2 p 1 (2 p 1) , sofern (2 p 1) selbst eine Primzahl ist, (11) wobei i = pν gilt und ν die natürliche Reihenfolge der Primzahlen beschreibt. i = 11 ist eine Ausnahmen, da man für (2 p 1) mit pν keine Primzahl erhält. Fortan brauchen also keine mühsamen Sortierungen zum Aufspüren von vollkommenen Zahlen benutzt zu werden, sondern können diese nach (11) einfach berechnet werden. Zum Beispiel für ν = 13: n13 212 (213 1) 4096 8191 33550336 , aufgrund der Feststellung, dass 8191 eine Primzahl ist! VII. Fast vollkommene Zahlen. Neben der geringen Anzahl von vollkommenen Zahlen sind die fast vollkommenen Zahlen interessant, deren Volumen sich nur um 1 von der Zahl selbst unterscheidet. Mit dem Auswahlkriterium D(n) = 1 erhält man für die Zahlen von 1 bis 100000 Tabelle IV n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 V(n) D(n) τ(n) 0 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191 16383 32767 65535 φ(n) ρ(n) i pν, ν= 1 ... i 1 1 1 1.00 1 1 2 1 0.50 1 1 3 2 0.50 2 1 4 4 0.50 3 1 5 8 0.50 4 1 6 16 0.50 5 1 7 32 0.50 6 1 8 64 0.50 7 1 9 128 0.50 8 1 10 256 0.50 9 1 11 512 0.50 10 1 12 1024 0.50 11 1 13 2048 0.50 12 1 14 4096 0.50 13 1 15 8192 0.50 14 2 1 16 16384 0.50 15 2 1 17 32768 0.50 16 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Und man erkennt, dass die "fast vollkommenen Zahlen" die Binärzahlen (Potenzen von 2) sind, worin die um 1 vermindert Teilerzahlen (n) 1 die natürlichen Zahlen der Reihenfolge der Potenzen angibt und also gilt n fv 2 , (12) Die fast vollkommenen Zahlen sind also ebenfalls leicht zu berechnen. Leicht aufzufinden sind auch die zugehörigen charakteristischen Relativwerte der Eulerfunktion (n) 0.50 . Ungerade Zahlen sind auch an diesem Ergebnis nicht beteiligt! Zahlen mit D(n) 1 gibt es nicht. VIII. "Ausnahmezahlen" Mustert man die Tabellen I und II – oder in einer größeren Chart am besten gleich alle Zahlen von 1 bis 1 Mio – dann fällt die Differenz D(n) 12 besonders ins Auge. Die Sortierung nach diesem Kriterium ergibt, hier willkürlich abgebrochen bei n = 1000, sonst aber beliebig fortsetzbar, die Ergebnistabelle V: © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 7 Tabelle V n V(n) 24 30 42 54 66 78 102 114 138 174 186 222 246 258 282 304 318 354 366 402 426 438 474 498 534 582 606 618 642 654 678 762 786 822 834 894 906 942 978 36 42 54 66 78 90 114 126 150 186 198 234 258 270 294 316 330 366 378 414 438 450 486 510 546 594 618 630 654 666 690 774 798 834 846 906 918 954 990 n-V(n) τ(n) -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 φ(n) 8 8 12 18 20 24 32 36 44 56 60 72 80 84 92 144 104 116 120 132 140 144 156 164 176 192 200 204 212 216 224 252 260 272 276 296 300 312 324 ρ(n) i p ν , ν = 1 ... i 0.333333333 0.266666667 0.285714286 0.333333333 0.303030303 0.307692308 0.313725490 0.315789474 0.318840580 0.321839080 0.322580645 0.324324324 0.325203252 0.325581395 0.326241135 0.473684211 0.327044025 0.327683616 0.327868852 0.328358209 0.328638498 0.328767123 0.329113924 0.329317269 0.329588015 0.329896907 0.330033003 0.330097087 0.330218069 0.330275229 0.330383481 0.330708661 0.330788804 0.330900243 0.330935252 0.331096197 0.331125828 0.331210191 0.331288344 4 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 5 7 3 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 2 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 3 3 2 19 Alle "Ausnahmezahlen" sind gerade Zahlen und bis auf n = 304 achtfach teilbar. Des Weiteren sind die Zahlen n = 24 und n = 54 als Sonderfälle zu betrachten, wie man am einfachsten aus der grafischen Darstellung von φ(n) oder besser noch von ρ(n) erkennt. 0,50 350 300 0,45 250 0,40 200 (n) (n) 150 0,35 100 0,30 50 0 0,25 0 200 400 600 800 1000 n 0 200 400 600 800 1000 n Abb. 1 Eulerfunktion φ und relative Eulerfunktion ρ als Funktion der Zahlenwerte n lassen die Werte erkennen, die sich nicht in einen monotonen Zusammenhang einordnen lassen. © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 8 Bis auf diese drei Sonderfällen sind alle Ausnahmezahlen achtfach teilbar und ihre Primprodukte gegeben durch n A 2 3 p (13) Mit den Primzahlen pν in ihrer natürlichen Reihenfolge. Die Anweisung könnte also lauten: Man suche eine gerade Zahl, die achtfach teilbar ist und deren Volumen um 12 größer ist als die Zahl selbst. Dann ergibt die Division dieser Zahl durch 6 eine Primzahl u n d die nächst größere derartige Zahl dividiert durch 6 genau die nächst größere Primzahl. Da das Volumen einer Zahl bereits mit dem einfachsten (und schnellsten) Ganzzahlteiler anfällt, könnten auf diese Weise Primzahlen schnell gewonnen werden (wenn es nicht im Bereich der ungeraden Zahlen noch schnellere Methoden gäbe). Die geraden Zahlen mit D(n) = +12 treten sehr viel weniger häufig auf als die Zahlen mit D(n) = –12. Für die zugehörigen Primprodukte kann zwar auch eine einfache Formel angegeben werden n 2u 1 p x (14) worin u eine ungerade Zahl aus der Folge der ungeraden Zahlen und p x eine Primzahl mit monoton wachsendem Wert darstellt, die jedoch aus den übrigen Charakteristika der Zahl n nicht näher erschlossen werden können. Gleiche oder wenigstens ähnliche Gruppierungen wie im Bereich der geraden Zahlen sind bei den ungeraden Zahlen nicht zu erkennen, dafür spielen hier die Quadrate von Teilerzahlen insbesondere, wenn es sich dabei um Primzahlen handelt, eine wichtige Rolle und führen hin zu den Fragen, wie häufig gewisse Teilerzahlen auftreten und wie sich diese Häufigkeiten ändern, wenn in 1 n N die obere Grenze N des betrachteten Intervalls immer größer und größer wird. Insbesondere diese Fragen werden für die physikalische Anwendungen von Bedeutung sein. IX. Zahlen als Potenzen ihrer Teiler "Jede Zahl ist mindestens durch sich selbst und 1 teilbar, also mindestens zweifach teilbar". Dann ist der dritte Teiler einer Zahl, die dreifach teilbar ist, ein Teiler, der selbst nicht weiter teilbar ist, also eine Primzahl und die dreifach teilbare Zahl das Quadrat einer Primzahl. Zur Illustration diene die tabellarische Darstellung im Falle (n) 3 und für höhere Potenzen der Fall (n) 5 Tabelle VI n 4 9 25 49 121 169 289 361 529 841 961 V(n) n-V(n) τ(n) 3 4 6 8 12 14 18 20 24 30 32 1 5 19 41 109 155 271 341 505 811 929 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 V(n) n-V(n) τ(n) 15 40 1 41 φ(n) 2 6 20 42 110 156 272 342 506 812 930 ρ(n) i pν , ν = 1 ... i 0.500000000 0.666666667 0.800000000 0.857142857 0.909090909 0.923076923 0.941176471 0.947368421 0.956521739 0.965517241 0.967741935 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 i p ν , ν = 1 ... i 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 Tabelle VII n 16 81 5 5 φ(n) 8 54 ρ(n) 0.500000000 0.666666667 © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 4 4 2 3 2 3 2 3 2 3 9 625 2401 14641 28561 83521 156 400 1464 2380 5220 469 2001 13177 26181 78301 5 5 5 5 5 Aus (n ) pn folgt n p 500 2058 13310 26364 78608 0.800000000 0.857142857 0.909090909 0.923076923 0.941176471 4 4 4 4 4 5 7 11 13 17 5 7 11 13 17 pn 1 5 7 11 13 17 5 7 11 13 17 (15) Außer den Zahlen mit (n) 0.50 sind alle Zahlen mit dieser Eigenschaft ungerade. In Abb. 2 sind diese Verhältnisse grafisch dargestellt. 1,0 100000 0,9 80000 0,8 60000 (n) (n)40000 0,7 20000 0,6 0 0,5 0 20000 40000 60000 80000 0 100000 20000 40000 60000 80000 100000 n n Abb. 2 Verlauf der Eulerfunktion φ und der relativen Eulerfunktion ρ für dreifach teilbare (schwarze Symbole) und fünffach teilbare Zahlen (rote Symbole). ρ(n) lässt die Unterschiede wesentlich besser erkennen als φ(n). X. Häufigkeit und Mittelwert der Teilerzahlen. Im Folgenden betrachten wir, wie häufig unter den Zahlen n, 1 n N , eine bestimmte Teilerzahl τ auftritt. Diese Häufigkeit wird mit Z(τ) bezeichnet. Durch bloßes Abzählen ergibt sich für die Zahlen von 1 bis 1000 und vergleichsweise von 1 bis 100000: 25000 2500 20000 2000 N = 1000 N = 100000 15000 1500 Z() Z() 10000 1000 5000 500 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 20 40 60 80 Abb 3 Häufigkeit der Teilerzahlen τ bei verschieden großer Gesamtzahl N der Zahlen n © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 100 10 Man erkennt, dass sich mit der Verteilung der Z(τ) auch der Mittelwert der τ N Z ( ) (N ) 1 N Z ( ) 1 N Z ( ) N 1 (14) 1 mit wachsendem N nach höheren Werten erschiebt und wegen der immer größeren Werte der Teilerzahlen auch die Streuung immer weiter anwachsen muss N ( ) (N ) 2 Z ( ) / N (15) 1 In Abb. 4a und b ist der Mittelwert die Streuung als Funktion von N dargestellt: 8 7 6 6 5 4 3 4 a 2 1 b 0 0 200 400 600 800 1000 200 N N Abb 4a Mittelwert und mittlere Streuung der Teilerzahlen von 1 bis 1000 mit der deutlich erkennbaren Feinstruktur in Abb. 4b Die absolute Häufigkeit Z(N) der Teilerzahlen wächst – nicht "monoton" in strengem Sinne, aber doch "tendenziell" oder bleibt in diesem Sinne "tendenziell konstant" und nimmt jedenfalls mit wachsendem N über größere Strecken hinweg nicht ab, wie aus Abb. 5a abgelesen werden kann. Entwicklungen und Strukturen sind jedoch besser aus der relativen Häufigkeit Z(N)/N zu erkennen. 0,4 4 2,4 8 a 2,0 b 0,3 4 8 1,6 0,2 Z(N) 1,2 4 *10 16 2 0,8 Z(N)/N 16 2 0,1 0,4 32 32 0,0 0,0 0 2 4 6 8 10 4 N *10 0 2 4 4 6 N *10 8 10 Abb. 5a Häufigkeit Z als Funktion der Gesamtzahl N mit τ als Parameter. Abb. 5b Dieselben Werte als relative Häufigkeiten dargestellt. © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 11 0,01 100 9 a 80 b 3 60 Z(N)/N Z(N) 40 15 20 21 5 0 0,00 0 2 4 6 8 10 0 4 N *10 2 4 N *10 4 6 8 10 Abb. 6a Zum Vergleich: Häufigkeit Z als Funktion der Gesamtzahl N mit ungeradzahligem τ als Parameter. Abb. 5b Dieselben Werte als Wahrscheinlichkeit gedeutet. Die absoluten Häufigkeiten der ungeradzahligen Teilerzahlen lassen bereits die Strukturen erkennen, die eine sprungartige (quantenhafte) Zunahme einer Größe darstellen können, mit einer Stufenbreite, die einer statistischen Verteilung der Zahl von Partikeln entsprechen könnte. (Näheres im III. Teil). Deuten wir nun aber die relative Häufigkeit Z ( x ) / N als die "Wahrscheinlichkeit W" W ( x ) Z ( x ) / N , (16) dafür, das eine bestimmte Teilerzahl x in dem Intervall der Breite N N 1 N zu finden ist, zum Beispiel in Intervallen der Breite N 10000 in einem Bereich von 1 bis 1 Mio, so erhalten wir nach dieser Zerlegung des gesamten Intervalls, wie in Abb. 7a dargestellt, ein scheinbar völlig anderes Verhalten für Mittelwert und Streuung als im Falle, dass diese Größen als Funktionen der Obergrenze des gesamten Intervalls 1 bis N betrachtet werden. Mittelwert und Streuung 16 14 12 10 8 0 20 40 Nk 60 80 100 Abb.7a Mittelwert und Streuung über den abgeschlossenen Intervallen der Breite von1 bis 1 Mio. © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre N 10000 im Bereich 12 15 14 13 12 11 10 9 0 20 40 Nk 60 80 100 Abb. 7b Der Verlauf des Mittelwerts der Teilerzahlen wie in 7a, approximiert durch die Funktion ln(a b N k ) mit a = -19874.202, b = 32924.50 und 2 0.0001. Dass die Streuung stärker ansteigt als der Mittelwert und ab etwa N = 100000 sogar größer als der Mittelwert wird, hängt damit zusammen, dass mit wachsendem N immer größere Zahlen – insbesondere auch immer größere Primzahlen – in wie in eingehen, in aber auch unter der Wurzel einen größeren Effekt haben. Dieselben Einsichten vermittelt die Darstellung der Wahrscheinlichkeiten in den Abbn. 8 0,2 0,2 0,2 1 W() W() 0,1 0,0 20 40 60 10 W() 5 0,1 0,1 0,0 20 40 0,0 60 20 40 60 Abb. 8 Wahrscheinlichkeiten als Funktion der Teilerzahlen im ersten, im fünften und im zehnten Intervall, wenn der Bereich bis zu 1 Mio in zehn Intervalle unterteilt wird (τ-Achsen willkürlich auf 1 bis 60 begrenzt). und die Wahrscheinlichkeiten für einzelne τ als Funktion des Mittenwerts der Intervalle N k ( N N 1 ) / 2 in Abb. 9 3 10 -3 8 0,2 2 16 W(Nk) 0,1 W(Nk) 1 32 64 0,0 0 20 40 60 80 100 Nk 0 0 20 40 60 80 100 N k Abb. 9 Wahrscheinlichkeiten im ersten Teil für die binären Teilerzahlen von 4 bis 64 als Funktion der Lage der Intervalle, wenn man dafür den Mittenwert N k der Intervalle nimmt, und im zweiten Teil für vier typische ungerade Zahlen.. © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre 13 In Abb. 10 ist für spätere Zwecke der Verlauf der Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl (τ =2) ! in einem Intervall der Breite N 10000 auf dem Wege von n = 1 bis n = 1 Mio zu finden, 0,16 0,12 x6 W(Nk) D = - 12 0,08 0,04 0,00 0 2 4 6 8 10 Nk Abb. 10 Wahrscheinlichkeit mit wachsendem N k eine Primzahl zu finden, in 1 bis 1 Mio, approximiert durch W a N k , a 0.11046 0.00091, b 0.09502 0.0028 . Man beachte die völlig andere Bedeutung b der Abszisse hier und in Abb. 5b. Zum Vergleich sind die um den Faktor 6 vergrößerten Werte für die Wahrscheinlichkeiten mit D(n) = - 12 und τ = 8 eingetragen. dargestellt. Diese Wahrscheinlichkeit scheint mit wachsendem Nk "tendenziell" gegen einen konstanten Wert zu streben, was mit der grafischen Darstellung allein natürlich nicht "bewiesen" ist. Zum Vergleich ist die Wahrscheinlichkeit, eine "Ausnahmezahl", also eine Zahl mit D(n) = – 12 und τ = 8 zu finden, (mit dem Faktor 6 versehen) in Abb. 10 eingetragen. Auch diese Wahrscheinlichkeit scheint gegen einen konstanten Wert zu streben, und da die Ausnahmezahlen, wie aus Tabelle V hervorgeht, durch den Devisor 6 eindeutig auf die Primzahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge abgebildet werden, ist es im Weiteren sinnvoll, nach einem strengen Beweis oder Gegenbeweis für diesen Zusammenhang zu suchen. 2.Teil dieser Arbeit unter http//:www.uni-saarland.de/fak7/schulz/Artikel mail: [email protected] © G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre