6.1 Gleichungen

6. Gleichungen und Ungleichungen
6.Z Zusammenfassung
Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme unter Verwendung des Gleichheitszeichens " = " gleichgesetzt werden: T1 = T2 .
Eine Gleichung ohne Variablen entspricht einer Aussage (Behauptung) und kann entweder wahr oder falsch sein.
Eine Gleichung mit Variablen (Unbekannten) ist eine Aussageform. Sie wird zu einer wahren oder falschen Aussage, wenn die
Variablen durch Zahlen einer Grundmenge ersetzt werden.
Eine Gleichung lösen heisst, aus einer vorgegebenen Grundmenge G alle Werte zu bestimmen, die die Gleichung (Aussageform) zu
einer wahren Aussage machen.
Die Grundmenge G einer Gleichung T1 = T2 ist die Menge aller Zahlen, welche für die Unbekannte zugelassen sind.
Die Definitionsmenge D einer Gleichung T1 = T2 ist die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge G, für die T1 und T2 definiert sind.
Die Definitionsmenge D ist eine Teilmenge der Grundmenge G.
Die Lösungsmenge L (Erfüllungsmenge) der Gleichung ist die Menge aller Zahlen aus der Definitionsmenge, welche die Gleichung
erfüllen. Die Lösungsmenge ist eine Teilmenge der Definitionsmenge.
Identische Gleichungen sind Gleichungen, die allgemeine algebraische Wahrheiten enthalten. Für die (eventuell) vorkommenden
Variablen dürfen beliebige Werte einer Grundmenge eingesetzt werden.
Bestimmungsgleichungen sind Gleichungen, die nur für gewisse Werte der Variablen erfüllt sind.
Gleichungen können (abhägig davon welche Funktionen darin vorkommen) in verschiedene Typen eingeteilt werden: Lineare
Gleichung, Quadratische, Kubische Gleichung, Exponentialgleichung, Logarithmische Gleichung, Trigonometrische Gleichung etc.
Man spricht von einer Äquivalenzumformung, wenn eine Bestimmungsgleichung formal in eine andere Bestimmungsgleichung
umgeformt wird, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge der Gleichung ändert.
6.1 Gleichungen
6.1.1 Begriff der Gleichung
Wir haben in den vorangehenden Kapiteln schon ab und zu eine Gleichung angetroffen. Wie ist jedoch eine Gleichung genau
definiert?
Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme unter Verwendung des Gleichheitszeichens " = " gleichgesetzt werden: T1 = T2 .
Wir haben schon früher den in dieser Definition benutzten Begriff des Terms kennengelernt:
2
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen (Platzhaltern), Symbolen für mathematische Operationen (+, -, ·,
/) sowie Klammern zur Gruppierung enthält. Terme sind sozusagen die grammatikalisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der
Sprache der Mathematik.
Eine Gleichung ohne Variablen entspricht einer Aussage (Behauptung) und kann entweder wahr (eine sogenannte identische
Gleichung) oder falsch sein.
Beispiel
† die Gleichung 3 + 2 = 5 eine wahre Aussage; und
† die Gleichung 3 + 2 = 6 eine falsche Aussage.
Eine Behauptung oder Bedingung oder Gleichung, die mindestens eine Variable enthält heisst Aussageform. Es gibt nun
Gleichungen, die für alle Werte der Variablen aus einer Grundmenge zu einer wahren Aussage führen wie zum Beispiel das
Kommutativgesetz (a + b = b + a) oder die binomische Formel (Ha + bL2 = a2 + 2 a b + b2 ). Diese Gleichungen werden auch
identische Gleichungen genannt.
Zumeist gilt eine Gleichung jedoch nicht für alle Werte einer Grundmenge und der Wahrheitswert der Aussageform hängt von
der Belegung der Variablen ab. Bei einer Gleichung mit Variablen (z.B. 8 - x = 5) kann erst nach Belegung mit konkreten
Werten aus einem bestimmten Bereich entschieden werden, ob die Gleichung (Behauptung) wahr oder falsch ist.
† 8 - x = 5 ist eine Aussageform.
Sie geht für x = 3 in eine wahre Aussage über.
Sie geht für x = 1 in eine falsche Aussage über.
Eine Gleichung mit Variablen (Unbekannten) ist eine Aussageform, Sie wird zu einer wahren oder falschen Aussage, wenn die
Variablen durch Zahlen einer Grundmenge ersetzt werden.
Gleichungen mit Variablen, die nur für bestimmte (oder keine) Werte der Variablen zu einer wahren Aussage führen, werden
Bestimmungsgleichungen genannt.
Beispiele für Bestimmungsgleichungen
† 8-x=5
è!!!!!!!!!!!!
† x - 8 = 13
† sinHxL = 0.2
Gleichungen ohne Variablen, die wahre Aussagen sind (z.B. 5 - 3 = 2) oder Gleichungen mit Variablen, die algebraische Wahrheiten
enthalten und bei denen die vorkommenden Variablen beliebige Werte einer Grundmenge annehmen dürfen (z.B. a + b = b + a),
werden identische Gleichungen genannt.
Beispiele für identische Gleichungen
6+3=9
Ha + bL2 = a2 + 2 a b + b2
6.1.2 Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge
Eine der wichtigsten Aufgaben in der Mathematik ist das Lösen von Gleichungen. Was heisst dies?
Eine Gleichung lösen heisst, aus einer vorgegebenen Grundmenge G alle Werte zu bestimmen, die die Gleichung (Aussageform) zu
einer wahren Aussage machen.
3
Grundmenge
Die Grundmenge G einer Gleichung T1 = T2 ist die Menge aller Zahlen, welche für die Unbekannte zugelassen sind.
Beispielsweise hat die Gleichung 5 + x = 3 keine Lösung in (d.h. wenn nur natürliche Zahlen zugelassen sind), jedoch eine
in (d.h. wenn die ganzen Zahlen zugelassen sind).
1
Nicht für alle Werte einer Grundmenge ist die Gleichung überhaupt definiert. Beispielsweise ist die Gleichung ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = 5 für
x-1
x = 1 nicht definiert. Dies führt auf den Begriff der Definitionsmenge.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge D einer Gleichung T1 = T2 ist die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge G, für die T1 und T2 definiert sind.
Die Definitionsmenge D ist eine Teilmenge der Grundmenge G.
Bei einem zusammengesetzten Term (z.B. T1 = Ta Tb Tc oder T1 = Ta + Tb + Tc ) ist der Definitionsbereich des Terms die
Schnittmenge der Definitionsbereiche aller auftretenden Teilterme. Dabei ist jeweils auch die zulässige Grundmenge zu
beachten.
Eine Gleichung kann mehrere Lösungen, d.h. Werte die die Gleichung zu einer wahren Aussage machen, haben. Dies führt
auf den Begriff der Lösungemenge.
Lösungsmenge
Die Lösungsmenge L (Erfüllungsmenge) der Gleichung ist die Menge aller Zahlen aus der Definitionsmenge, welche die Gleichung
erfüllen. Die Lösungsmenge ist eine Teilmenge der Definitionsmenge.
Eine Lösung bzw. die Lösungsmenge einer Gleichung kann auf verschiedene Arten bezeichnet werden (z.B. für die Gleichung
x - 2 = 0):
L = 82<
L = 8x » x = 2< oder L = 8x œ » x = 2<
x=2
Es kann vorkommen, dass eine Gleichung keine Lösung, eine Lösung, mehrere Lösungen oder ¶ viele Lösungen hat. Es gibt
also nicht immer eine eindeutige Lösung.
Beispielsweise gilt:
x3 = -8
keine Lösung in der Grundmenge : L = 8<
x3 = -8
eine Lösung in der Grundmenge : L = 8-2<
x3 = -8
drei Lösungen in der Grundmenge : L = 9-2, 2 ‰ ÅÅÅÅ3.ÅÅ , 2 ‰- ÅÅÅÅ3ÅÅ =
Âp
Âp
Abs@xD Exp@I Arg@xDD ê. Solve@x3 −8, xD
π
π
3 , 2 − 3 =
9−2, 2 Beispiele
† ÅÅÅÅ5x - 2 = 3 hat auf der Grundmenge die Definitionsmenge D = \ 80<. Die Lösungsmenge beträgt L = 81<.
5
SolveA − 2 == 3, xE
x
88x → 1<<
4
6.1.3 Äquivalenzumformungen
Man spricht von einer Äquivalenzumformung, wenn eine Bestimmungsgleichung formal in eine andere Bestimmungsgleichung
umgeformt wird, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge und der Definitionsbereich der Gleichung ändert.
Äquivalenzumformungen sind:
a) Zu beiden Seiten einer Gleichung die gleiche beliebig gewählte Zahl addieren.
b) Von beiden Seiten einer Gleichung die gleiche beliebig gewählte Zahl subtrahieren.
c) Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen, beliebig gewählten Zahl (ungleich 0) multiplizieren.
d) Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen, beliebig gewählten Zahl (ungleich 0) dividieren.
Multiplikation mit 0
Gegeben sei die Gleichung 7 + 2 x = 1. Diese Gleichung hat die einzige Lösung x = -3.
Wenn man jedoch die Gleichung 7 + 2 x = 1 auf beiden Seiten mit x - 1 multipliziert, erhält man die Gleichung:
H7 + 2 xL Hx - 1L = 1 Hx - 1L
H7 + 2 xL Hx - 1L - Hx - 1L = H6 + 2 xL Hx - 1L = 0
Diese Gleichung hat nun die beiden Lösungen x = -3 und x = 1.
Durch die Multiplikation mit dem Term x - 1 ist eine neue Lösung (x = 1) dazugekommen.
Division durch 0
Wir untersuchen die Gleichung: x2 + 2 x = 0.
Diese ist äquivalent zu: xHx + 2L = 0.
Diese Gleichung hat (wie man leicht ausrechnen kann) die beiden Lösungen x = 0 und x = -2.
Wenn man jedoch die Gleichung xHx + 2L = 0 durch die Unbekannte x dividiert erhält man die Gleichung: x + 2 = 0.
Diese Gleichung hat nur noch die eine Lösung x = -2. Durch die Division durch x ist also eine Lösung verloren gegangen.
Durch die Division durch x ist die Lösung x = 0 weggefallen.
Potenzieren (d.h. Én mit n Œ )
Gegeben sei die Gleichung x = 3 mit (offensichtlich) der Lösung L = 83<.
† Wenn man beide Seiten quadriert, erhält man die neue Gleichung x2 = 9 mit L = 8-3, 3<.
† Wenn man beide Seiten der Gleichung x = 3 zur dritten Potenz nimmt, erhält man die neue Gleichung x3 = 27 mit L = 83<.
Das Potenzieren mit einem geradzahligen Exponenten ist keine Äquivalenzumformung, das Potenzieren mit einem ungeradzahligen
Exponenten jedoch schon.
1
Wurzel Ziehen (d.h. É ÄÄnÄÄ mit n Œ )
Gegeben sei die Gleichung x + 2 = 16 mit der Lösung L = 814<.
5
Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel erhält man
è!!!!!!!!!!!!
x + 2 = 4 mit der (gleichen) Lösung L = 814<.
Die Lösungsmenge hat sich nicht verändert, jedoch haben die beiden Gleichungen unterschiedliche Definitionsbereiche.
Während die erste Gleichung D = hat, hat die zweite Gleichung D = 8x œ » x ¥ -2<. Die zwei Gleichungen sind deshalb
nicht äquivalent.
Schlussfolgerung
Wenn beim Umformen von Gleichungen Nich-Äquvialenzumformungen eingesetzt werden, müssen die erhaltenen Lösungen
kontrolliert werden, indem sie in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt werden und untersucht wird, ob sie zu einer wahren Aussage
führen oder nicht.
6.1.4 Einteilung der Gleichungen (später)
Bestimmungsgleichungen können - je nachdem als Argument welcher Funktionen die Variablen auftreten - unterteilt werden:
Algebraische Gleichungen
In algebraischen Gleichungen kommen die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzen und
Wurzeln vor.
Lineare Gleichungen (Gleichung 1. Grades) haben die Form: a0 + a1 x = 0
Quadratische Gleichungen (Gleichung 2. Grades) haben die Form: a0 + a1 x + a2 x2 = 0
Kubische Gleichungen (Gleichung 3. Grades) haben die Form: a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 = 0
Gleichungen n-ten Grades haben die Form: a0 + a1 x + ... + an xn = 0
Bruchgleichung sind Gleichungen, die mindestens eine Unbekannte im Nenner eines vorkommenden Terms beseitzen: z.B.
ÅÅÅÅ4x + ÅÅÅÅ23 = 3 x
Wurzelgleichung: 1 +
è!!!!!!!!!!!!
x+5 = x
Betragsgleichungen sind Gleichungen, in denen die Betragsfunktion vorkommt: z.B. †x - 5§ = x
Transzendente Gleichungen
In transzendenten Gleichungen kommen für die Unbekannte (neben den algebraischen Operationen) eine oder mehrere der
transzendenten Funktionen Exponentialfunktion, Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen vor.
Beispiele.
Exponentialgleichung: ‰x + ‰2 x = 2
Logarithmische Gleichung: Log@xD + Log@2 xD = 2
Trigonometrische (Goniometrische) Gleichung: Sin@xD - Cos@2 xD = 0.1
6
6.2 Ungleichungen
Bei Ungleichungen kommt statt des Gleichheitszeichens (=) eines der folgenden Ungleichheitszeichen vor: < ,  , > , ¥ .
Bemerkungen
† Ungleichungen können nur für Zahlen, die sich ordnen lassen, angewandt werden, also nicht für komplexe Zahlen.
† Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen sind Addition bzw. Subtraktion einer beliebigen Zahl sowie Multiplikation
und Division mit einer Zahl ∫ 0. Bei Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl müssen jedoch zusätzlich die
Ungleichheitszeichen umgedreht werden: d.h. < Ø > und  Ø ¥ und umgekehrt.
† Durch Ungleichungen werden (in der Regel) Zahlenbereiche (z.B. Intervalle) festgelegt.
Beispiele
† x - 4 < 9 führt mit der Grundmenge auf die Lösungsmenge L = 8x œ » x < 13< = H13, ¶L, was man durch die Äquivalenzumformung "Addiere 4 auf beiden Seiten der Gleichung" ableiten kann.
† x2  4 führt mit der Grundmenge auf die Lösungsmenge L = 8x œ » †x§ < 2< = @-2, 2D. Man muss dabei beachten, dass
das Wurzelziehen auf zwei Lösungen führt.
6.3 Systeme von Gleichungen
In vielen Fällen der Praxis hat man nicht nur eine Gleichung mit einer Unbekannten, sondern mehrere Gleichungen mit
mehreren Unbekannten.
Beispiele
† Die drei Gleichungen (in SI Einheiten, Kinematik)
s = ÅÅÅÅ12 a t2 und t = 3 und a = 5
verknüpfen die drei Variablen s, a, t.
† Die zwei Gleichungen (ein sogenanntes lineares Gleichungssystem)
3 x - 5 y = 10 und 2 x - 3 y = 15
verknüpfen die zwei Variablen x, y.
In solchen Situationen müssen Werte für die verschiedenen Variablen gefunden werden, so dass alle Gleichungen gleichzeitig
erfüllt werden. Auch hier kann es ...
† ... keine Lösung
† ... eine Lösung
† ... mehrere Lösungen
† ... unendlich viele Lösungen geben.
Von grosser Wichtigkeit sind hier die linearen Gleichungssysteme (wo die Unbekannten nur linear vorkommen): z.B.
3x+5 y-4zã1
4 x - 8 y + 19 z ã 5
8 x + 3 y - 13 z ã 2
Dies führt uns zur Linearen Algebra und dem Rechnen mit Matrizen. Wir werden diese Systeme später noch genauer untersuchen.
7
Mathematica Beispiel
Gegeben sei das obige lineare Gleichungssystem. Mit Reduce kann sehr einfach die Lösung gefunden werden.
eqs = 8
3 x + 5 y − 4 z 1,
4 x − 8 y + 19 z 5,
8 x + 3 y − 13 z 2
<;
TableForm@eqsD
Reduce@eqs, 8x, y, b<D
3x+5y−4z 1
4 x − 8 y + 19 z 5
8 x + 3 y − 13 z 2
143
438
23
z && x && y 857
857
857
6.M Gleichungen und Gleichungen lösen mit Mathematica
Equal
Mathematica benutzt die Funktion "Equal", um eine Gleichung darzustellen:
Equal@lhs, rhsD repräsentiert die Gleichung lhs == rhs.
Beachten Sie, dass die Funktion Equal auch mit dem Infix Operator == aufgerufen werden kann. Dieser Infix Operator besteht jedoch
aus zwei Gleichheitszeichen (x ã 2). Das einfache Gleichheitszeichen steht für die Funktion "Set" (x = 2).
† lhs steht für "Left Hand Side": d.h. die linke Seite (der Gleichung)
rhs steht für "Richt Hand Side": d.h. die rechte Seite (der Gleichung).
Bei einer einer Aussage (z.B. 3 + 2 = 5) gibt Equal den Wahrheitswert der Aussage (d.h. True oder False, je nachdem ob die
Aussage wahr oder falsch ist) zurück.
Bei einer einer Aussageform, die für alle Zahlen gilt (z.B. a + b = b + a) bzw. mathematische Wahrheiten gibt Equal True
zurück.
Bei allgemeinen Aussageformen (z.B. 3 + 2 = 5) gibt Equal den Ausdruck wie eingegeben zurück. Die mit Equal spezifizierte
Gleichung kann jedoch in anderen Funktionen (z.B. Solve) verwendet werden.
Aussagen
5+2 7
True
5+2 8
False
a+b b+a
True
5a+a 6a
True
8
a − b 2 a − Ha + bL
True
Aber Ha + bL2 muss zuerst ausmultipliziert werden:
Ha + bL2 a2 + 2 a b + b2
Expand@ Ha + bL2 a2 + 2 a b + b2
Ha + bL2 a2 + 2 a b + b2
True
Gleichungen lösen
Mathematica kennt viele Funktionen, um Gleichungen (bestimmten Typs) zu lösen. Die wichtigsten Funktionen sind Solve,
Reduce, FindRoot, Eliminate, Minimize etc.
Solve[equations,vars] Æ Rules
Solve versucht die Gleichung(en) nach den spezifizierten Variablen aufzulösen. Solve findet Anwendung vor allem bei
Polynomgleichungen.
Solve@x2 − 2 == 15, xD
è!!!!!!!
è!!!!!!!
99x → − 17 =, 9x → 17 ==
Reduce[Ausdruck, vars] Æ Logische Ausdrücke
Reduce formt den eingegebenen Ausdruck in einen einfacheren um. Der Output beschreibt die genau gleiche Lösungsmenge.
Reduce@x2 − 2 == 15, xD
è!!!!!!!
è!!!!!!!
x − 17 »» x 17
FindRoot @equation, 8x, xStart <D
FindRoot sucht nach einer numerischen Lösung der Gleichung, wobei für x ein Startwert eingegeben werden muss.
FindRoot@x2 − 2 == 15, 8x, 3<D
FindRoot@x2 − 2 == 15, 8x, −3<D
8x → 4.123105625617661`<
8x → −4.123105625617661`<
Eliminate[equations,vars]
Eliminate eliminiert Variablen in einem Gleichungssystem und reduziert so die Anzahl der Gleichungen.
Eliminate@8a x2 + b x y + c y2 == 0, x + y == 1<, xD
−a + 2 a y − b y − a y2 + b y2 c y2