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220
STOCHASTIK
4.2.3 Anwendung der Binomialverteilung
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PrÝfen Sie,
welche
Eingaben
fÝr Ihr GTRModell nÚtig
sind.
Der Befehl binomcdf
Im vorangegangenen Abschnitt haben
n wir mithilfe des Befehls binompdf (n, p, k) die
pk ð1 pÞnk berechnet, d. h. die WahrscheinlichWahrscheinlichkeit PðX ¼ kÞ ¼
k
keit dafÝr, dass bei einer n-stufigen Bernoulli-Kette mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p genau k Erfolge auftreten.
Es kommt jedoch auch vor, dass man nicht nur einzelne
Wahrscheinlichkeiten PðX ¼ kÞ benÚtigt, sondern Wahrscheinlichkeiten fÝr ganze Bereiche, z. B. PðX 3Þ oder
PðX > 1Þ oder Pð1 X 3Þ, wie wir in der folgenden
Aufgabe 1 sehen werden. FÝr die Berechnung solcher
Wahrscheinlichkeiten kÚnnen wir den Befehl binomcdf
aus dem DISTR-MenÝ verwenden. Tastenfolge:
2ndw, VARSw, ALPHAw, MATHw
Der Befehl binomcdf (n, p, k) berechnet die Wahrscheinlichkeit PðX kÞ fÝr eine n-stufige BernoulliKette mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Beispiel: n ¼ 5, p ¼ 0,2, PðX 3Þ 0,99328
Wir geben ein: 2ndw, VARSw, ALPHAw,
MATHw, 5, ,w, 0, †w, 2, ,w, 3, )w, ENTERw
Wir kÚnnen mit dem Rechner an unserem Beispiel leicht
ÝberprÝfen, dass sich PðX kÞ als aufsummierte (so genannte kumulierte) Wahrscheinlichkeit ergibt, denn es
gilt:
PðX 3Þ ¼ PðX ¼ 0Þ þ PðX ¼ 1Þ þ PðX ¼ 2Þ þ PðX ¼ 3Þ
w
EinfÝhrung
w
w
Aufgabe 1
In 90 % der Haushalte Deutschlands ist ein KÝhlschrank vorhanden.
In 50 zufÈllig ausgewÈhlten Haushalten wird eine Stichprobe vorgenommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
(1) hÚchstens 45,
(3) weniger als 40,
(2) mehr als 42,
(4) mindestens 42 und hÚchstens 48
dieser Haushalte mit einem KÝhlschrank ausgestattet?
LÚsung
(1) hÚchstens 45 Haushalte:
PðX 45Þ 0,5688
(2) mehr als 42 Haushalte:
PðX > 42Þ
¼ 1 PðX 42Þ
0,8779
BERNOULLI-Ketten und Binomialverteilung
221
(3) weniger als 40 Haushalte:
PðX < 40Þ
¼ PðX 39Þ 0,0094
(4) mindestens 42, hÚchstens 48 Haushalte:
Pð42 X 48Þ
¼ PðX 48Þ
PðX 41Þ
0,9083
Àbungsaufgaben
2.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten.
a) P (X ¼ 3) fÝr n ¼ 10; p ¼ 0,1
b) P (X ¼ 7) fÝr n ¼ 20; p ¼ 0,2
c) P (X ¼ 10) fÝr n ¼ 50; p ¼ 0,25
d) P (X ¼ 28) fÝr n ¼ 100; p ¼ 0,3
e)
f)
g)
h)
P (4 X 7)
P (3 X 6)
P (19 X 24)
P (10 X 18)
fÝr n ¼ 10; p ¼ 0,3
fÝr n ¼ 20; p ¼ 13 ;
fÝr n ¼ 50; p ¼ 0,4
fÝr n ¼ 100; p ¼ 0,1
3.
Eine MÝnze wird 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man
(1) mindestens 45, hÚchstens 55-mal Wappen;
(3) weniger als 55-mal Wappen;
(2) mindestens 40, hÚchstens 60-mal Wappen;
(4) mehr als 47-mal Wappen?
4.
Nur noch in ca. 30% der Haushalte ist ein Schallplattenspieler vorhanden. Im Rahmen einer Marktuntersuchung
werden 100 Haushalte zufÈllig ausgewÈhlt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man in
a) (1) mehr als 30, (2) mindestens 30,
(3) mehr als 24, aber weniger als 28
dieser Haushalte einen Schallplattenspieler?
b) (1) genau 68,
(2) weniger als 71,
(3) hÚchstens 68,
dieser Haushalte keinen Schallplattenspieler?
(4) mehr als 71
5.
a) Eine MÝnze wird 100-mal geworfen. Wir betrachten die ZufallsgrÚße
X: Anzahl der Wappen.
Es gilt z. B. P (43 X 59) ¼ 0,905 90%, d. h. mit einer Wahrscheinlichkeit von
ca. 90% liegt die Anzahl der Wappen im Intervall [43; 59].
Geben Sie ein Intervall an, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 80% [ca.
95%] die Anzahl der Wappen liegen wird.
b) Ein WÝrfel wird 100-mal geworfen. Geben Sie ein Intervall an, in dem mit einer
Wahrscheinlichkeit von ca. 90% [ca. 80%; ca. 95%] die Anzahl X der WÝrfe mit
Augenzahl 6 liegen wird.
STOCHASTIK
222
6.
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 50 Items ( Aufgaben) mit jeweils 5 Antworten,
von denen jeweils nur eine richtig ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man durch
bloßes Raten
(1) mehr als 20 Items,
(3) weniger als 10 Items,
(2) mindestens 10 und hÚchstens 20 Items, (4) genau 15 Items richtig beantworten?
7.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten.
a) P (X ¼ 7)
fÝr n ¼ 10; p ¼ 0,75
b) P (X ¼ 14)
fÝr n ¼ 20; p ¼ 23
c) P (3 X 8) fÝr n ¼ 10; p ¼ 0,75
d) P (X 7) fÝr n ¼ 10; p ¼ 0,4
e) P (X < 18) fÝr n ¼ 20; p ¼ 0,9
f) P (X > 30) fÝr n ¼ 100; p ¼ 0,2
8.
Ein WÝrfel wird 20-mal geworfen. Geben Sie das Gegenereignis zu folgendem Ereignis
an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
(1) Mehr als 3-mal Augenzahl 2
(2) HÚchstens 8-mal Augenzahl 5 oder 6
(3) Weniger als 6-mal eine Augenzahl kleiner als 5
(4) Mindestens 10-mal eine Augenzahl grÚßer als 1
(5) Mehr als 4-mal, aber weniger als 9-mal Augenzahl 2 oder 3
(6) Mindestens 11-mal und hÚchstens 14-mal keine Sechs
9.
In der Kantine einer Firma nehmen erfahrungsgemÈß durchschnittlich 60 der 100 Angestellten ihr
Mittagessen ein. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
werden
(1) mehr als 60,
(2) weniger als 60
Personen in der Kantine essen?
10.
In 80% der Haushalte in Deutschland ist ein CD-Player vorhanden. Eine Befragung
wird in 100 zufÈllig ausgesuchten Haushalten durchgefÝhrt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man
(1) in genau 80,
(2) in mindestens 80,
(3) in mehr als 80
Haushalten einen CD-Player vorfindet?
11.
40% der MitteleuropÈer haben Blutgruppe A. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden
unter 100 Blutspendern
(1) genau 45,
(3) hÚchstens 48,
(2) mehr als 35,
(4) mindestens 30 und hÚchstens 50 Blutgruppe A haben?
12.
Von den 100 BeschÈftigten eines Betriebes kommen durchschnittlich 40% mit ihrem
Auto zur Arbeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit genÝgt ein Parkplatz mit 50 PlÈtzen?
Wie viele PlÈtze mÝssen zur VerfÝgung stehen, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% ausreichen?