∫ ∫ ∫ ∫

1/8
EL3-6, Anhang 1
Anhang1 Analogien unter Vektorfeldern
A1.1 Analogien
Wegen der mathematischen Strukturverwandtschaft zwischen den Beziehungen (Bilanzen und konstitutive
Gesetze) können folgende Analogien zwischen den elektrostatischen, den stationären Strömungs- und den
magnetostatischen Feldern aufgestellt werden:
elektrostatisches Feld
stationäres
Strömungsfeld
magnetostatisches Feld
el. Feldstärke
E
el. Feldstärke
E
magn. Feldstärke
H
Permittivität
ε
el. Leitfähigkeit
γ
Permeabilität
µ
Verschiebungsdichte
D = ε·E
Stromdichte
j = γ·E
magn. Flussdichte
B = µ·H
Spannung
U=∫ E·ds
Spannung
U=∫ E·ds
magn. Spannung
Um=∫ H·ds
Maschensatz
∫ E ⋅ ds = 0
Maschensatz
∫ E ⋅ ds = 0
Durchflutungsgesetz1
∫ H ⋅ds = 0
Verschiebungsfluss
Q = ∫ D·dA Stromstärke
I = ∫ j·dA
magn. Fluss
Φ = ∫ B·dA
Gauss2
∫ D ⋅dA = 0
Knotensatz3
∫ j ⋅dA = 0
Quellenfreiheit4
∫ B ⋅ dA = 0
Kapazität
C=
Q
U
Leitwert
G=
I
U
magn. Leitwert
Λ=
Φ
Um
Tabelle 1 Analogien
Bemerkung: Diese Analogien gelten natürlich nur unter bestimmten Bedingungen (siehe Fussnoten). Sie
sind auch nicht physikalischer, sondern rein mathematischer Natur.
Strömungsfelder sind anschaulich, da sie den Fluss von Ladungsträgern (Driftgeschwindigkeit,
Stromdichte) unter dem Einfluss der elektrischen Feldstärke beschreiben. Die Gestalt von 2-dimensionalen
stationären5 oder quasistationären6 Strömungsfeldern kann messtechnisch am Modell (Kohleschichtpapier
oder Wassertank) relativ einfach bestimmt werden. Dank der Analogien, können Messungen am
Strömungsfeldmodell auf die anderen Felder übertragen werden. Diese Methoden werden in der Praxis
kaum mehr benutzt7 , bieten aber den Vorteil der Anschaulichkeit. Damit können z.B. die Brechung der
Feldlinien an einer Materialgrenze, der Streufluss des magnetischen Felds im Luftspalt eines
Elektromotors, die Durchschlagsfestigkeit einer Hochspannungsleitung, die Kapazität einer
Elektrodenanordnung oder die Anziehungskraft zwischen den Kontaktzungen eines Reed-Relais bestimmt
werden.
1
2
3
4
5
6
7
Die magnetische Umlaufspannung verschwindet in durchflutungsfreien Gebieten.
Der Fluss der Verschiebungsdichte durch eine geschlossene Fläche (Hüllfläche) verschwindet, wenn
keine „freien“ Ladungen Q darin eingeschlossen sind.
Der Gesamtstrom durch eine geschlossene Fläche (Knoten) verschwindet immer.
Der magnetische Fluss durch eine geschlossene Fläche (Hüllfläche) verschwindet immer.
Bei stationären Verhältnissen sind alle Grössen zeitlich konstant (Gleichstrom).
Quasistationäre Verhältnisse herrschen bei Wechselstrom (sinusförmiger Verlauf der Grössen).
Die Feldbestimmung geschieht heute vorwiegend mit numerischen Methoden (finite Elemente).
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€
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EL3-6, Anhang 1
A1.2 Ausmessen eines Strömungsfelds, Verfahren
In ebenen Leitern8 lassen sich Äquipotentiallinien messtechnisch einfach bestimmen und darstellen, da
das Strömungsfeld 2-dimensional ist. Der Verlauf der elektrischen Feldlinien, sowie der Feldstärke entlang
dieser Linien kann anschliessend mit der sogenannten Kästchenmethode9 bestimmt werden.
Das Feld der elektrischen Feldstärke um eine Zweidrahtleitung zum Beispiel ist ein sogenanntes
parallelebenes Feld, d.h. sein Erscheinungsbild ändert sich nicht entlang einer Richtung, in diesem Fall
entlang der Leitung. Die 2-dimensionale Darstellung des Feldverlaufs in einer Ebene senkrecht zur
Leitungsachse beschreibt somit das gesamte räumliche Feld. Die Gestalt dieses 2-dimensionalen Felds
kann einem ebenen Leiter (Kohleschicht) messtechnisch bestimmt werden (siehe Figur 16.2).
1. Schritt Messung
Mit der unten dargestellten Messschaltung können Punkte eines gegebenen Potentials auf dem
Widerstandspapier (Kohleschichtpapier) ermittelt werden. Das Potential wird durch die Stellung des
Potentiometerschleifers vorgegeben. Die Prüfspitze wird auf dem Widerstandspapier verschoben bis die
Elektrodenanordnung mit dem Potentiometer eine abgeglichene10 Brückenschaltung bildet.
Elektrode
Netzgerät
V
U
Rp
I
Ib=0
Prüfspitze
A
Widerstandspapier
Figur 16.2 Schaltung zur Messung von Äquipotentiallinien.
Das Messobjekt (Widerstandspapier und Elektroden) entspricht einer Zweidrahtleitung.
Die Äquipotentiallinie eines bestimmten Potentials entspricht der Linie auf der sich alle Punkte desselben
Potentials befinden. Diese Kurve entspricht im 3-dimensionalen Feld der Äquipotentialfläche. Die auf dem
Widerstandspapier gemessenen Punkte werden mit einem Pantographen11 auf ein A4-Blatt im Verhältnis
2:1 übertragen. So können punktweise alle benötigten Äquipotentiallinien aufgenommen und dargestellt
werden.
Aufnahme der Äquipotentiallinien
Im Allgemeinen empfiehlt sich die n-1 Äquipotentiallinien12 mit der Potentialschrittweite ∆ ϕ = U/n
aufzunehmen, wobei n eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel: U = 10 V, n = 10, d. h. die Linien für die
Potentiale ϕ = 1, 2, …, 9 V.
8
9
10
11
12
Ebene Leiter weisen im Verhältnis zu ihren sonstigen Abmessungen eine geringe und überall gleiche
Dicke auf.
Eine detaillierte Beschreibung der Käschenmethode kann z.B. in Führer, Heidemann, Nerreter:
Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 1, Hanser, § 5.2 gefunden werden.
Die Prüfspitze wird dabei auf dem Widerstandspapier so verschoben, dass der Brückenstrom Ib
verschwindet.
Pantograph: Gestänge mit dem man eine Zeichnung gegebenenfalls in einem anderen Masstab
übertragen kann.
Die Äquipotentiallinien der Elektroden sind bekannt und müssen nicht aufgenommen werden.
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EL3-6, Anhang 1
2. Schritt Feldbestimmung
Zusammenhänge
Elektrische13 Kräfte auf die Ladungsträger (hier die Elektronen) wirken entlang der Feldlinien der
elektrischen Feldstärke E: die Elektronen bewegen sich entlang dieser Feldlinien (F = -e·E). Die Feldlinien
der Feldstärke decken sich mit denen der Stromdichte, da die Driftgeschwindigkeit v der Ladungsträger
parallel zu F ist (j = -env = γ·E). Diese Zusammenhänge, sowie Betrachtungen über die geleistete Arbeit
(dW = -e·dϕ mit dϕ = -E·ds) führen auf folgende Eigenschaften von Feld- und Äquipotentiallinien:
• Die Feldlinein stehen grundsätzlich senkrecht auf
Äquipotentialflächen.
den
Äquipotentiallinien, bzw. den
• Jede Elektrodenoberfläche (idealer Leiter, Metall) ist eine Äquipotentialfläche14 . Feldlinien stehen
demzufolge senkrecht auf der Trennfläche von Elektroden und leitendem Medium (Kohlepapier).
• Grenzt das leitende Medium (Kohlepapier) an einem nichtleitenden Medium (Isolator, Luft), so
verlaufen die Feldlinien parallel zur Grenzlinie, die Äquipotentiallinien entsrechend senkrecht dazu.
• Äquipotentiallinien verschiedener Potentiale können sich nicht kreuzen, da ein Punkt nicht gleichzeitig
zwei verschiedene Potentiale aufweisen kann. Feldlinien können sich daher ebenfalls nicht kreuzen oder
berühren15 . Ein Ladungsträger wird also immer einer Feldlinie folgen: er kann nicht von einer Feldlinie
zu einer anderen wechseln.
Kästchenmethode
Eine erste Feldlinie wird von einer Elektrode zur anderen gezogen, so dass sie die Äquipotentiallinien
senkrecht schneidet. Am besten beginnt man auf einer Symmetrieachse des Feldbilds. Alle weiteren
Feldlinien werden hintereinander so konstruiert, dass mit den Äquipotentiallinien "Quadrate" (Kästchen)
gebildet werden: für jedes Kästchen wird der mittlere Abstand zwischen den Feldlinien gleich gross
gewählt wie der Abstand zwischen den abgrenzenden Äquipotentiallinien. Selbstverständlich müssen auch
diese Feldlinien senkrecht zu den Äquipotentiallinien verlaufen.
Der Betrag Ei der mittleren elektrischen Feldstärke in einem Kästchen kann mit dem Abstand der
Äquipotentiallinien ∆si wie folgt bestimmt werden: Ei ≈ ∆ϕ/∆si. Mit der Leitfähigkeit γ des Leitermaterials
kann ebenfalls die mittlere Stromdichte im Kästchen bestimmt werden: ji = γ·Ei.
Durch die Konstruktion der Feldlininen wird das Gebiet zwischen den Elektroden in m Stromröhren
unterteilt. Bei der letzten Feldlinie können möglicherweise keine quadratische Kästchen mehr konstruiert
werden. In diesem Fall ist m keine ganze Zahl. Man kann zeigen, dass der elektrische Widerstand von allen
Kästchen gleich gross ist, nämlich RK = ρ/d. Dabei sind ρ = 1/ γ der spezifische Widerstand des leitenden
Mediums und d die Dicke der ebenen Leiterschicht. Die Stromstärke ist daher in allen ganzen Stromröhren
gleich und beträgt: ∆I = I/m.
U n
n ρ
Der Gesamtwiderstand zwischen den Elektroden beträgt: R = = R K =
.
I m
md
Bemerkung: Da in allen Formeln das Verhältnis ρ/d auftritt, können durch das vorgestellte Verfahren die
beiden Grössen Leitfähigkeit und Schichtdicke nicht einzeln bestimmt werden.
13
14
15
bei stationären und quasistationären Verhältnissen
Exakt gilt diese Aussage nur bei statischen Verhältnissen. Bei stationären und quasistationären
Verhältnissen ist aber die elektrische Feldstärke in Leitern so schwach, dass auch stromführende
Elektroden praktisch als Äquipotentialflächen betrachtet werden können.
Feldlinien können sich nur in Punkten berühren, wo die elektrische Feldstärke verschwindet oder in
einer Punktladung.
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A1.3 Brechungsgesetze für Feldlinien
A1.3.1 Brechung der Feldlinien der Leitungsstromdichte an Leiterkontaktflächen
Trifft ein Stromdichtefeld auf die Kontaktgrenzschicht von zwei Leitern mit verschiedenen Leitfähigkeiten
γ, so werden die Feldlinien der Stromdichte j (und des entsprechenden elektrischen Feldes E = j/γ ) an der
Trennfläche gebrochen.
Um diesen Vorgang zu verstehen, müssen zwei Betrachtungen angestellt werden:
1) Auf der Kontaktgrenzschicht (Trennschicht) zweier Leiter können sich keine Ladungen ansammeln.
Gemäss Knotensatz, muss also der Fluss der Leitungsstromdichte j durch jede beliebige, die
Trennschicht enthaltende Hüllfläche verschwinden (siehe Figur 16.1).
∫ j ⋅dA = ∫ j
1
⋅dA1 + ∫ j2 ⋅ dA2 = − j1n ⋅ ΔA + j2 n ⋅ ΔA = 0
Die Komponenten j1 n und j2 n der Stromdichte die senkrecht zur Trennschicht verlaufen
(Normalkomponenten), müssen auf beiden Seiten der Trennschicht gleich gross sein.
Für die entsprechenden Normalkomponenten der elektrischen Feldstärke gilt daher folgende
Beziehung: E1 n/E2 n = γ 2 / γ 1 .
2) Der Maschensatz entlang des Pfades 1-2-3-4-1 auf beiden Seiten der Trennschicht (siehe Figur 16.1)
liefert:
2
3
4
1
∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ds + ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds = E
1t
1
2
3
⋅ Δs1 2 + U2 3 − E 2t ⋅ Δs3 4 + U4 1 = 0
4
Die Spannungen über der Trennschicht U2 3 und U4 1 verschwinden, da die Strecken ∆s2 3 und ∆s4 1
zur Überquerung der Trennschicht beliebig klein gewählt werden können.
Da die Wegstrecken ∆s1 2 und ∆s3 4 gleich lang sind, müssen die Komponenten E1 t und E2t des
elektrischen Feldes die parallel zur Trennschicht sind (Tangentialkomponenten) auch gleich sein.
Dies bedeutet, dass für die entsprechenden Tangentialkomponenten der Leitungsstromdichte folgende
Beziehung gilt: j1 t/j2 t = γ 1 / γ 2 .
γ2
G
re
nz
flä
ch
e
γ1
• •
j2
ϕ2
∆A2

• •

Figur 16.1 Grenzfläche (Trennschicht) zwischen zwei Medien
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Mit dem Winkel ϕi (ϕ1 bzw. ϕ2 ) zwischen der Trennflächennormalen und der Feldlinie im Medium i (i = 1
bzw. 2) erhält man folgende Beziehungen:
E it = E i ⋅sin(ϕ i ), E in = E i ⋅ cos(ϕ i ) und analog für ji t und ji n.
Damit ergibt sich für die Feldlinien der Leitungsstromdichte an der Trennfläche zweier Leitermaterialien
folgendes Brechungsgesetz:
tg(ϕ1 ) γ 1
=
tg(ϕ 2 ) γ 2
A1.3.2 Brechung der elektrischen Feldlinien an Isolatortrennflächen
In Isolatoren treten vorwiegend Verschiebungsströme auf. Leitungsströme können im Allgemeinen
vernachlässigt werden. Ausserdem können (polarisierte) Flächenladungen auf der Isolatoroberfläche
auftreten. Diese Flächenladungen beeinflussen den Verlauf der elektrischen Feldlinien durch die
Trennfläche zweier Isolatoren: die Feldlinien werden gebrochen.
Um dies zu verstehen, können ähnliche Überlegungen angestellt werden wie bei den Strömungsfeldern.
1) In Abwesenheit von "freien Ladungen" in Isolatoren muss der Fluss der Verschiebungsstromdichte jD
= dD/dt durch jede beliebige, die Trennschicht enthaltende Hüllfläche verschwinden. Dies gilt
entsprechend auch für den Fluss der Verschiebungsdichte D, da sich auf der Trennfläche keine freien
Ladungen befinden können (Satz von Gauß). Mit dieser Bedingung ist auch die für den Fluss der
Verschiebungsstromdichte erfüllt.
∫ D ⋅dA = ∫ D ⋅ dA + ∫ D
1
1
2
⋅dA2 = −D1 n ⋅ ΔA + D2 n ⋅ ΔA = 0
Die Komponenten D1 n und D2n der Verschiebungsdichte die senkrecht zur Trennschicht verlaufen
(Normalkomponenten), müssen auf beiden Seiten der Trennschicht gleich gross sein.
Für die entsprechenden Normalkomponenten der elektrischen Feldstärke gilt daher folgende
Beziehung: E1 n/E2 n = εr2/εr1.
2) Die für die Strömungsfelder gemachte Betrachtung kann hier eins zu ein übernommen werden.
Die Komponenten E1 t und E2 t des elektrischen Feldes die parallel zur Trennschicht sind
(Tangentialkomponenten) sind gleich.
Dies bedeutet, dass für die entsprechenden Tangentialkomponenten der Verschiebungsdichte folgende
Beziehung gilt: D1 t/D2 t = εr1/εr2.
Für die Feldlinien der elektrischen Feldstärke an der Trennfläche zweier Isolatoren ergibt sich also
folgendes Brechungsgesetz:
tg(ϕ1 ) ε r1
=
tg(ϕ 2 ) ε r 2
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A1.3.3 Brechung der magnetischen Feldlinien an Materialgrenzen
An den Trennflächen diverser Materialien, insbesondere ferromagnetischer Materialien, werden die
magnetischen Feldlinien gebrochen. Dies ist auf die Molekularkreisströme im Material zurückzuführen die
sich makroskopisch verhalten wie ein Oberflächenstrom.
Um dies erklären zu können, müssen folgende Betrachtungen angestellt werden:
1) Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes verlangt, dass der Fluss der magnetischen Flussdichte B
(Fluss der Induktion) durch jede beliebige Hüllfläche verschwindet. Dies gilt insbesondere für
Hüllflächen die einen Teil der Trennschicht enthalten.
∫ B ⋅ dA = ∫ B ⋅ dA + ∫ B
1
1
2
⋅dA2 = −B1 n ⋅ΔA + B2 n ⋅ ΔA = 0
Die normalen Komponenten B1 n und B2 n der magnetischen Flussdichte sind auf beiden Seiten der
Trennschicht gleich gross.
Für die normalen Komponenten der magnetischen Feldstärke H (magnetische Erregung) ergibt sich
entsprechend folgende Beziehung: H1 n/H2 n = µr2 /µr1.
Im Gegensatz zu B ist also H nicht Quellenfrei!
2) Das Durchflutungsgesetz verlangt, dass das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke H entlang des
Pfades 1-2-3-4-1 verschwindet (analog zur Situation in der Figur), da in diesem Gebiet nur
Molekularkreisströme fliessen.
2
3
4
1
∫ H ⋅ds = ∫ H ⋅ds + ∫ H ⋅ds + ∫ H ⋅ds + ∫ H ⋅ds = H
1
2
3
1t
⋅ Δs1 2 − H2 t ⋅ Δs3 4 = 0
4
Die tangentialen Komponenten H1 t und H2 t der magnetischen Flussdichte sind auf beiden Seiten der
Trennschicht identisch16 .
Für die tangentialen Komponenten der magnetischen Flussdichte B, ergibt sich daher die Beziehung:
B1 t/B2 t = µr1 /µr2.
Für die Feldlinien der magnetischen Flussdichte an der Trennfläche zweier Materialien ergibt sich also
folgendes Brechungsgesetz:
tg(ϕ1 ) µr1
=
tg(ϕ 2 ) µ r2
16
Die Integrale zwischen den Punkten 2 und 3, sowie 4 und 1 verschwinden wegen dem beliebig kurzen
Integrationsweg über die Trennschicht.
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A1.4 Kräfte an Materialgrenzen
A1.4.1 Elektrostatischer Druck
Für eine geladene Elektrode im Vakuum ist der Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke E an
der Oberfläche und der Flächenladungsdichte σ (Herleitung mittels Satz von Gauß):
σ=
dQ
= ε0 ⋅ E
dA
Nur die Hälfte dieser Feldstärke stammt von der Ladung dQ selbst. Die andere Hälfte stammt von allen
anderen im Raum ausserhalb der Elektrode verteilten Ladungen. Da die Ladung keine Kraft auf sich selbst
ausüben kann, gilt für die Kraft auf die Ladung dQ (bzw. auf das Flächenelement dA)17 :
dF = dQ
E
E
ε
= σ ⋅ dA = dA 0 E 2
2
2
2
Die resultierende Kraft wirkt senkrecht auf die Elektrodenoberfläche. Bezieht man die Kraft auf die Fläche,
erhält man den elektrostatischen Druck (Normalzug18 pro Flächeneinheit):
pn =
dFn ε 0 2
= E
dA
2
Ausserdem kann gezeigt werden, dass an der Trennfläche zwischen zwei verschiedenen Dielektrika eine
Kraft entsteht, die senkrecht auf die Trennfläche gerichtet ist. Die Zugspannung vom Medium 2 zum
Medium 1 beträgt hier:
pn =
dFn ε 2 − ε 1
ε − ε1  2 ε1 2 
=
E1 ⋅ E2 = 2
E + E
dA
2
2  1t ε 2 1n 
E1t und E1 n sind dabei die bezüglich der Trennfläche Tangential- (quer-) und Normalkomponenten des
Feldstärkevektors E1 im Medium 1. Die Kraft ist immer vom Medium mit der grösseren Permittivität zum
Medium mit der kleineren Permittivität gerichtet.
Für den Sonderfall der Grenzfläche zwischen einem Isolator (ε2 = ε0 ·ε r) und Luft (ε1 = ε0 ) ergibt sich
pn =
dFn ε 0 (ε r − 1)
=
ε r E 2t + E2n )
(
dA
2
εr
wenn Et und En die Komponenten der elektrischen Feldstärke im Luftraum bezeichnen. Sind die Feldlinien
parallel zur Grenzfläche (En = 0), so ergibt sich
pn =
17
18
dFn ε 0
= (ε r − 1)⋅ E 2t
dA
2
Für die Bestimmung der Kraft auf dQ muss der Feldanteil genommen werden der von den äusseren
Ladungen erzeugt wird.
Der Index n in der Formel soll dies verdeutlichen.
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8/8
A1.4.2 Magnetostatischer Druck
Analog zum elektrostatischen Fall wirkt auf die Oberfläche eines magnetischen Stoffes eine
magnetostatische Kraft. Bezieht man die Kraft auf die Fläche, erhält man den magnetostatischen Druck
(Normalzug19 pro Flächeneinheit):
pn =
dFn
1 2
A2 2
=
B ≈ 4 ⋅105
B
dA 2µ 0
N
Zahlenbeispiel: Die resultierende Anziehungskraft auf der Oberfläche des kreisrunden Pols eines
Elektromagneten mit 80 cm Durchmesser beträgt bei einer magnetischen Flussdichte von
1.0 T:
F = p·A ≈ 200 kN
Ausserdem kann gezeigt werden, dass an der Trennfläche zwischen zwei verschiedenen magnetischen,
isotropen Stoffen eine Kraft entsteht, die senkrecht auf die Trennfläche gerichtet ist. Die Zugspannung
vom Medium 2 zum Medium 1 beträgt hier:
pn =
dFn µ2 − µ1
µ − µ1
µ − µ1  2 µ 2 2 
=
H1 ⋅ H 2 = 2
B1 ⋅ B2 = 2
B +
B
dA
2
2µ1 µ2
2µ1 µ2  1 n µ1 1t 
B1t und B1 n sind dabei die bezüglich der Trennfläche Tangential- (quer-) und Normalkomponenten des
Vektors der magnetischen Flussdichte B1 im Medium 1. Die Kraft ist dabei immer vom Medium mit der
grösseren Permeabilität zum Medium mit der kleineren Permeabilität gerichtet.
Für den Sonderfall der Grenzfläche zwischen Eisen (µ2 = µ0 ·µr) und Luft (µ1 = µ0 ) ergibt sich
pn =
dFn
1 µr − 1
=
(µ r B2t + B2n )
dA 2µ 0 µ r
wenn Bt und Bn die Komponenten der magnetischen Flussdichte im Luftraum bezeichnen.
19
Der Index n in der Formel soll dies verdeutlichen.
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