Übungen zur VL Physik 4

SS 07
1. Übung zu Physik 4
Kern- und Teilchenphysik
1) Mechanik:
Berechnen Sie (nichtrelativistisch) den maximalen Ablenkwinkel (= Streuwinkel) eines αTeilchens, das mit einer Energie von 5.4 MeV auf ein ruhendes Elektron stösst.
Hinweis: Für den Streuwinkel braucht man die asymptotischen Impulse. Beim elastischen
Stoss von zwei Kugeln werden die asymptotischen Impulse sofort nach dem Stoss angenommen. Lösen Sie daher diese Aufgabe einfach dadurch, dass Sie das mechanische
Problem betrachten: elastischer Stoss zweier harter Kugeln (mit den Massen von e- und α).
Es zeigt sich: der maximale Ablenkwinkel hängt nicht von der Geschwindigkeit des
einfallenden Teilchens ab. Ist das plausibel? Literatur: z.B. Demtröder.
[Motivation für diese Aufgabe: α-Streuung am Atom im Thomsonmodell; siehe VO]
2) Elektrizität:
Gegeben sei eine Kugel mit homogen verteilter Ladung (Radius R, Gesamtladung Q).
a) Wie gross ist die elektrostatische Abstossungsenergie der Ladungsanordnung?
Berechnen Sie dazu die Arbeit, die nötig ist, um die Kugelladung kontinuierlich aus
Kugelschalen aufzubauen, die aus dem Unendlichen herantransportiert werden.
b) Und im Vergleich dazu: Wie gross ist die elektrische Feldenergie ∫ ½ ε0 E2 dV dieser
Ladungsverteilung? 2 Anteile! Was passiert im Limes R → 0?
c) Berechnen Sie den mittleren quadratischen Ladungsradius Rm2 der Kugel:
Rm2 := <r2> = ∫ r2 ρ(r) dV/Q, wobei Q = ∫ ρ(r) dV, ρ(r) = ρ0 für r < R, und 0 sonst.
(vgl. elektromagnetischer Radius eines Kerns – siehe Vorlesung Kapitel 1)
[Motivation für a) und b): Frage: Wo steckt die Energie von a)?
Motivation für c: Ladungsverteilung eines Atomkerns: In Experimenten kann man nur Rm2
bestimmen, nicht aber R!]
3) Atomphysik: Bohr’sches Atommodell:
a) Berechnen Sie den dimensionslosen Quotienten v/c, wobei v die Geschwindigkeit des
Elektrons auf der 1. Bohr’schen Bahn des Wasserstoffatoms ist? Wie heisst diese
Grösse und welche Bedeutung hat sie?
b) Wie gross ist der Quotient aus kinetischer und potentieller Energie auf der n-ten
Bohr’schen Bahn?
4) Relativistische Formel für die kinetische Energie Ekin:
Da oft nicht klar ist, wie die relativistische Formel für die kinetische Energie aussieht, soll
hier eine Ableitung dieser Formel durchgeführt werden. Man geht von der grundlegenden
Definition der Arbeit aus, nämlich als Integral der aufgewendeten Kraft über den Weg:
W = ∫ F⋅dr.
Allgemein muss man über die Kraft entlang des Weges nichts wissen. Auch der Weg ist
uninteressant. Da man die kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit wissen
möchte, integriert man über diese. Für die Kraft verwendet man die allgemeine Definition
der Impulsänderung pro Zeiteinheit. Der Impuls ist durch p = γmv gegeben (dies wird
durch das Experiment nahegelegt; γ=(1-v2/c2)−1/2), und eben nicht durch p = mv (wie in der
klassischen Mechanik).
Wichig ist auch, die funktionalen Abhängigkeiten zu sehen: p = f(v(r(t))), f ist eine
Funktion. Dies braucht man, wenn man dp/dt betrachtet (Anwendung der Kettenregel):
d
d
dr
d
F =
p =
p⋅
= v⋅
p
dr
dt
dr
dt
v
v
⎞
⎞
⎛
d ⎛
mv
d ⎛
mv
mv
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
dr
v
dr
v
d
∫
∫
∫
⎜
2
2
dt ⎜⎝ 1 − v 2 / c 2 ⎟⎠
dr ⎜⎝ 1 − v 2 / c 2 ⎟⎠
0
0
0
0
⎝ 1− v / c
Führen Sie die Ableitung zu Ende (partielle Integration). Wie schauen die ersten 2 Terme
der Reihenentwicklung in v aus?
v
E kin = ∫ F ⋅ dr =
v
⎞
⎟
⎟
⎠