25. Vorlesung - IKP, TU Darmstadt

Physik IV
Einführung in die Atomistik
und die Struktur der Materie
Sommersemester 2011
Vorlesung 25 – 14.07.2011
Physik IV - Einführung in die Atomistik | Vorlesung 25 | Prof. Thorsten Kröll
14.07.2011
1
Klausur
2-stündige (120 min) Klausur
Termin
Freitag 12.08.2011: 15:30 – 18:00 Uhr
S1 01 / A1
Nachklausur (soweit derzeit festgelegt)
Montag 10.10.2011: 15:00 – 17:00 Uhr S2 04 / 213
Zugelassene Hilfsmittel:
• Stifte, Lineal, Geodreieck, Zirkel, …
• nichtprogrammierbarer Taschenrechner
• Formelsammlung ( 1 DIN A 4 Blatt, zweiseitig)
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2
Atomistik
• Materie besteht aus kleinen elementaren Bausteinen, die miteinander
wechselwirken … Aufbau größerer Einheiten.
• Auf der kleinsten Skala sind die Bausteine „Elementarteilchen“, die
sich nicht weiter zerlegen lassen.
• Zu jeder Größenskala gehört auch eine Energieskala.
• Auf jeder Größenskala ist es sinnvoll nur die jeweils relevanten
Bausteine zu betrachten. Die darunterliegende Skala kann als
entkoppelt angenommen werden (für den Festkörper braucht man
z.B. zunächst nicht zu wissen, dass der Kern aus Nukleonen besteht).
• Es treten häufig ähnliche Niveauschemata auf, z.B. Vibrationen in
Molekülen, Festkörpern und auch in Kernen,
Schalenmodell (Atom/Kern), …
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3
Typische Längeskalen in
der Natur
… VIELE Grössenordnungen
Universum r ≈ 4.5 · 1026 m
(beobachtbares Universum,
vielleicht ist es auch viel größer)
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4
Größen- und Energieskalen
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Δx ⋅ Δp ≥
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h
2
5
Atomistisches Bild der Materie (II)
Festkörper besteht
aus VIELEN Atomen oder Molekülen (Größenordnung 1023)
Molekül besteht
aus 2 bis einige 100000 Atomen
Polymere
Atom (10-10 m)
besteht
aus Kern und
Elektronenhülle
Es gibt unterschiedliche
„Atome“!!!
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6
Atomistisches Bild der Materie (III)
Atom (10-10 m) besteht
aus Kern und Elektronenhülle
Kern (10-15 m) besteht
aus Nukleonen:
Protonen und Neutronen
Elektron ist bereits
ein Elementarteilchen
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Nukleonen bestehen
Quarks und Gluonen
(Elementarteilchen)
< 10-15 m
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Experimentellen Beobachtungen in der Natur
Masse von Molekülen:
Ganzzahlige Vielfache von Atommassen*
Masse von Atomen:
Ganzzahlige Vielfache von atomarer Masseneinheit u*
Masse von Kernen / Isotope:
Ganzzahlige Vielfache von Protonen- bzw. Neutronenmasse*
Ladungen:
Ganzzahlige Vielfache von Elementarladung**
Drehimpuls und Spin:
Ganz- oder halbzahlige Vielfache von ħ
… und weitere Größen, die nur bei Kernen und Elemtarteichen eine Rolle spielen
*minus Bindungsenergie
**Quarks haben ganzahlige Vielfache von Drittel-Elementarladungen
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Vorstellung von Atomen
Entdeckung des Elektrons (1893) als Bestandteil
des Atoms … das „Atom“ ist nicht unteilbar
Thomsonsche Atommodell (1903):
Atom besteht aus homogener positiv geladener
Masse mit kleinen negativen Elektronen drin.
(Pudding-Modell)
Entdeckung des Atomkerns (1911)
Rutherfordsche Atommodell (1911):
Atom besteht aus kleinem positiv geladenem
Kern (etwa 1/10000 des Atomdurchmessers),
der fast die gesamte Masse des Atoms enthält.
Die Elektronen umkreisen den Kern.
Joseph John Thomson (1856-1940)
Ernest Rutherford (1871-1937)
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9
Zweifel an der atomistischen Vorstellung
Noch um 1900:
Ernst Machs Standardantwort auf die Frage
nach der Existenz von Atomen:
„Ham se welche gesehen?“
… später ließ er sich aber vom
Gegenteil überzeugen!
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10
Wie groß ist ein Atom, ein Kern ???
Bragg-Streuung, Van der Waals Gleichung, Diffusion …
• die Größe von Atomen liegt in der Größenordnung
von 10-10 m = 1 Å = 1 Ångstöm
• jede Meßmethode hat leicht anderes Ergebnis
Folgerung: Atome sind NICHT einfach kleine harte Kugeln
Rutherford-Streuung, …
• die Größe von Atomkernen liegt in der Größenordnung
von einigen 10-15 m (10-15 m = 1 fm = 1 Fermi)
• jede Meßmethode hat leicht anderes Ergebnis
Folgerung: Kerne sind NICHT einfach kleine harte Kugeln
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Bohrsches Atommodell
Bohrsche Postulate
Linienspektren in Emission und
„Elektronen auf Planetenbahnen“ Absorption
Energie und Drehimpuls kann nur bestimmte Werte annehmen
… warum?
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Quantenmechanik (I)
Quantenmechanik ist die der Atomistik zugrundeliegende Theorie
Zustand eines Systems wird durch Wellenfunktion Φ beschrieben.
Wahrscheinlichkeitsinterpretation von Φ
Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zur Zeit t am Ort r zu finden:
r
r
* r
P(r , t ) = Φ (r , t ) ⋅ Φ (r , t )
Wellenfunktion muss normiert sein (Wahrscheinlichkeit, das Teilchen
irgendwo zu finden ist eins):
r
r
r
r
* r
∫ P(r , t ) dV = ∫ Φ (r , t ) ⋅ Φ(r , t ) dV = Φ(r , t ) Φ(r , t ) = 1
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Quantenmechanik (II)
Physikalische Observablen werden durch quantenmechanische
Operatoren repräsentiert, z.B.
r
r
r
p
→
→
Ekin →
E pot →
E ges →
r
L
→
(
r
( h
p = grad
i
( p( 2
h2
T=
=−
Δ
2m
2m
(
V
( ( (
H = T +V
( ( (
L=r×p
...
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Quantenmechanik (III)
Wert einer physikalische Observablen ist Erwartungswert des
entsprechenden Operators:
(
( r
(
r
r
* r
X = ∫ Φ ( r , t ) XΦ ( r , t ) d V = Φ ( r , t ) X Φ ( r , t )
Wellenfunktion Φ ist Lösung der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung (nicht-relativistische QM):
(
)
( (
(
∂
T + V Φ = HΦ = ih Φ
∂t
Separation der Variablen r und t:
r iEt / h
v
Φ ( r , t ) = Ψ ( r )e
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Quantenmechanik (IV)
Wellenfunktion Ψ ist Lösung der zeitunabhängigen
Schrödinger-Gleichung:
(
)
(
( (
(⎞
⎛ h
HΨ = T + V Ψ = ⎜ −
Δ + V ⎟Ψ = EΨ
⎝ 2m
⎠
Eigenwerte:
(
(
r
r
r (
r
r
r
H = Φ (r , t ) H Φ (r , t ) = Ψ (r ) H Ψ (r ) = Ψ (r ) E Ψ (r )
r
r
= E Ψ (r ) Ψ (r ) = E
Wenn Φ Eigenfunktion zu Operator X ist, hat die physikalische
Observable einen exakten Wert, den Eigenwert. Anderenfalls
ist der Wert ein Erwartungswert mit einer Unbestimmtheit
… man nicht immer alle Observablen gleichzeitig exakt messen!
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Quantenmechanik (V)
Heisenbergsche Unschärferelation
h
Δx ⋅ Δp x ≥
2
Welle-Teilchen-Dualismus
De Broglie- Wellenlänge
h
p = hk =
λ
Eigenfunktion für freies Teilchen ist ebene Welle
- auch Eigenfunktion zu Impuls p
- Ort völlig unbestimmt
Teilchen – Wellenpaket
- endliche Impulsbreite
- endliche Ausdehnung
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Wasserstoffatom
Coulombpotenzial V hängt nur von |r| ab.
Separation der Variablen r, θ und φ … Wellenfunktion:
r
Ψnlm (r ) = Rn (r ) ⋅ Ylm (ϑ, ϕ)
Enlm
1
= −13.6 eV 2
n
Aus Forderung nach Normierbarkeit
Entartung:
und Eindeutigkeit folgen Quantenzahlen: Gleiche Energieeigenwerte
für unterschiedliche
n = 1, 2, 3,....
Quantenzahlen
l = 0,1, 2,..., n − 1
m = −l , − l + 1,..., l − 1, l
Normierung und Orthogonalität
r
r
Ψi (r ) Ψ j (r ) = δij
… gilt immer, nicht nur im Wasserstoffatom
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Drehimpuls
Kugelflächenfunktionen Y sind Eigenfunktionen der Operatoren
des Quadrats des Drehimpulses und der Projektion auf eine
Achse (hier als „z-Achse“ bezeichnet):
(2
L Ylm (ϑ, ϕ) = l (l + 1)h 2Ylm (ϑ, ϕ)
(
LzYlm (ϑ, ϕ) = mhYlm (ϑ, ϕ)
Der Satz Quantenzahlen (l,m) beschreibt die Länge und die
Orientierung im Raum des Vektors „Drehimpuls“:
r
L=
(2
L = l (l + 1)h
Ylm (ϑ, ϕ) Yl 'm ' (ϑ, ϕ) = δll 'δ mm '
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Kugelflächenfunktionen
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Drehimpuls
r
L
l=2
φ
m
cos φ =
l (l + 1)
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Spin
Elektronen (und auch Protonen) haben „intrinsischen Drehimpuls“
mit s = 1/2 und ms = ± 1/2 : Spin
(2
2
s χ sm s = s ( s + 1)h χ sm s
(
s z χ sm s = ms hχ sm s
Vollständige zeitunabhängige Wellenfunktion für Elektron im H-Atom:
r r
Ψnlmsms (r , s ) = Rn (r ) ⋅ Ylm (ϑ, ϕ) ⋅ χ sms
Bahndrehimpuls l und Spin s koppeln zu Gesamtdrehimpuls j.
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Magnetische Momente
Mit Drehimpuls / Spin ist magnetisches Moment verbunden
r
r
μ L = g Lμ B L
Elektron
Elektron
Proton
Neutron
r
r
μ L = g Lμ K L
gL = 1
Proton
r
r
μ s = g sμ B s
gs ≈ 2
r
r
μ s = g sμ K s
r
r
μ s = g sμ K s
g s = 5.585
anomale g-Faktoren
g s = −3.862
μB: Bohrsches Magneton
μK: Kernmagneton
Aufhebung von Entartung: Feinstruktur, Hyperfeinstruktur …
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Elektromagnetische Übergänge
Linienspektren in Emission und
Absorption
Energie entspricht Abstand von
zwei Zuständen mit diskreten
Energien
Auswahlregeln für
Dipol-Übergänge:
• ΔL= ±1
… Photon hat Spin = 1
• ΔS = 0
… nicht jeder Übergang ist erlaubt. Aus dem Studium von Übergängen
läßt sich also mehr lernen als nur Energien!
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Mehrteilchensysteme – Identische Teilchen
Ansatz: Wellenfunktion ist Produkt von Einteilchen-Wellenfunktion
Bei identischen Teilchen darf Physik nicht davon abhängen, welches
Teilchen welchen Zustand besetzt:
Bosonen (ganzzahliger Spin), z.B. Photon:
Symmetrische Wellenfunktion (bei Vertauschung der Teilchen)
Fermionen (halbzahliger Spin), z.B. Elektron:
Antisymmetrische Wellenfunktion (bei Vertauschung der Teilchen)
Pauli-Prinzip: Zwei identische Fermionen können
nicht im gleichen Zustand sitzen!
ΨA (1,2) = ψ i (1)ψ j (2) − ψ i (2)ψ j (1) = −(ψ i (2)ψ j (1) − ψ i (1)ψ j (2) ) = −ΨA (2,1)
ΨA = 0, falls i = j
Wichtigstes Prinzip zum Verständnis des Aufbaus von Materie!
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Elektronenkonfiguration leichter Elemente
1 Satz Bahndrehimpulsquantenzahlen (l=0, ml = 0)
3 Sätze Bahndrehimpulsquantenzahlen (l=1, ml = -1, 0, 1)
Hundsche Regel:
Spin maximal
= 2 Sätze Spinquantenzahlen (s=1/2, ms = 1/2 und ms = -1/2)
= 1 Zustand besetzt
= beide Zustände besetzt, also voll (Pauli-Prinzip)
Elektronenkonfiguration + Antisymmetrisierung = Mehrteilchenwellenfunktion
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Schalenmodell der
Atomphysik
Schale:
• Gruppe von Zuständen
• Abstand zur nächsten Schale
größer als Abstand der
Zustände innerhalb der
Schale
Valenzelektronen:
Elektronen ausserhalb voll
besetzter („abgeschlossener“)
Schalen oder Zustände
Schalenabschlüsse
„Edelgase“
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Periodensystem der chemischen Elemente
4f
5f
2(2·3+1) = 14 Elektronen
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Atome als „elementare“ Bausteine der Moleküle
Selten in
der Natur
… z.B. interstellare Materie
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Häufig in
der Natur
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Kräfte im Wasserstoffmolekül
Energie
Abstossung
- Protonen
- Pauli-Prinzip
Überlapp der
Elektronenverteilung
0
Anziehung Elektron - Proton
Abstoßung Elektron - Elektron
Abstoßung Proton - Proton
Abstand minimaler
potenzieller Energie
Abstand der Protonen
Der Gewinn an Bindungsenergie überwiegt Abstoßung der Elektronen
und Protonen jeweils untereinander … Molekül ist energetisch
bevorzugte
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30
Molekülorbital als Summe von atomaren Orbitalen
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31
Schwingungen und Rotationen in Molekülen
Erot
Evib
h2
J ( J + 1)
=
2Θ
1⎞
⎛
= hω⎜ ν + ⎟
2⎠
⎝
Auswahlregeln
ΔJ = ±1
(Übergänge zwischen Rotationszuständen)
Δν = ±1
(Übergänge zwischen Vibrationszuständen)
… Beiträge zur spezifischen Wärmekapazität
(makroskopische Größe – mikroskopische Erklärung)
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Rotationbande in Molekül HCl
h2
ΔE = ( J + 1)
Θ
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E < 1 eV
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Überlappung von Orbitalen
Überlappung von zwei s-Orbitalen
Überlappung von zwei p-Orbitalen
σ-Bindung Orbitale parallel zur Verbindungsachse zwischen Atomen (Kernen)
Überlappung von s- mit p-Orbital
sp-Hybridorbital
π-Bindung Orbitale senkrecht zur
Verbindungsachse
zwischen Atomen
(Kernen)
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34
sp-Hybridorbitale in Kohlenstoff
2s- mit 2pz-Orbital mischen:
2 sp-Hybridorbitale
Möglicher Energiegewinn durch
Bindung überwiegt Energieaufwand
für Anregung vom 2s- ins 2p-Orbital
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35
Hybridorbitale – kovalente Bindung
2 Hybridorbitale
σ
π
σ
π
σ
3 Hybridorbitale
4 Hybridorbitale
σ
σ
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σ
σ
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36
Chemische Bindung
• Ionische Bindung
Elektron geht von einem Atom in ein anderes Atom über
• Kovalente Bindung
Elektron wird von zwei Atomen gleichzeitig „gebunden“
• Dipol-Dipol-Bindung (Van der Waals Kraft, Wasserstoffbrücken)
Wechselwirkung zwischen polaren oder polarisierten
Molekülen/Atomen
• Metallische Bindung
Elektron wird von allen Atomen eines Festkörpers „gebunden“
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37
Von Atomen/Molekülen zu kondensierter Materie
Aggregatszustände und Phasenübergänge
Entropie wird größer (Ordnung kleiner)
Weitere Phasen: Plasma, Kerne, …
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38
Elementare Bausteine der Kristalle
Kristall: räumlich
periodische
Anordnung
von Atomen
14 Bravais-Gitter
+
Basis
=
Kristallstruktur
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39
Beispiel: Kochsalz - NaCl
Makroskopische „Salzwürfel“
Kubisches
BravaisGitter
+
Zweiatomige
Basis
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40
Atome als „elementare“ Bausteine von Kristallen
Molekülorbitale
als Linearkombination
von atomaren Orbitalen
Atom
2-atomiges
Molekül
Energiebänder
als Linearkombination
von atomaren Orbitalen
Energiebänder in
Festkörper
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Freie Elektronen
im Potenzialkasten
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41
Fermigas und -verteilung
Besetzung bei T>0:
Fermiverteilung
Zustandsdichte im
Fermigas
(freie Fermionen)
W(E)
dn/dE
Besetzung bei T=0
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42
Nuklidkarte
Nukleonen (Proton/Neutron) sind elementare Bausteine der Kerne
Isotop: AZ (A = Z + N)
Z: Anzahl der Protonen = chem. Element
N: Anzahl der Neutronen
Magische Zahlen
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stabil
β+/EC-Zerfall
β--Zerfall
α-Zerfall
p-Emitter
spontane Spaltung
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Schalenmodell der Kernphysik
Analogie zu Chemie: „Edelisotope“
Magische Kerne
Schalen
•
•
•
•
Sphärische Form
Hohe Bindungsenergie
Valenznukleonen wichtig
usw.
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44
Solare Elementhäufigkeit
Magische Kerne im Universum
Z=50
N=82
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Z=82
N=126
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45
Rotationen und Vibrationen in Kernen
232Th
Erot ≈ 50 keV
Evib = 700 – 1000 keV
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46
Rotationbanden in Kern 232Th
h2
ΔE = ( J + 1)
Θ
E[keV]
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47
Quarks als elementare Bausteine der Nukleonen
q = 2/3 e q = 2/3 e
q = 2/3 e
q = -1/3 e
Proton (Q = e)
q = -1/3 e
q = -1/3 e
Neutron (Q = 0)
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48
Standardmodell
elektromagn.
schwach
elektromagn.
schwach
stark
Austauschbosonen
... Träger der Wechselwirkung
Von den Fermionen existieren
jeweils noch die Antiteilchen
+ Gravitation
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49
Antiteilchen
1928: Dirac Gleichung (relativistische Quantenmechanik)
Gesamtenergie ist quadratische Formel … was ist die negative Wurzel?
(
W = ( pc ) + m0 c
2
2
)
2 2
⇒W = ±
( pc )
2
(
+ m0 c
)
2 2
1932: Anderson entdeckt das Positron
Collins English Dictionary
Antiparticle: any of a group of elementary particles that have the same
mass and spin as their corresponding particle but have opposite values
for all other nonzero quantum numbers. When a particle collides with its
antiparticle, mutual annihilation occurs.
Teilchen und Antiteilchen vernichten sich
vollständig zu Energie (Photonen): E=2mc2.
Umgekehrt werden Teilchen und Antiteilchen
auch immer nur paarweise aus Energie
erzeugt.
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Exotische Atome: Positronium / Quarkonium
J/Ψ
c c
Achtung:
In der Kernphysik
andere
Nomenklatur für
Hauptquantenzahl N
Bei kleinen Abständen
ist QCD-Potenzial zwischen Quarks
in etwa proportional 1/r
… wie Coulomb
Positronium ähnlich Quarkonium
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51
Vier Grundkräfte der Natur
• Elektromagnetische Wechselwirkung
• Starke Wechselwirkung
• Schwache Wechselwirkung
• Gravitation
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Quantentheorien
Nicht-relativistische Quantenmechanik
Schrödinger-Gleichung
Relativistische Quantenmechanik
Dirac-Gleichung (Spin, g-Faktor des Spins, Antiteilchen)
Quantenfeldtheorien
em WW: Quantenelektrodynamik (QED)
(g-Faktor des Elektrons, „Lamb-Shift“, natürliche Linienbreite)
Schwache Wechselwirkung (Vereinigung mit em WW):
Elektro-schwache Wechselwirkung
Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik (QCD)
Gravitation ???
Große Vereinigung (GUT) aller vier Wechselwirkungen … still to be done
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53
„Geschichte
des
Universums“
Struktur im ganz Großen
hängen mit Struktur im
ganz Kleinen zusammen
… Erfolg des atomistischen
Ansatzes
Einige Schritte im Detail noch
unverstanden!
Z.B. wenn Energie sich in
Teilchen-Antiteilchen-Paare
wandelt, warum sehen wir im
Universum aber praktisch nur
Teilchen!?!
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Materiezusammensetzung
Kosmische Hintergrundstrahlung: nur 4% des Universums
besteht aus den heute bekannten Arten von Materie bzw.
Energie?!?
????
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?
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