Arbeitsblatt 3 ¨Ubungen zu Mathematik I für das Lehramt an der

21. November 2006
Arbeitsblatt 3
Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe
sowie an Sonderschulen
H.Strade, B. Werner
7.11.06
WiSe 06/07
Präsenzaufgaben:
1) Schreiben Sie die folgenden Sätze möglichst kurz mit Hilfe der beiden Quantoren“ ∀, ∃:
”
• Erhebt man eine negative Zahl zur 4. Potenz, so erhält man eine positive Zahl.
Lösung: ∀ x ∈ IR : x < 0 =⇒ x4 > 0.
• Es gibt einen Nachfolger einer 2er Potenz1 mit einer 2er-Potenz als Exponenten, der keine
Primzahl ist.
n
Lösung: ∃n ∈ IN : 22 + 1 ist keine Primzahl. Diese Aussage ist übrigens richtig. Setze
n := 5.
2) Nun übersetzen Sie die folgenden Aussagen ins Deutsche“:
”
• ∀ n ∈ IN :
∃k ∈ IN : 1 + 3 + · · · + (2n + 1) = k 2
Lösung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist stets eine Quadratzahl (nämlich
n2 ). In obiger Formel gibt es n + 1 Summanden, d.h. es ist k = n + 1.
• ∃n ∈ IN :
∀k ∈ IN : n 6= k 2
Lösung: Nicht jede natürliche Zahl ist eine Quadratzahl.
3) Füllen Sie die Abb. 1 aus.
4) Geben Sie einige Elemente der folgenden Menge an:
M := {n ∈ IN : die Quersumme von n ist 3 oder 7}.
5) Drücken Sie die Aussage A ⊂ B“ unter alleiniger Verwendung von ∩ und = aus.
”
Lösung: A ∩ B = A.
6) Welche der folgenden Aussagen ist wirklich eine Aussage und dann auch noch wahr?
1
Der Nachfolger einer Zahl n ist n + 1.
1
Abbildung 1: Mengenpuzzle
•
IN ∪ Q = IR
,
IN ∩ ZZ = IN
,
IN ∈ P ot IN
,
IN ⊂ P ot IN
.
{2} ⊂ B
.
• Sei A := {2, 5, a} und B := A ∪ {{2}}. Dann gilt
a∈A
,
a⊂A
,
{2, a} ⊂ A
,
{2} ∈ B
,
Lösung: B hat die beiden verschiedenen Elemente 2 und {2}. Daher sind die beiden
letzten Aussagen wahr.
• Sei A := {1, 2, 3}.
(a) 1 ∈ A
(b) 1 ⊂ A
(c) {1} ⊂ A
(d) {1} ∈
/A
(e) {1, 2, 3} ⊂ A
(f) {1, 2} ∈ A ∪ {{1, 2}}
(g) A ∩ {2, 3} = {2, 3}
(h) A \ {1, 2} = 3
2
• p = 25 =⇒ 5
Lösung: Nonsense. 5 ist keine Aussage.
• 2n − 1 ist Primzahl ⇐⇒ n ist Primzahl.
Nur die Richtung von links nach rechts stimmt (Satz 2.4). Fr n := 11 ist die andere
Richtungs falsch.
• 6 · 7 =⇒ 42.
Lösung: Nonsense. Statt =⇒ muss = stehen..
• Ist n ∈ ZZ, so gilt n2 = 25 ⇐⇒ n = 5.
Lösung: Nur die Richtung von rechts nach links stimmt. Die andere ist falsch, da auch
n := −5 Lösung von n2 = 25 ist.
• 7 = Primzahl.
Lösung: Falsch. Primzahl ist keine Zahl.
• 27 hat 7 Teiler.
Lösung: 8 Teiler (1,2,4,8,16,32,64,128
• Für alle reellen Zahlen x und y gilt (x + y)2 := x2 + y 2 + 2xy.
Doppelpunkt muss weg.
Lösung: Der
Übungsaufgaben: (Abgabe 14.11.06 in den Übungen)
Aufgabe 9:
Zu einer natürlichen Zahl n definiert man die Eulersche Funktion ϕ(n) als die Anzahl der
zu n teilerfremden Zahlen ≤ n (inklusive der Eins!). So ist z.B. ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4.
(a) (2) Sei Mn die Menge aller zu n teilerfremden natürlichen Zahlen ≤ n. Geben Sie Mn für
n = 9, 10, 11, 12, 13 jeweils durch eine vollständige Auflistung an.
Lösung:
Achtung: teilerfremd sind zwei Zahlen, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler Eins ist.
Daher sind z.B. 6 und 8 nicht teilerfremd.
M9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, M10 = {1, 3, 7, 9}, M11 = {1, 2, ..., 10}, M12 = {1, 5, 7, 11}, M13 =
{1, 2, ...., 12}.
(b) (2)
Berechnen Sie ϕ(n) für n = 9, 10, 11, 12, 13.
Lösung:
ϕ(9) = 6, ϕ(10) = 4, ϕ(11) = 10, ϕ(12) = 4, ϕ(13) = 12,
wie man wegen ϕ(n) = |Mn | sofort aus Teil a) erkennen kann.
3
Abbildung 2:
(c) (2)
Zeigen Sie: Für alle Primzahlen p gilt ϕ(p) = p − 1.
Lösung: Alle p − 1 Zahlen 1, 2, · · · p − 1 sind teilerfremd zu p.
(d) (2)
Unter Verwendung der Quantoren ∀ und ∃ sowie der Mengensymbole schreibe man die
folgende Aussage (Der kleine Satz von Fermat) in möglichst knapper Form:
Wenn man irgend eine natürliche Zahl m zur Potenz mϕ(n) erhebt und diese durch irgendeine natürliche Zahl n dividiert, so erhält man stets den Rest eins, sofern ggT (m, n) = 1.
Lösung:
∀m, n ∈ IN mit ggT (m, n) = 1 : mϕ(n) mod n = 1.
Bemerkung: Die ursprüngliche Aufgabentext gab nicht den wirklichen Satz von Fermat
wieder. Die Aufgabe ist unglücklich formuliert, da man nur den einen Quantor benötigt.
Dieser Teil wird daher nur mit Zusatzpunkten bewertet.
(e) (2)
Diese Aussage ist übrigens falsch, wenn man die Voraussetzung ggT (m, n) = 1 weglässt.
Finden Sie zwei solche Ausnahmezahlen m und n, für die der obige Satz falsch ist.
Lösung: Wähle m = 2 = n. Es ist ϕ(2) = 1, aber 2 mod 2 = 0 6= 1.
Aufgabe 10: Seit 1975 gibt es in Berlin eine sogenannte Mengenlehre-Uhr“, s. Abb. 2, die
”
allerdings nicht sehr viel mit Mengenlehre zu tun hat. Wohl aber mit Zahlensystemen (Hinweis:
5er-System). Sie können sich gerne im Internet informieren.
4
(a) (2)
Wieviel Uhr ist es, wenn nur die Rechtecke in der ersten oder nur in der zweiten oder
nur in der dritten oder nur in der vierten Zeile erleuchtet sind? (Anzugeben sind nur vier
verschiedene Zeiten!)
Lösung: 20.00 Uhr, 4.00 Uhr, 0.55 Uhr, 0.04 Uhr
(b) (5)
Finden Sie (mit Begründung2 !!) heraus, wieviel Uhr es in unserer Abbildung ist. Es ist
wichtig zu wissen, dass es die drei Farben gelb, rot und schwarz gibt. Bei SW-Ausdrucken
kann man rot und schwarz kaum unterscheiden – rot ist etwas heller als schwarz. In der
Realität sind die schwarzen Kästchen dunkel, während die roten und gelben leuchten.
Lösung: Die Uhr arbeitet im 5er-System. Die unterste Zeile gibt in gelb (weiß) die Minuten, die darüber befindliche Zeile die 5-Minuten-Anteile in gelb und – bei Anbrechen einer
Viertelstunde – in rot an. Jedes Kästchen zählt 5 Minuten. Die dritte Zeile von unten gibt
Stunden und die oberste Zeile (ohne den Kreis) die 5-Stunden-Anteile an. Jedes Kästchen
zählt 5 Stunden. Der Kreis ist unerheblich und blinkt im Sekundentakt. In der Abbildung
ist es gerade 15:24 Uhr: Die drei roten Rechtecke in der obersten Zeile ergeben 3 · 5 = 15.
Die scharzen Rechtecke darunter liefern keinen Anteil. Dann gibt es in der 3.Zeile 4 erleuchtete Rechtecke, die je 5 Minuten entsprechen, also 20 Minuten. Die unterste Zeile
liefert noch weitere 4 Minuten.
(c) (3)
Machen Sie eine farbige Zeichnung für den Fall, dass es 19:17 Uhr ist.
Lösung: Oberste Zeile: 3 rote, ein schwarzes Rechteck, darunter alle vier rot, darunter 2
gelb, 1 rot, 8 schwarz, unten: 2 gelb, 2 schwarz.
Aufgabe 11:
Im Skript (und Vorlesung) wird (wurde) gezeigt, dass 2n − 1 keine Primzahl ist, wenn n keine
Primzahl ist. Lesen Sie den Beweis durch und beantworten Sie die folgenden Fragen:
(a) (2)
Welches Potenzregel wurde benutzt?
Lösung: 2jk = (2j )k
(b) (4)
Die Zahl n := 34 ist zusammengesetzt. Welche beiden echten“ Teiler hat 2n − 1?
”
Lösung: Wegen 34 = jk = 2·17 sind es 22 −1 = 3 und 217 −1 = 131071. Allgemein wurde
gezeigt, dass 2j − 1 (und damit auch 2k − 1) die Zahl 2n − 1 = 2jk − 1 teilt. Keineswegs
gesichert ist, dass es nicht noch weitere echte Teiler gibt.
2
Sie sollen also hier erklären, nach welchem Schema man die Uhr abliest.
5
(c) (4)
Wieso teilt q − 1 für jede natürliche Zahl q > 1 stets q 5 − 1?
Lösung: Weil
q 5 − 1 = (q − 1)(1 + q + q 2 + q 3 + q 4 )
gilt, wie man durch Ausmultiplizieren erhält.
Aufgabe 12: Geben Sie von den folgenden Mengen jeweils drei verschiedene Elemente an:
(a) (2)
M := {n ∈ IN : n mod 6 = 2}.
Lösung: 2,8,14
Reines Aufzählen genügt. Mengenklammern sind unnötig. Wenn man aber wleche setzt,
dann bitte
{2, 8, 14} ⊂ M,
auf keinen Fall darf ein =-Zeichen an Stelle des ⊂-Zeichens stehen.
(b) (2)
M := {x ∈ IR : x3 + x2 − x = 0}.
√
Lösung: x = 21 (± 5 − 1), x = 0.
Hier ist die Schreibweise
1 √
1 √
M = {0, ( 5 − 1), (− 5 − 1)}
2
2
ausnahmesweise richtig, weil M nur 3 Elemente enthält.
(c) (3)
M := {{x, y} : (x, y ∈ IN) ∧ (∃z ∈ IN : x2 + y 2 = z 2 )}.
Lösung: Es geht um pythagoräische Tripel (x, y, z). Nach dem z ist aber nicht gefragt.
{3, 4}, {6, 8}, {9, 12}.
Reines Aufzählen genügt. Mengenklammern um diese Mengen sind unnötig. Wenn man
aber welche setzt, dann bitte
{{3, 4}, {6, 8}, {9, 12}} ⊂ M,
auf keinen Fall darf ein =-Zeichen an Stelle des ⊂-Zeichens stehen. Das jeweils dazugehörige z muss nicht angegeben werden.
6
(d) (3)
M := {m ∈ IN : ∃ Primzahl p : m = 2p − 1 ist Primzahl}
Lösung: Es geht um Mersenne’sche Primzahlen. m = 3, 7, 31.
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