3. Vorlesung. Arithmetische Theorien.

3. Vorlesung. Arithmetische Theorien.
In dieser Vorlesung wollen wir uns mit dem Begriff des ”Rechnens” befassen und zwar mit
dem angewandten als auch dem formalen Rechnen.
Wir wissen dass die griechischen Mathematiker nicht gerechnet haben. Dies war Sache der
Händler und Handwerker. Dies blieb auch lange Zeit so, nämlich bis hin zur italienischen
Rennaissance (ca. 14. Jhdt.). In der Hand Rennaissance Mathematiker erhielt die Mathematik eine ganz neue Form. In der Rennaissance entdeckte man die Macht des formalen
Rechnens. Diese wurde ermöglicht durch die Entdeckung der Variablen x. Leider fehlt die
Zeit dem interessanten geschichtlichen Aspekt hier nachzugehen. Aber wir werden einige
Andeutungen hierzu machen.
1. Vom angewandten zum formalen Rechnen.
Das Umgehen mit schwarzen Steinchen ist konkret. Mit der Einführung der schwarzen
und weißen Steinchen wird es jetzt möglich, Steinchen zu benutzen. um Ketten von schwarzen Steinchen formal lediglich darzustellen, und zwar durch Ketten von schwarz-weißen
Steinchen. Damit sind die Zahl-Darstellungen entdeckt.
Quadrate Darstellung durch schwarz-weisse Ketten.
Zwei Ketten kann man zu einer neuen Kette vereinigen oder man kann Steine zu Rechtecken. Dies gibt zwei Operationen für schwarze Ketten:
•
• • • • ••
• • • • • • + • •• = • • • • • • • • •
• • • • • • · • = • • • • ••
•
• • • • ••
Wenn man die letzte Zahl als Kette legt, dann hätte man schone einige Mühe sie abzuzählen. Mit Rechtecken kann man Zahlen viel kompakter darstellen. Bei diesen Zahldarstellungen helfen die schwarz-weissen Ketten ganz besonders. Hierzu folgende Idee: Betrachte alle Quadrate:
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
2
. Lineare Algebra (L2/L5)
•
• •
• •
•
•
•
•
◦
◦
• •
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
◦
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Dies gibt eine relativ effiziente Darstellung der schwarzen Ketten. Die schwarz weissen
Kette gibt dabei an, welche schwarze Kette gebildet werden soll. Nämlich die Summe aller
der Quadrate die mit • bezeichnet sind. So kann man durch wenige schwarz-weiße Ketten
relativ lange schwarze Ketten darstellen. Leider ergibt sich ein unschönes Problem, das
wir schon kennen (griechische Entdeckung).
Problem. Das Doppelte eines Quadrats ist kein Quadrat
⇒ die Summe zweier gleicher Quadrate ist kein Quadrat.
Das wäre vielleicht nicht so ein großes Problem, wenn wenigstens die Summe von zwei
Quadraten immer größer wäre als das nächste Quadrat (dann könnte man die Summe
wieder wie oben durch eine Summe von Quadraten ausdrücken). Das gilt aber nur für fast
alle, aber leider nicht für alle Zahlen. Genauer gilt:
2n2 > (n + 1)2 , für alle n ≥ 3
Wenn n = 2, dann ist 2n2 = 8 < 9 und wir können 8 nicht in der obigen Quadrate
Darstellung ausdrücken. Damit ist die Quadrate Darstellung nicht gut genug.
Block Darstellung durch schwarz-weisse Ketten.
Der obige etwas herbe Rückschlag führt zum Glück zu einer neuen, genialen Entdeckung:
alle Probleme lassen sich lösen, wenn man sich neue Dimensionen borgt. Statt Quadrate
betrachte man Blöcke:
Blöcke von Steinchen
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§3 Arithmetische Theorien
3
Wir brauchen aber auch Hyperblöcke, d.h. Blöcke in noch höheren Dimensionen. Die kann
man nicht mehr sehen. Wir schreiben sie deshalb wie folgt
20
21
22
23
24
24
•
◦
•
•
◦
◦
Wir haben mit der obigen schwarz-weissen Kette die Zahl
1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 1 · 23 = 1 + 4 + 8 = 13
dargestellt. Eine (lange) schwarze Kette wurde so durch eine (viel kürzere) schwarz-weisse
Kette dargestellt. In dieser Funktion nennen wir die schwarz-weissen Ketten Ketten
Dastellungen (oder: Zahl Darstellungen).
Tatsächlich kann man so alle Zahlen darstellen und diesmal gilt: die Summe von zwei
gleichen Blöcken ist gleich dem nächst höheren Block, d.h.
2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1
Somit haben wir die folgende Additionstafel für Darstellungen:
+ ◦
•
◦
•
•
••
◦
•
Wir können statt mit den schwarzen Ketten nun auch mit ihren Darstellungen, d.h. ihren
zugeordneten schwarz-weissen Ketten rechnen indem wir Darstellungen wie folgt addieren
und multiplizieren.
Beispiele.
◦
+ •
− −
•◦•• + •••◦◦• = ◦◦•◦•• + •••◦◦• =
•
− −
• ◦
◦ •
• •
− −
•
− −
◦ ◦
◦ •
◦ ◦
− −
• •
− −
• ◦
•
•
−
Übertragzeile
−
◦
Also ist das Endergebnis • ◦ • • + • • • ◦ ◦ • = • ◦ ◦ ◦ • ◦ ◦.
•◦•• · •••◦◦•=
+
−
•
•
• •
− −
◦ ◦
•
◦ ◦
• •
• ◦
− −
• •
•
◦
◦
◦
−
•
• ◦
◦ ◦
◦ •
•
− −
◦ ◦
◦
◦
•
•
◦
•
•
− − − − − −−
• •
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
4
. Lineare Algebra (L2/L5)
Das Endergebis ist • ◦ • • · • • ◦ ◦• = • ◦ ◦ • • • ◦ ◦ ••.
2. Schnelles Kürzen von Brüchen.
Problem. Wie kürzt man am schnellsten einen langen Bruch wie
759
550
Die bekannteste Methode ist vermutlich die zunächst die Primzahlzerlegung von Zähler
und Nenner aufzustellen und dann gemeinsame Primfaktoren zu kürzen. Tatsächlich ist
aber eine andere Methode viel schneller, nämlich die von den Griechen gefundene Wechselwegnahme.
Wechselwegnahme. Die Wechselwegnahme ist eine Methode der ganzzahligen Arithmetik. Sie dient dazu den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen zu finden.
Definition. Seien a, b ∈ N zwei natürliche Zahen. Eine natürliche Zahl d heißt
größter gemeinsamer Teiler von a, b wenn gilt:
(1) d teilt a und b, d.h. es gibt ganze Zahlen α, β mit α · d = a und β · d = b.
(2) wenn c ≥ 0 die Zahl a und b teilt, dann teilt d auch die Zahl d.
Der größte gemeinsame Teiler wird mit ggT(a, b) (oder einfach mit (a, b)) bezeichnet.
Satz. Seien a, b natürliche Zahlen. Dann existiert der gcd(a, b) und ist eindeutig.
Beweis. Eine Zahl d teilt genau dann die beiden Zahlen von (a, b) wenn sie die beiden
Zahlen von (a, b − a) teilt. Mit dieser Beobachtung zeigt das nächste Beispiel wie man
den ggT immer findet. ♦
Beispiel. Die Wechselwegnahme zieht immer die kleinere Zahl von der grösseren Zahl
eines Zahlpaares ab und bildet mit der reultierenden Zahl die nächste Paar (wie gezeigt):
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(759, 550)
(209, 550)
(209, 341)
(209, 132)
(77, 132)
(77, 55)
(77, 22)
(55, 22)
(33, 22)
(11, 22)
(11, 11)
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§3 Arithmetische Theorien
5
⇒ 11 = ggT(759, 550)
759
⇒ 550
= 69
50
(nach Division von Zähler und Nenner durch 11 und dieser Bruch kann offensichtlich
nicht weiter gekürzt werden.)
Division mit Rest.
Satz. [lineare Darstellung des ggT] Seien a, b natürliche Zahlen.
ganze (!) Zahlen x, y ∈ Z mit
Dann gibt es
ggT(a, b) = x · a + y · b
Alternative Formulierung. Die lineare Gleichung ax + by = d hat eine ganzzahlige
Lösung x, y, wenn d = ggT(a, b).
Beweis.
Definiere die Menge
M := { xa + yb | x, y ∈ Z }
⇒
M enthält mindestens eine positive ganze Zahl, nämlich a (denn: a = 1 · a + 0 · b)
⇒ P := { z ∈ M | z ≥ 0} 6= ∅
⇒ P hat ein Minimum
d := min P,
(d.h. eine Zahl d mit d ≤ z, für alle z ∈ P ).
Es gibt ganze Zahlen x, y mit
d = xa + yb.
Beh. d = ggT(a, b).
(1) Es gibt natürliche Zahlen q, r ∈ N mit a = q · d + r und r < d (r heißt Rest)
⇒ r = a − qd = a − q(xa + yb) = (1 − qx)a + (−qy)b ∈ P
⇒ r = 0 (da sonst Widerspruch zur minimalen Wahl von d, denn r < d).
⇒ d teilt die Zahl a (ebenso beweist man: d teilt die Zahl b).
(2) Sei c ≥ 0 eine Zahl, die a und b teilt.
⇒ c teilt den Ausdruck xa + yb = d
⇒ c teilt d. ♦
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
6
. Lineare Algebra (L2/L5)
3. Primzahlzerlegung.
Definition. Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur von 1 und sich selbst
geteilt wird.
Der Beweis des nächsten Lemma’s benutzt die lineare Darstellung des ggT.
Euklid’s Lemma. Seien m, n ∈ N und sei p eine Primzahl mit p teilt das Produkt
mn. Dann teilt p die Zahl m oder die Zahl n.
Beweis. (indirekt)
Annahme. p teilt weder m noch n.
⇒ ggT(m, p) = 1 (p ist Primzahl)
⇒ es gibt Zahlen x, y ∈ Z mit 1 = xp + ym
⇒ n = (nx)p + (ny)m
⇒ p teilt n (da p die Zahlen pn und mn teilt)
⇒ Widerspruch. ♦
Definition. Sei n ∈ N eine beliebige natürliche Zahl. Ein Produkt
pn1 1 pn2 2 . . . pnmm
heißt Primzahlzerlegung von n, wenn es (1) gleich n ist und wenn (2) die Primzahlen
p1 , . . . , pm paarweise verschieden sind.
Satz. [Existenz] Für jede Zahl n ∈ N gibt es mindestens eine Primzahlzerlegung.
Beweis. (induktiv)
Induktions Schluss. Sei n ∈ N.
1. Fall. n ist eine Primzahl,
Dann sind wir fertig.
2. Fall. n ist keine Primzahl
⇒ es gibt u, v ∈ N mit n = u · v und u, v 6= 1, n (nach Definition von Primzahl)
⇒ u<n
⇒ es gibt eine kleinste Zahl p mit
(1) p ist Primzahl,
(2) p teilt n,
(3) p ist echt kleiner als n.
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§3 Arithmetische Theorien
Sei m =
7
n
p.
⇒ m ist eine natürliche Zahl mit m < n.
⇒ es gibt eine Primzahlzerlegung m = q1s1 · . . . · qtst von m (Induktions Vor.)
⇒ Das Produkt p1 · q1s1 · . . . · qtst ist eine Primzahlzerlegung für n. ♦
Satz. [Eindeutigkeit] Die Primzahlzerlegung ist für jedes n ∈ N eindeutig.
Beweis.
Seien
n1 n1
nv
mu
1 m2
pm
1 p2 . . . pu = n = q1 q2 . . . qv
zwei Primfaktorenzerlegungen mit
p1 < p2 < . . . < pu und q1 < q2 < . . . < qv
⇒ p1 teilt einen der Faktoren q1 , . . . , qv (Euklid’s lemma)
⇒ p1 ist einem der q1 , . . . , qv gleich (denn alle qi sind Primzahlen)
⇒ { p1 , . . . , pu } ⊂ { q1 , . . . , qv }
⇒ { q1 , . . . , qv } ⊂ { p1 , . . . , pu } (ebenso)
⇒ { p1 , . . . , pu } = { q1 , . . . , qv }
⇒ Primfaktorzerlegungen sind eindeutig. ♦
Literatur.
K. Jacobs, Invitation to Mathematics, Princeton Univ. Press (1992)
J. Rotman, A first course in abstract Algebra, Prentice Hall (1996)
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)