3. Arithmetische Theorien.

3. Arithmetische Theorien.
In dieser Vorlesung wollen wir uns mit dem Begriff des
”Rechnens” befassen und zwar mit dem angewandten
als auch dem formalen Rechnen.
Wir wissen dass die griechischen Mathematiker nicht
gerechnet haben. Dies war Sache der Händler und
Handwerker. Dies blieb auch lange Zeit so, nämlich
bis hin zur italienischen Rennaissance (ca. 14. Jhdt.).
In der Hand Rennaissance Mathematiker erhielt die
Mathematik eine ganz neue Form. In der Rennaissance entdeckte man die Macht des formalen Rechnens. Diese wurde ermöglicht durch die Entdeckung
der Variablen x. Leider fehlt die Zeit dem interesKlaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
2
. Lineare Algebra (L2/L5)
santen geschichtlichen Aspekt hier nachzugehen. Aber
wir werden einige Andeutungen hierzu machen.
1. Vom angewandten zum formalen Rechnen.
Das Umgehen mit schwarzen Steinchen ist konkret.
Mit der Einführung von schwarzen und weißen Steinchen wird es jetzt möglich, Steinchen zu benutzen.
um Ketten von schwarzen Steinchen formal lediglich
darzustellen, und zwar durch Ketten von schwarz-weissen Steinchen. Damit sind die Zahl-Darstellungen entdeckt.
Quadrate Darstellung durch schwarz-weisse
Ketten.
Zwei Ketten kann man zu einer neuen Kette vereinigen
oder man kann Steine zu Rechtecken. Dies gibt zwei
Operationen für schwarze Ketten:
• • • • • • + • •• = • • • • • • • • •
•
• • • • ••
•
• • • • • • · • = • • • • •• = • · • • • • ••
•
• • • • ••
•
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§3 Arithmetische Theorien
3
Wenn man die letzte Zahl als Kette legt, dann hätte
man schone einige Mühe sie abzuzählen. Mit Rechtekken kann man Zahlen viel kompakter darstellen. Bei
diesen Zahldarstellungen helfen die schwarz-weissen
Ketten ganz besonders. Hierzu folgende Idee:
Betrachte alle Quadrate:
•
•
•
•
◦
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
◦
•
•
•
•
•
◦
•
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•
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Dies gibt eine relativ effiziente Darstellung der schwarzen Ketten. Die schwarz weissen Kette gibt dabei an,
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
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. Lineare Algebra (L2/L5)
welche schwarze Kette gebildet werden soll. Nämlich
die Summe aller der Quadrate die mit • bezeichnet
sind. So kann man durch wenige schwarz-weiße Ketten relativ lange schwarze Ketten darstellen. Leider
ergibt sich ein unschönes Problem, das wir schon kennen (griechische Entdeckung).
Problem. Das Doppelte eines Quadrats ist kein Quadrat
⇒ die Summe zweier gleicher Quadrate ist
kein Quadrat.
Das wäre vielleicht nicht so ein großes Problem, wenn
wenigstens die Summe von zwei Quadraten wenigstens
immer größer wäre als das nächste Quadrat (dann
könnte man die Summe wieder wie oben durch eine
Summe von Quadraten ausdrücken). Das gilt aber nur
für fast alle, aber leider nicht für alle Zahlen. Genauer
gilt:
2n2 > (n + 1)2 , für alle n ≥ 3
Wenn n = 2, dann ist 2n2 = 8 < 9 und wir können 8
nicht in der obigen Quadrate Darstellung ausdrücken.
Damit ist die Quadrate Darstellung nicht gut genug.
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§3 Arithmetische Theorien
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Block Darstellung durch schwarz-weisse Ketten.
Der obige etwas herbe Rückschlag führt zum Glück
zu einer neuen, genialen Entdeckung: alle Probleme
lassen sich lösen, wenn man sich neue Dimensionen
borgt. Statt Quadrate betrachte man Blöcke:
Blöcke von Steinchen
Wir brauchen aber auch Hyperblöcke, d.h. Blöcke in
noch höheren Dimensionen. Die kann man nicht mehr
sehen. Wir schreiben sie deshalb wie folgt
20
21
22
23
24
24
•
◦
•
•
◦
◦
Wir haben mit der obigen schwarz-weissen Kette die
Zahl
1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 1 · 23 = 1 + 4 + 8 = 13
dargestellt. Eine (lange) schwarze Kette wurde so
durch eine (viel kürzere) schwarz-weisse Kette dargeKlaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
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stellt. In dieser Funktion nennen wir die schwarzweissen Ketten Ketten Dastellungen (oder: Zahl
Darstellungen).
Tatsächlich kann man so alle Zahlen darstellen und
diesmal gilt: die Summe von zwei gleichen Blöcken ist
gleich dem nächst höheren Block, d.h.
2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1
Somit haben wir die folgende
Additionstafel für Darstellungen:
+ ◦
◦
•
•
◦ •
• ••
Wir können statt mit den schwarzen Ketten nun auch
mit ihren Darstellungen, d.h. ihren zugeordneten
schwarz-weissen Ketten rechnen indem wir Darstellungen wie folgt addieren und multiplizieren.
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Beispiele.
• ◦ • • + • • • ◦ ◦• = ◦ ◦ • ◦ • • + • • • ◦ ◦ • =
+
−
−
•
◦ ◦
• •
− −
• •
− −
◦ ◦
•
•
−
−
◦
◦
◦
−
•
−
•
•
◦
−
•
−
◦
•
•
−
Übertragzeile
−
◦
Also ist das Endergebnis •◦•• + •••◦◦• = •◦◦◦•◦◦.
• ◦ • • · • • • ◦ ◦• =
+
−
•
•
−
◦
•
•
−
◦
◦
•
•
−
•
•
◦
•
◦
−
•
• •
◦ ◦
◦ ◦
◦ •
− −
• ◦
◦
◦
•
◦
◦
•
−
◦
− −−−
• •
•
◦
•
•
Das Endergebis ist • ◦ • • · • • ◦ ◦• = • ◦ ◦ • • • ◦ ◦ ••.
2. Schnelles Kürzen von Brüchen.
Problem. Wie kürzt man am schnellsten einen langen
Bruch wie
759
550
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. Lineare Algebra (L2/L5)
Die bekannteste Methode ist vermutlich die zunächst
die Primzahlzerlegung von Zähler und Nenner aufzustellen und dann gemeinsame Primfaktoren zu kürzen.
Tatsächlich ist aber eine andere Methode viel schneller,
nämlich die von den Griechen gefundene Wechselwegnahme.
Wechselwegnahme. Die Wechselwegnahme ist eine
Methode der ganzzahligen Arithmetik. Sie dient dazu
den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher
Zahlen zu finden.
Definition. Seien a, b ∈ N zwei natürliche Zahen.
Eine natürliche Zahl d heißt größter gemeinsamer
Teiler von a, b wenn gilt:
(1) d teilt a und b, d.h. es gibt ganze Zahlen α, β
mit α · d = a und β · d = b.
(2) wenn c ≥ 0 die Zahl a und b teilt, dann teilt
d auch die Zahl d.
Der größte gemeinsame Teiler wird mit ggT(a, b)
(oder einfach mit (a, b)) bezeichnet.
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Satz. Seien a, b natürliche Zahlen. Dann existiert
der gcd(a, b) und ist eindeutig.
Beweis. Eine Zahl d teilt genau dann die beiden
Zahlen von (a, b) wenn sie die beiden Zahlen von
(a, b − a) teilt. Mit dieser Beobachtung zeigt das
nächste Beispiel wie man den ggT immer findet. ♦
Beispiel. Die Wechselwegnahme zieht immer die kleinere Zahl von der grösseren Zahl eines Zahlpaares ab
und bildet mit der reultierenden Zahl die nächste Paar
(wie gezeigt):
(759, 550)
= (209, 550)
= (209, 341)
= (209, 132)
= (77, 132)
=
(77, 55)
=
(77, 22)
=
(55, 22)
=
(33, 22)
=
(11, 22)
=
(11, 11)
⇒ 11 = ggT(759, 550)
69
=
⇒ 759
550
50
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. Lineare Algebra (L2/L5)
(nach Division von Zähler und Nenner durch 11 und
dieser Bruch kann offensichtlich nicht weiter gekürzt
werden.)
Division mit Rest.
Satz. [lineare Darstellung des ggT] Seien a, b
natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze (!) Zahlen
x, y ∈ Z mit
ggT(a, b) = x · a + y · b
Alternative Formulierung.
Die lineare Gleichung ax + by = d hat eine ganzzahlige Lösung x, y, wenn d = ggT(a, b).
Beweis.
Definiere die Menge
M := { xa + yb | x, y ∈ Z }
⇒ M enthält mindestens eine positive ganze Zahl,
nämlich a (denn: a = 1 · a + 0 · b)
⇒ P := { z ∈ M | z ≥ 0} 6= ∅
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⇒ P hat ein Minimum
d := min P,
(d.h. eine Zahl d mit d ≤ z, für alle z ∈ P ).
Es gibt ganze Zahlen x, y mit
d = xa + yb.
Beh. d = ggT(a, b).
(1) Es gibt natürliche Zahlen q, r ∈ N mit a =
q · d + r und r < d (r heißt Rest)
⇒ r = a−qd = a−q(xa+yb) = (1−qx)a+(−qy)b ∈ P
⇒ r = 0 (da sonst Widerspruch zur minimalen Wahl
von d, denn r < d).
⇒ d teilt die Zahl a (ebenso beweist man: d teilt
die Zahl b).
(2) Sei c ≥ 0 eine Zahl, die a und b teilt.
⇒ c teilt den Ausdruck xa + yb = d
⇒ c teilt d. ♦
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. Lineare Algebra (L2/L5)
3. Primzahlzerlegung.
Definition. Eine natürliche Zahl heißt Primzahl,
wenn sie nur von 1 und sich selbst geteilt wird.
Der Beweis des nächsten Lemma’s benutzt die lineare
Darstellung des ggT.
Euklid’s Lemma. Seien m, n ∈ N und sei p eine
Primzahl mit p teilt das Produkt mn. Dann teilt p
die Zahl m oder die Zahl n.
Beweis. (indirekt)
Annahme. p teilt weder m noch n.
⇒ ggT(m, p) = 1 (p ist Primzahl)
⇒ es gibt Zahlen x, y ∈ Z mit 1 = xp + ym
⇒ n = (nx)p + (ny)m
⇒ p teilt n (da p die Zahlen pn und mn teilt)
⇒ Widerspruch. ♦
Definition. Sei n ∈ N eine beliebige natürliche Zahl.
Ein Produkt
pn1 1 pn2 2 . . . pnmm
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heißt Primzahlzerlegung von n, wenn es (1) gleich n ist und wenn (2) die Primzahlen p1 , . . . , pm
paarweise verschieden sind.
Satz. [Existenz] Für jede Zahl n ∈ N gibt es mindestens eine Primzahlzerlegung.
Beweis. (induktiv)
Induktions Schluss. Sei n ∈ N.
1. Fall. n ist eine Primzahl,
Dann sind wir fertig.
2. Fall. n ist keine Primzahl
⇒ es gibt u, v ∈ N mit n = u · v und u, v 6= 1, n
(nach Definition von Primzahl)
⇒ u<n
⇒ es gibt eine kleinste Zahl p mit
(1) p ist Primzahl,
(2) p teilt n,
(3) p ist echt kleiner als n.
Sei m =
n
p.
⇒ m ist eine natürliche Zahl mit m < n.
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⇒ es gibt eine Primzahlzerlegung m = q1s1 · . . . · qtst
von m (Induktions Vor.)
⇒ Das Produkt p1 · q1s1 · . . . · qtst ist eine Primzahlzerlegung für n. ♦
Satz. [Eindeutigkeit] Die Primzahlzerlegung ist für
jedes n ∈ N eindeutig.
Beweis.
Seien
n1 n1
mu
nv
1 m2
pm
1 p2 . . . pu = n = q1 q2 . . . qv
zwei Primfaktorenzerlegungen mit
p1 < p2 < . . . < pu und q1 < q2 < . . . < qv
⇒ p1 teilt einen der Faktoren q1 , . . . , qv (Euklid’s
lemma)
⇒ p1 ist einem der q1 , . . . , qv gleich (denn alle qi
sind Primzahlen)
⇒ { p1 , . . . , pu } ⊂ { q1 , . . . , qv }
⇒ { q1 , . . . , qv } ⊂ { p1 , . . . , pu } (ebenso)
⇒ { p1 , . . . , pu } = { q1 , . . . , qv }
⇒ Primfaktorzerlegungen sind eindeutig. ♦
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§3 Arithmetische Theorien
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Literatur.
K. Jacobs, Invitation to Mathematics, Princeton Univ.
Press (1992)
J. Rotman, A first course in abstract Algebra, Prentice
Hall (1996)
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