3 Winkelsummen

B Geometrie 1
3
Winkelsummen
C
Der von zwei Nachbarseiten eines
c
Vielecks gebildete Winkel heißt
Innenwinkel.
Die Summe der Innenwinkel eines
Dreiecks beträgt 180°.
a
A
a + b + c = 180°
Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°.
a + b + c + d = 360°
b
B
Ein Winkel zwischen 0° und 90° heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90° und 180° heißt stumpfer Winkel.
50 0
13
Ablesen
b
B
13
50 0
12
0
60
110
70
10 0
80
90
a
A
80
10 0
70
110
60
0
12
c
4
14 0
0
10
17 0
Beispiel 2 In einer Raute ABCD ist der Winkel a genau
C
20
160
Miss den Winkel a des abgebildeten Dreiecks
ABC mithilfe des Geodreiecks.
Lösung
Wie in dem abgebildeten Dreieck sind die
Seiten eines Dreiecks oft zu kurz, um die Größe
eines Innenwinkels genau ablesen zu können.
Verlängere dann einfach die Seiten als hauchdünne
Linien mit einem spitzen Bleistift.
Lege das Geodreieck so auf das Dreieck, wie es die
Abbildung zeigt, und lies am Außenrand ab.
Antwort: a = 77,5°
30
15
0
Beispiel 1
160
20
17 0
10
0
15
30
0
14 0
4
66° groß. Wie groß sind die anderen Innenwinkel
dieses Vierecks?
Lösung: In einer Raute sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
Also ist c = a = 66°. Die Winkelsumme in der Raute beträgt 360°. Also gilt:
360° – 2 · 66° = 228° = b + d. Da b = d ist, gilt b = d = 114°.
Aufgaben
21. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle
c
Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich
groß. Wie groß ist jeder Innenwinkel im
gleichseitigen Dreieck?
s
a
a=b=c
s
b
s
22
3055_Buch.indb 22
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3 Winkelsummen
22. In einem gleichschenkligen Dreieck sind
Achse
el
Sch
enk
enk
el
Sch
zwei Seiten gleich lang. Außerdem besitzt es
eine Symmetrieachse.
a) Was folgt daraus für die beiden Basiswinkel?
b) Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC
mit c = 3,2 cm und a = b = 70°.
Berechne die Größe von c.
c) Für ein anderes gleichschenkliges Dreieck
ABC gilt: c = 44°. Wie groß sind die
Winkel a und b?
b
a
Basiswinkel
Lege bei Geometrie-Aufgaben eine Probefigur (Planfigur) an.
Sie muss das Typische/Wesentliche der gesuchten Figur wiedergeben. Originalmaße sind nicht nötig. Kennzeichne die gegebenen Stücke und die
gesuchten unterschiedlich.
23. Lassen sich diese Figuren konstruieren?
a)
b)
c)
d)
.
In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Winkel 150° groß.
Ein Viereck besitzt die Winkel a = 34°, b = 172°, c = 90° und d = 66°.
Ein Drachen besitzt zwei Winkel, die größer als 160° sind.
Ein Viereck besitz einen Winkel von 210°.
Tipp
Aufgaben
24. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden anderen Winkel zusammen
90° groß. Lege eine Probefigur an und beweise diesen Satz.
▲ 25. Berechne die Größen aller gekennzeichneten Winkel.
a)
b)
3a
a
2a
e
d
c
a
30°
▲ 26. Beweise den Satz über die Winkelsumme im Viereck.
Tipp: Zeichne ein allgemeines Viereck ABCD als Probefigur, also ein Viereck
ohne besondere Seiten- und Winkeleigenschaften.
23
3055_Buch.indb 23
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C Prozent- und Zinsrechnung
1
Die Grundaufgaben der Prozentrechnung
Bezeichnungen: p% = Prozentsatz, G = Grundwert (100%),
W = Prozentwert
p
Es bedeutet: p% vom Grundwert = }}
vom Grundwert = Prozentwert
100
1. Grundaufgabe: Berechnung eines Prozentwerts
p
Du kannst p% von G (= }}
von G) auf verschiedenen Wegen berechnen:
100
p
Rechenweg 1: W = (G : 100) · p
Rechenweg 2: W = G · }}
100
(nach der Bedeutung)
(nach der „Grundformel“)
Beispiel
Berechne 3% von 1200 1. Gegeben: p% = 3%, G = 1200 1. Gesucht: W.
3
Rechenweg 1: W = (1200 1 : 100) · 3
Rechenweg 2: W = 1200 1 · }}
100
= 12 1 · 3 = 36 3
= 1200 1 · 0,03
= 36 3
Aufgaben
1. Rechne im Kopf. Wähle den 1. Rechenweg.
a) 4 % von 1200 1
d) 8 % von 500 1
b) 3 % von 220 kg
e) 4 % von 310 kg
c) 11 % von 200 $
f) 12 % von 300 $
2. Mit manchen Prozentsätzen kann man besonders leicht rechnen.
50
50 % = }}
= }12
100
Beispiel: 50 % von 1000 = die Hälfte von 1000 = 500
500
500 % = }}
= 5 Beispiel: 500 % von 1000 = das 5-fache von 1000 = 5000
100
Fahre fort mit: 25 %; 75 %; 10 %; 20 %; 300 %; 150 %; 12,5 %.
Tipp
Ist p > 100, dann ist der Prozentwert immer größer als der Grundwert.
3. a) 200 % von 250 1
d) 300 % von 200 1
b) 50 % von 400 kg
e) 150 % von 200 kg
c) 110 % von 400 $
f) 90 % von 300 $
4. Rechne schriftlich, aber ohne Taschenrechner!
a) 23% von 810 1
▲
b) 0,3% von 113 kg
c) 112% von 550 1
5. Herr Wesensreich verdient im Monat 3250,00 1 brutto. Davon werden insgesamt 42,3% Sozialabgaben und Steuern abgezogen. Wie viel Euro bekommt
er ausgezahlt?
24
3055_Buch.indb 24
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B Geometrie 1
D
C
16. a) Es entsteht ein Parallelogramm. Im
c
d
Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
Es ist z. B. a = b’ (Stufenwinkel)
b bq
a
und b’ = g (Wechselwinkel), also a
A
B
= g. Entsprechend zeigt man, dass
im Parallelogramm b = d ist.
b) Schneiden sich zwei verschieden breite Streifen unter 90°, dann entsteht
ein Rechteck, in dem nach Konstruktion alle Innenwinkel rechte sind.
› Seite 21
17. Im allgemeinen Fall entsteht eine Raute, im Sonderfall ein Quadrat.
18. a) a1 = a4; a2 = a5; a3 = a6
b) a1 + a2 + a3 = 180°; a2 + a3 + a4 = 180° usw.
19. a) 3a = 180° ⇒ a = 60°
b) a = 180° – 62° = 118°; b = 62°; g = 118°
c) b1 = 45° (Stufenwinkel zum gegebenen Winkel)
d2 = d1 = 45° (d2 = Scheitelwinkel zum gegebenen Winkel,
d1 = Stufenwinkel zu d2). Alle anderen Winkel sind 135° groß.
▲ 20. a) Nach dem Nebenwinkelsatz gilt:
(1) a + b = 180° und (2) b + g = 180°.
Daraus folgt: (1a) a = 180° – b und (2a) g = 180° – b.
Und daraus folgt: a = g. Entsprechend kann man beweisen, dass
außerdem b und d gleich groß sind.
b) Spiegelt man die ganze Figur an der Winkelhalbierenden von b und d,
dann geht a in g und umgekehrt über. Die beiden Winkel sind also
gleich groß. Spiegelt man ...
21. Weil die Summe aller drei Innenwinkel 180° beträgt, ist jeder Winkel im
gleichseitigen Dreieck 180° : 3 = 60° groß.
› Seite 22
22. a) Die Basiswinkel sind gleich groß.
b) g = 180° – 2a = 180° – 140° = 40°.
c) 2a = 180° – g = 180° – 44° = 136°. Daraus folgt a = b = 68°.
› Seite 23
91
3055_Buch.indb 91
21.11.2006 13:45:49
Lösungen
Seite 23
‹
23. a) Ja! Man wählt als Winkel an der Spitze 150°. Dann werden die Basiswinkel jeweils 15° groß.
b) Nein! a + b + g + d beträgt hier 362°. Die Winkelsumme müsste 360°
sein.
c) Ja! Legt man die Bezeichnungen wie in der Lösung zu Aufgabe 14 b) zu
Grunde und wählt man b = d = 160°, dann bleiben für a und g noch je
20°. Würde man a = b = 160° wählen, wäre daraus kein Drachenviereck
zu konstruieren.
D
d) Ja! Es wird allerdings ein außergewöhnliches Viereck, z. B. eins, wie es die Abbildung zeigt. Solche Vierecke werden in der
210°
B
Schule in der Regel nicht weiter unterC
A
sucht.
24. In der Probefigur sei g = 90°.
Dann gilt a + b + 90° = 180°. Daraus folgt a + b = 90°.
▲ 25. a) Es ist a + 2a + 3a = 6a = 180° ⇒ a = 30°, 2a = 60°, 3a = 90°.
b) a = 180° – 30° = 150° (Nebenwinkel)
g = 90° – 30° = 60°
d = 30° (Scheitelwinkel)
e = 180° – g = 120° (Der Nebenwinkel von e ist ein Stufenwinkel zu g.)
▲ 26. Wählt man die Bezeichnungen der Winkel in den
beiden Teildreiecken wie in der Abbildung rechts,
dann gilt:
(1) a1 + b1 + g1 = 180° (Die Winkelsumme im
(2) a2 + b2 + g2 = 180°. Dreieck beträgt 180°.)
__________________________________________
⇒ (a1 + b1 + g1) + (a2 + b2 + g2) = 2 · 180°
= 360°
⇒ Winkelsumme im Viereck
a2
c2
c1
a1
b2
b1
92
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01.12.2006 09:18:29
C Prozent- und Zinsrechnung
C
Prozent- und Zinsrechnung
1. a) 48 1
b) 6,6 kg
c) 22 $
d) 40 1
› Seite 24
e) 12,4 kg f) 36 $
2. 25% von 1000 = ein Viertel von 1000 = 250
75% von 1000 = drei Viertel von 1000 = 750
10% von 1000 = ein Zehntel von 1000 = 100
20% von 1000 = ein Fünftel von 1000 = 200
300% von 1000 = das Dreifache von 1000 = 3000
150% von 1000 = 1000 plus die Hälfte von 1000 = 1500
12,5% von 1000 = ein Achtel von 1000 = 125
3. a) 500 1
d) 600 1
b) 200 kg
e) 300 kg
c) 440 $
f) 270 $
4. a) 9,10 1 · 23 = 186,30 1
▲
b) 0,339 kg
c) 616 1
5. 42,3% von 3250,00 1 = 1374,75 1
Herr W. bekommt 1875,25 1 ausgezahlt.
20
10
6. a) }}
= }}
= 10%
200
100
200
5
b) }}
= }}
= 5%
4000
100
c) 16%
d) 30%
e) 5%
f) 8%
g) 100%
h) 500%
i)
› Seite 25
250%
7. Die Prozentsätze lauten: Mama: 50%, Papa: 25%, die Schwestern je
12,5%.
▲
400
8. Christians Vater legt p% = }}
· 100%, also ≈ 9,5% zurück.
4200
500
Frankas Vater zahlt p = }}
· 100, also ≈ 8,6% für die Rente ein.
5800
Die prozentuale Sparleistung ist bei Christians Vater größer.
9. a)
b)
d)
f)
h)
30 1 ·10 = 300 1 bzw.
50 1 · 5 = 250 1
72 $ · 100 = 7200 $
22 $ : 4 · 100 = 550 $
60 kg : 3 = 20 kg
› Seite 26
30 1 : 10 · 100 = 300 1
c) 60 1 : 30 · 100 = 200 1
e) 98 $ · 50 = 49 $ ·100 = 4900 $
g) 44 kg : 2 = 22 kg
i) 64 kg : 4 = 16 kg
93
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