Mathematik I für PIUS und WT

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Wintersemester 2011/2012
Fachhochschule Jena
University of Applied Sciences Jena
Mathematik I für PIUS und WT
Übungsaufgaben
Serie 3: Vektorrechnung





−1
0
2
1. Gegeben seien die Vektoren ~a =  1  , ~b =  −1  , ~c =  2 .
2
1
0

(a) Berechnen Sie 2|~a| + 3|~b| − |~c| und |2~a + 3~b − ~c|.
(b) Welche der Vektoren stehen senkrecht aufeinander?
(c) Bestimmen Sie die Einheitsvektoren von ~a und ~c.
(d) Bestimmen Sie λ ∈ R so, daß ~a + λ~b ⊥ ~b + ~c ist.
Bestimmen Sie µ ∈ R so, daß (~a + µ~b) k ~c ist.
2. Von einem Vektor ~a = (a1 ; a2 ; a3 )T sei bekannt, daß a1 = 2, a3 = 3 und |~a| = 7.
Bestimmen Sie alle Vektoren, die diese Vorgaben erfüllen.
Welche Winkel schließen diese Vektoren mit den Koordinatenachsen ein?
3. Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A = (−2; 0; 3), B = (−6; 4; −1) und C =
(4; −1; 2). Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks und den Winkel zwischen Seite
AB und Seite AC.
−−→ −−→
4. Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, das durch die Vektoren P1 P2 , P1 P3 und
−−→
P1 P4 aufgespannt wird mit P1 = (1; 2; 1) , P2 = (4; 2; 3) , P3 = (2; 1; 0) und P4 = (3; 8; 4).
5. Berechnen Sie den Vektor p~b (~a), der durch orthogonale Projektion des Vektors ~a =
(−1; 2; 3)T auf die Richtung des Vektors ~b = (2; 4; 4)T entsteht.
6. Im Punkt D = (1; 3; −1) ist ein Haken befestigt, von dem aus drei Stahlseile nach den
Punkten A = (2; 1; 1), B = (−7; 4; 3) und C = (−1; 9; 2) gespannt sind. Die entsprechenden Zugkräfte in den Seilen haben folgende Beträge:
FA = |F~A | = 21000 N,
FB = |F~B | = 9000 N,
FC = |F~C | = 14000 N .
Berechnen Sie Komponenten und Betrag der in D angreifenden Gesamtkraft F~ .
7. Berechnen Sie a ∈ R derart, daß die Punkte P1 = (2; 2; 1), P2 = (−1; 4; −1) und P3 =
(6, 5 ; −a ; 4a) auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
8. Gegeben seien die beiden Geraden




c
c
g1 : r~1 (t) =  −2  + t  −1  und g2 :
1
c



−2c
−c
2 .
r~2 (s) =  1  + s 
−c
c

Für welche c ∈ R sind die beiden Geraden parallel, wann schneiden sie sich und wann
sind sie windschief? Können beide Geraden auch identisch sein?
1
9. Im Punkt Q = (5; 7; 10) befindet sich eine Lichtquelle. Wie groß ist der Flächeninhalt
des Schattens, der vom Dreieck mit den Eckpunkten P1 = (7; 8; 13), P2 = (6; 10; 14) und
P3 = (4; 10; 13) auf der Ebene 2x1 + 3x2 − 2x3 = 14 erzeugt wird?
10. Wir betrachten das Dreieck mit den Eckpunkten A = (4; 2; 1), B = (8; 0; 6) und C =
(6; 10; 2).
(a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S, der zugleich der Schnittpunkt
der drei Seitenhalbierenden ist. Prüfen Sie dabei, daß sich diese drei Geraden in
einem Punkt schneiden.
(b) Berechnen Sie einen Punkt D, so daß ABCD ein Parallelogramm ergibt.
(c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD.
11. Welche Koordinate z muß der Punkt P1 = (2; 1; z) haben, damit er mit den Punkten
P2 = (1; 1; 2), P3 = (−1; −1; 4) und P4 = (2; −2; 9) in einer Ebene liegt?
12. Geben Sie jeweils sowohl die Parameterdarstellung als auch die parameterfreie Form der
Ebenengleichung an für folgende Ebenen, die gegeben sind durch
(a) den Punkt P = (0; 1; 2) und die Vektoren ~u = (0; 2; 1)T und ~v = (2; 3; −5)T ,
(b) den Punkt P = (0; 1; 2) und den Normalenvektor ~n = (0; 2; 1)T .
13. Es ist zu untersuchen, ob die Punkte P = (1; 3; −6) und Q = (5; −5; 4) jeweils auf der
Ebene






2
1
0
(a) E1 : ~r(s, t) =  2  + s  −3  + t  −2 ,
0
5
−1
(b) E2 : 2x + y − z = 1
liegen.
14. Es ist jeweils die Lage der Geraden


 
−2
1
(a) g1 : r~1 (s) =  1  + s  3 ,
1
1




3
−1
(c) g3 : r~3 (u) =  −2  + u  −1 
0
1



−1
−1
(b) g2 : r~2 (t) =  1  + t  −1 ,
1
1

zur Ebene E : 4x − 3y + z = 18 zu untersuchen.
15. Gegeben sei die Ebene E durch die Punkte A = (1; 1; 0), B = (0; 1; 1) und C = (1; 0; 1).
Berechnen Sie den Fußpunkt des Lotes, welches vom Punkt P = (2; −1; 4) auf E gefällt
wird. Welchen Abstand hat P von E?
In welchem Punkt und unter welchem Winkel durchstößt die Gerade




1, 5
2
~r(t) =  −2  + t  −2, 5  die Ebene E?
4
−4
16. Die Ebene E1 sei gegeben durch die Punkte P1 = (−1; 4; −1), P2 = (0; −6; 2) und P3 =
(3; 0; −1) und die Ebene E2 durch die Gleichung 5x − 12y + z + 23 = 0. Berechnen Sie
den Schnittwinkel der beiden Ebenen.
2
17. Für welche a, b ∈ R sind die Ebenen E1 : 6x − 3z + 1 = 0 und E2 : ax + by + z − 3 = 0
parallel? Für welche a, b ∈ R sind sie orthogonal zueinander?
18. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises, der gegeben ist durch die
Gleichung 2x2 + 2y 2 + 8x − 12y − 6 = 0.
19. Welche Lage haben die Geraden
g1 : 2x + y = 4,
g2 : 2x + y = 12,
g3 : −x +
y
=3
2
jeweils zum Kreis (x − 2)2 + (y − 3)2 = 5 ?
20. Bestimmen Sie m so, daß die Gerade y = mx + 5 den Kreis x2 + y 2 = 5 berührt. Welche
Koordinaten hat der jeweils zugehörige Berührungspunkt?
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Zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium:
1. Berechnen
√ Sie λ derart, daß der Abstand der Punkte A = (2; 1; −λ) und B = (4; −3; 2)
gleich 29 ist.
2. Wie groß müssen a und b sein, damit die Vektoren ~a = (a; 3; 2)T und ~b = (−4; b; 2)T
senkrecht auf dem Vektor d~ = (2; 1; −3)T stehen?
3. Es seien ~a = 2~x − 3~y und ~b = ~x + λ~y mit ~x = (−1; 0; 2; 2)T und ~y = (0; −1; 0; 2)T .
Berechnen Sie λ so, daß die Vektoren ~a und ~b orthogonal sind.
4. Von einem Eckpunkt eines Quadrates werden Geraden zu den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten gezogen. Bestimmen Sie den Winkel zwischen diesen Geraden.
5. Geben Sie jeweils die Parameterdarstellung der Geraden an, die durch den Punkt P =
(3; 5; 2) gehen und
(a) parallel zur z-Achse verlaufen,
(b) durch den Ursprung gehen,
(c) orthogonal zur y-z–Ebene verlaufen,
(d) parallel zur x-y–Ebene verlaufen.
6. Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A = (−4; 0), B = (6; −3) und C = (4; 6).
(a) Berechnen Sie die Koordinaten der Seitenmittelpunkte.
(b) Stellen Sie die Gleichungen der Seitenhalbierenden auf.
7. In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Geraden


 




9
1
−3
1
g1 : r~1 (t) =  −2  + t  5  und g2 : r~2 (s) =  4  + s  −9 .
−4
9
4
1
8. Geben Sie sowohl die Parameterdarstellung als auch die parameterfreie Form der Ebenengleichung an der Ebene, die gegeben ist durch die Punkte P1 = (0; 1; 2), P2 = (2; −3; 4)
und P3 = (7; −9; −1).
3
9. Gegeben seien die folgenden beiden Ebenen:




 
−2
1
1
E1 : r~1 (s, t) =  2  + s  −1  + t  1  und
3
2
1
 




a
−7
−3
E2 : r~2 (u, v) =  5  + u  5  + v  0 .
5
0
0
Für welches a ∈ R sind die Ebenen identisch, für welches a ∈ R stehen sie orthogonal
zueinander?
10. Geben Sie die parameterfreie Darstellung der Ebene E : ax+by+cz = d an, bezüglich der
die Punkte P = (1; 0; 3) und Q = (−1; 1; 0) spiegelsymmetrisch liegen. Welchen Abstand
haben diese Punkte zur Ebene E?
11. Wie √lautet die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt (2; 0) auf dem der Punkt P =
(6; 4 3) liegt?
√
12. Der Kreis um den Ursprung mit Radius r = 10 wird von der Geraden y = 2x − 5
geschnitten.
Berechnen Sie die Länge s und den Mittelpunkt S der herausgeschnittenen Sehne.
4
Schriftliche Aufgaben:
Abgabe in den Übungen der 7. Semesterwoche:
7.1 Gegeben seien die Vektoren ~a = (1; 1; 1)T und ~b = (2; 0; 1)T .
a) Bestimmen Sie die Summe und das Skalarprodukt dieser Vektoren.
b) Ermitteln Sie einen Vektor ~c, der sowohl auf ~a als auch auf ~b senkrecht steht.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von ~a und ~b aufgespannt wird.
d) Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, welches von ~a, ~b und dem Vektor
d~ = (−1; 2; 0)T aufgespannt wird.
7.2 Die Punkte A = (0; 0; 0), B = (3; 6; 2) und C = (1; 2; −2) seien die Eckpunkte eines
Dreiecks im R3 .
Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. Ist das Dreieck rechtwinklig? (Begründung!)
Abgabe in den Übungen der 8. Semesterwoche:
8.1 Gegeben seien die Punkte P1 = (−1; −2; −3) und P2 = (3; 2; 1) im Raum.
Bestimmen Sie alle Punkte P = (x; y; z) des Raumes, die von P1 und P2 den gleichen
−−→
−−→
Abstand haben, d.h. für die gilt |P1 P | = |P2 P | .
8.2 Gegeben seien die drei Punkte P1 = (1; 2; 2), P2 = (2; 1; −2) und P3 = (1; 0; 1).
a) Zeigen Sie, daß diese drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
−−→
−−→
b) Welchen Winkel schließen die Vektoren OP1 und OP2 ein?
8.3 Die Geraden g1 und g2 seien gegeben durch


 
1
0
g1 : ~r(t) =  1  + t  −1 
0
2


 
0
b
g2 : ~r(s) =  0  + s  a 
−3
2
t∈R
s, a, b ∈ R .
a) Ist es möglich, a und b so zu wählen, daß die Geraden parallel sind? (Begründung!)
b) Ist es möglich, a und b so zu wählen, daß sich die Geraden schneiden. Wenn ja,
dann geben Sie a und b sowie die Koordinaten vom Schnittpunkt an.
Abgabe in den Übungen der 9. Semesterwoche:


 
1
3
9.1 Gegeben seien die Gerade g : ~r(t) =  5  + t  2  und die drei Punkte
−1
7
P1 = (1; 1; 0), P2 = (0; 0; −5) und P3 = (2; 1; 2).
a) Geben Sie die parameterfreie Gleichung der Ebene E an, in der diese drei Punkte
liegen.
b) Ermitteln Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die Ebene E.
c) Geben Sie die Gerade an, die durch den Durchstoßpunkt verläuft und senkrecht auf
E steht.
5