Stephan Peter Wirtschaftsingenieurwesen WS 15/16

Stephan Peter
Wirtschaftsingenieurwesen WS 15/16
Mathematik
Serie 8
Vektorrechnung
Kommt ein Vektor zur Drogenberatung: "Hilfe ich bin linear abhängig."
Aufgabe 1
!
−2
3
3 ~
Gegeben sind die Vektoren ~a =
b=
1
graphisch und anschließend rechnerisch:
a) ~a + ~b b) ~a − ~b c) ~b+ ~a d) ~b− ~a
!
in der Ebene. Man bestimme zunächst
Aufgabe 2
Liegen die drei Punkte P1 = (3, 0, 4), P2 = (1, 1, 1) und P3 = (−1, 2, −2) auf einer
Geraden?
Aufgabe 3
2
14
Stellen Sie den Vektor ~c =
~a =
1
2
!
und ~b =
−1
3
!
als Linearkombination der Vektoren
!
dar.
Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Vektoren ~a und ~b einschließen.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie den Punkt P auf der x-Achse, der von den Punkten A = (2, −4, 5) und
B = (−3, 2, 7) den gleichen Abstand besitzt!
Aufgabe 5
Bestimmen Sie t ∈ R so, dass die Vektoren ~a = (−3, t2 , 4t)T und ~b = (8, 4, t)T orthogonal
zueinander sind!
Aufgabe 6
Berechnen
√ Sie λ derart, dass der Abstand der Punkte A = (2, 1, −λ) und B = (4, −3, 2)
gleich 29 ist.
Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass die Vektoren (2, −14, 5)T , (11, −2, −10)T , (−10, −5, −10)T einen Würfel
aufspannen!
Aufgabe 8
Liegen die Vektoren ~a, ~b, ~c



−3
−2

 ~

~a =  4 , b =  3
0
5
in einer gemeinsamen Ebene?



−1



, ~c =  3 
25
1
Aufgabe 9
Gegeben seien die Punkte P1 = (−1, −2, −3) und P2 = (3, 2, 1) im Raum.
Bestimmen Sie alle Punkte P = (x, y, z) des Raumes, die von P1 und P2 den gleichen
−−→
−−→
Abstand haben, d.h. für die gilt |P1 P | = |P2 P | .
Aufgabe 10
Untersuchen Sie, ob die vier Punkte A = (1, 2, −1), B = (−1, 3, −4), C = (0, 5, −7) und
D = (2, 4, −4) in einer Ebene liegen!
Aufgabe 11
Berechnen Sie den Schnittwinkel, unter dem sich die Diagonalen eines Würfels schneiden!
Aufgabe 12
Von einem Eckpunkt eines Quadrates werden Geraden zu den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten gezogen. Bestimmen Sie den Winkel zwischen diesen Geraden!
Aufgabe 13
Wo liegt die Spitze des Vektors, der im Punkt P1 (7; 3; −2) angreift, in Richtung auf
P2 (6; −1; 4) zeigt und die Länge s = 5 hat?
Aufgabe 14
Die Verbindungsstrecke P Q von P (3, 2, 1) nach Q(−3, −4, 4) wird durch einen Punkt S
im Verhältnis 2 : 1 geteilt.
a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S!
b) Bestimmen Sie die Entfernung des Punktes S vom Koordinatenursprung!
Aufgabe 15
Für welches y ∈ R hat das Dreieck
√ mit den Eckpunkten P1 = (1, y, 5), P2 = (2, 1, 0) und
P3 = (3, 2, 1) den Flächeninhalt 26 ?
Aufgabe 16
Wo liegen die anderen drei Eckpunkte eines Quadrates mit dem Eckpunkt A = (1, 0, −1),
−−→
der Seite AB = (12, 5, 0)T und einer Seite, die zur z-Achse parallel verläuft?
Aufgabe 17
Welche Bedingungen müssen die Vektoren ~a und ~b erfüllen, damit ~c = ~a + ~b und d~ = ~a − ~b
senkrecht aufeinander stehen?
Aufgabe 18
Seien P = (1, 1, 0), Q = (3, 4, 6) und R = (−2, −1, 2) die Eckpunkte eines Dreiecks im
Raum.
2
Berechnen Sie die Schwerpunktkoordinaten S, den Umfang U und den Flächeninhalt A
des Dreiecks.
Ist das Dreieck rechtwinklig? Wenn ja, überprüfe man den Satz des Pythagoras.
Aufgabe 19
Berechnen Sie:
a) den Winkel α zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden
Kanten eines Würfels.
b) den Winkel β zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden
Flächendiagonalen eines Quadrates der Würfeloberfläche.
Aufgabe 20
Gegeben seien die Vektoren ~a = (1, 1, 1)T und ~b = (2, 0, 1)T .
a)
b)
c)
d)
Bestimmen Sie die Summe und das Skalarprodukt dieser Vektoren.
Ermitteln Sie einen Vektor ~c, der sowohl auf ~a als auch auf ~b senkrecht steht.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von ~a und ~b aufgespannt wird.
Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, welches von ~a, ~b und dem Vektor
d~ = (−1, 2, 0)T aufgespannt wird.
Aufgabe 21
Drei ehemalige Studienkollegen wohnen in Köln, München und Berlin. In einem geeigneten
Koordinatensystem lässt sich die Lage der Städte wie folgt beschreiben: K = (7, 51),
M = (12, 48) und B = (13, 53). Die drei wollen sich wiedersehen und vereinbaren einen
Treffpunkt, zu dem es jeder der drei Freunde gleich weit hat. Welche Koordinaten hat
dieser Treffpunkt?
Aufgabe 22
Ein Fahrzeug soll in möglichst kurzer Zeit vom Punkt (0; 0) km zum Punkt (30; 10) km
gelangen. Auf der Straße (x-Achse) kann es 50 km/h fahren, im Gelände (außerhalb
der x-Achse) dagegen nur 20 km/h. An welcher Stelle der Straße muss das Fahrzeug
abbiegen?
Aufgabe 23
Von einem Quader wurde eine Ecke abgesägt, so dass eine ebene Schnittfläche entsteht (siehe Skizze). Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Flächeninhalt der
Schnittfläche!
H
B
L
Aufgabe 24
3
F~
Um eine Last zu halten, ist eine Kraft F~ = 300 N aufzuwenden.
~
Wie schwer ist die Last, und mit welcher Kraft R
wird der
30◦
Stab, der die Rolle hält, beansprucht?
~
L
Aufgabe 25
Eine Last, die mittels zweier Seile S1 und S2
verspannt ist, übt eine Kraft von 100 N aus.
Mit welchen Zugkräften werden die beiden Seile
beansprucht?
4m
S1
10 m
8m
S2
6m
Aufgabe 26
Im Punkt D(1; 3; −1) ist ein Haken befestigt, von dem aus drei Stahlseile nach den
Punkten A(2; 1; 1), B(−7; 4; 3) und C(−1; 9; 2) gespannt sind. Die Zugkräfte in den
Seilen haben folgende Beträge:
FA = 21 000 N,
FB = 9000 N,
FC = 14 000 N.
Berechnen Sie die in D angreifende Gesamtkraft (Komponenten und Betrag)!
Aufgabe 27
An einem Ausleger hängt eine Last von 40 kN. Welche Zugbzw. Druckkraft wirkt auf die Stäbe, wenn α = 48◦ und
β = 116◦ ist?
β
F~
α
Aufgabe 28
Ein Gerüst, bestehend aus zwei geraden, unterschiedlich langen und im Punkt A(3; 5)
verbundenen Balken, trage in A eine Last von 2700kp. Die beiden Balken sollen in den
Punkten P (1; 1) und Q(4; −2) stufenförmig aufliegen.
Welchen Druckkräften sind die beiden Balkenquerschnitte ausgesetzt?
Wie groß sind die senkrecht gerichteten Auflagedruckkräfte sowie die waagerecht wirkenden
Seitendrücke in den Auflagepunkten der (gewichtslos gedachten) Balken?
Kommt ein Nullvektor zum Psychiater und trägt sein Problem vor: "Herr Doktor, bitte
helfen Sie mir. Ich bin immer so orientierungslos."
4
Lösungen
2 Ja.
3 ~c = 4~a + 2~b
4 P = (−1, 7 ; 0 ; 0)
√
5± 3
6 λ1 = 1, λ2 = −5
7 Es gilt: |~a| = |~b| = |~c| = 15 und ~a ⊥ ~b, ~b ⊥ ~c und ~c ⊥ ~a
8 Ja.
9 alle Punkte, die 0 = (x, y, z)T ◦ (1, 1, 1)T erfüllen
10 Die vier Punkte liegen in einer Ebene.
11 70, 53◦
12 36, 87◦


7 − √553



√20
13 
 3 − 53 
30
−2 + √53
√
~¯ = 14
b) |OS|
14 a) S(−1, −2, 3)
15 y1 = 8, y2 = −2
16 B = (13, 5, −1), C = (1, 0, 12), D = (13, 5, 12) oder
B = (13, 5, −1), C = (1, 0, −14), D = (13, 5, −14)
17 |~a| = ~b
18 S = (2/3, 4/3, 8/3), U = 19.25, A = 14.43, Ja
19 a ) α = 54, 7
b) β = 35, 26r
20 a) ~a + ~b = (3, 1, 2)T , ~a ◦ ~b =√3
b) ~c = (1, 1, −2)T
c) A = 26
d) V = 1
21 Treffpunkt (10, 357 ; 50, 929)
22 nach etwa 25,636 km
√
23 A = 21 L2 H 2 + H 2 B 2 + L2 B 2
~ 24 L
= 173,2 N
25 S1 = 62,1 N

~
R = 346,4 N (Zugkraft)
S2 = 96,2 N

−5000


26 F~ =  −1000  N,
24000
~
F = 24 536 N
27 Fα = 62,741 kN (Zugkraft) Fβ = 51,876 kN (Druckkraft)
√
√
28 FI = 150 20 !
kp ∧ FII = 300 50 kp
!
−300
kp
300
kp
F~I =
,
F~II =
−600 kp
−2100 kp
30. November 2015, 18:42 Uhr
5