¨UBUNGSAUFGABEN ZUR LINEAREN ALGEBRA UND

ÜBUNGSAUFGABEN ZUR
LINEAREN ALGEBRA UND GEOMETRIE FÜR LAK
MARTIN EHLER, WS 2014/15
Teil 1. Vektorräume, lineare Gleichungssysteme und
Abbildungen (Wiederholung)
Aufgabe 1
Untersuchen Sie, ob die Menge der drei Vektoren
(2, 1, 3)> ,
(3, 2, 2)> ,
(4, 4, 2)>
im R3 linear abhängig oder linear unabhängig sind.
Aufgabe 2
2.1. Berechne
  

1
1 2 3
4 5 6 · 2 = . . .
3
7 8 9
2.2. Seien V und W reelle Vektorräume. Der Kern einer linearen Abbildung f : V → W ist . . .
{w ∈ W : f (0) = w},
{f (v) : v ∈ V },
{v ∈ V : f (v) = 0}.
2.3. Der Rang von f ist . . .
die Dimension des Kerns von f ,
die Dimension des Bildes von f ,
die Dimension von W .
Aufgabe 3
Sei V ein reeller Vektorraum und U1 , U2 zwei reelle Unterräume in
V . Zeigen Sie, dass dann auch U1 ∩ U2 ein Unterraum von V ist.
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MARTIN EHLER, WS 2014/15
Aufgabe 4
Sei V der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad höchstens
2. Untersuchen Sie, ob {p0 , p1 , p2 } ⊂ V linear abhängig oder linear
unabhängig sind, wobei
pi (x) = xi ,
x ∈ R,
i = 0, 1, 2.
Aufgabe 5
Gegeben sei die Abbildung
2
2
f :R →R ,
x1
x1 + x2
7→
.
x2
x1
(a) Zeigen Sie, dass f linear ist.
(b) Geben Sie die Matrixdarstellung von f bezüglich der kanonischen
Basis des R2 an.
(c) Geben Sie zwei Basen B1 und B2 des R2 an, so dass die zugehörige
Matrixdarstellung von f die Einheitsmatrix ist.
Aufgabe 6
Sei V ein reeller Vektorraum mit Basis B = {b1 , b2 , b3 } und sei ferner
a1 := b1 + b2 + 4b3
a2 := b2 + b3
a3 := b1 + b3 .
(a) Zeigen Sie, dass auch A = {a1 , a2 , a3 } eine Basis istP
und bestimmen
Sie die Transformationsmatrix (αi,j )i,j mit aj = 3i=1 αi,j bi , j =
1, 2, 3.
P
(b) Berechnen Sie die Transformationsmatrix (βi,j )i,j mit bj = 3i=1 βi,j ai ,
j = 1, 2, 3.
(c) Sei v = b1 + 2b2 . Bestimmen Sie den Koordinatenvektor (ξ1 , ξ2 , ξ3 )>
von v bezüglich der Basis B. Berechnen Sie daraus mittels der geeigneten Transformationsmatrix den Koordinatenvektor (ξ˜1 , ξ˜2 , ξ˜3 )>
von v bezüglich A.
ÜBUNGSAUFGABEN: LINEARE ALGEBRA UND GEOMETRIE FÜR LAK
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Aufgabe 7
Untersuchen Sie, ob das folgende Gleichungssystem lösbar ist und
berechnen Sie gegebenenfalls die Lösungsmenge:
1 = x1 + 2x2 + 3x3
2 = 4x1 + 5x2 + 6x3
3 = 7x1 + 8x2 + 9x3
4 = 5x1 + 7x2 + 9x3 .
Aufgabe 8
8.1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung . . .
h·, ·i : V × V → R,
h·, ·i : V → V × V ,
h·, ·i : R × V → V .
8.2. Welches sind im folgenden richtige Aussagen?
Ist h·, ·i : Rd ×Rd → R ein Skalarprodukt auf Rd , so muss gelten
hx, yi = x1 y1 + . . . + xd yd ,
∀x, y ∈ Rd .
Ist h·, ·i : Rd × Rd → R ein Skalarprodukt auf Rd , so gilt
hx, yi = (x1 y1 , . . . , xd yd )> ,
∀x, y ∈ Rd .
Definiert man
hx, yi = x1 y1 + . . . + xd yd ,
∀x, y ∈ Rd ,
so ist dadurch ein Skalarprodukt auf Rd erklärt.
8.3. Das orthogonale Komplement U ⊥ eines Untervektorraums U in
einem reellen Vektorraum V ist . . .
U ⊥ = {x ∈ U : x ⊥ U },
U ⊥ = {x ∈ V : x ⊥ U },
U ⊥ = {x ∈ V : x ⊥ U, kxk = 1}.
Aufgabe 9
Zeigen Sie explizit die bekannte Aussage für endlich-dimensionale
Vektorräume V und W : Eine lineare Abbildung f : V → W ist eindeutig durch ihre Werte auf einer Basis von V festgelegt.
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Aufgabe 10
Gegeben seien die 4 Vektoren
 
 
1
2
v1 =  3  , v2 = 1 ,
−1
1


−1
v3 =  7  ,
−5

4
v4 = −3 ,
5
und wir definieren M = {v1 , . . . , v4 }.
(a) Ist M linear unabhängig in R3 ?
(b) Ist M ein Erzeugendensystem des R3 ?
(c) Geben Sie eine Basis der linearen Hülle von M an.
