11. Übungsblatt

Programmierung WS14/15
Übungsblatt 11 (Abgabe 28.01.2015)
Prof.aa
Dr. J. Giesl
C. Aschermann, F. Frohn, J. Hensel, T. Ströder
Allgemeine Hinweise:
Hausaufgaben sollen in Gruppen von je 2 Studierenden aus der gleichen Kleingruppenübung
(Tutorium) bearbeitet werden. Namen und Matrikelnummern der Studierenden sind auf jedes Blatt
der Abgabe zu schreiben. Heften bzw. tackern Sie die Blätter!
ˆ
Die
ˆ
Die
Nummer der Übungsgruppe
muss
links oben
auf das
erste Blatt
der Abgabe geschrieben
werden. Notieren Sie die Gruppennummer gut sichtbar, damit wir besser sortieren können.
ˆ
Die Lösungen müssen
bis Mittwoch, den 28.01.2015 um 15:00 Uhr in den entsprechenden Übungs-
kasten eingeworfen werden. Sie nden die Kästen am Eingang Halifaxstr. des Informatikzentrums (Ahornstr. 55). Alternativ können Sie die Lösungen auch vor der Abgabefrist direkt bei Ihrer Tutorin/Ihrem
Tutor abgeben.
ˆ
In einigen Aufgaben müssen Sie in
Haskell oder Prolog programmieren und .hs- bzw. .pl-Dateien anlegen.
Drucken Sie diese aus und schicken Sie sie per E-Mail vor Mittwoch, dem 28.01.2015 um 15:00 Uhr
an Ihre Tutorin/Ihren Tutor.
Stellen Sie sicher, dass Ihr Programm von
GHC bzw. SWI akzeptiert wird, ansonsten werden keine Punkte
vergeben.
Tutoraufgabe 1 (Unendliche Listen in Haskell):
a)
Implementieren Sie in
Haskell
die Funktion
odds
vom Typ
[Int],
welche die Liste aller ungeraden
natürlichen Zahlen berechnet.
b)
Aus der Vorlesung ist Ihnen die Funktion
primes
bekannt, welche die Liste aller Primzahlen berechnet.
Nutzen Sie diese Funktion nun, um die Funktion
primeFactors
vom Typ
Int -> [Int]
in
Haskell
zu implementieren. Diese Funktion soll zu einer natürlichen Zahl ihre Primfaktorzerlegung als Liste
berechnen (auf Zahlen kleiner als 1 darf sich Ihre Funktion beliebig verhalten). Z. B. soll der Aufruf
primeFactors 420
die Liste
[2,2,3,5,7]
berechnen.
Hinweise:
ˆ
Die vordenierten Funktionen
div
und
mod
vom Typ
Int -> Int -> Int,
welche die abgerundete
Ganzzahldivision bzw. die modulo Operation (also den Rest bei der Ganzzahldivision) berechnen,
könnten hilfreich sein.
Aufgabe 2 (Unendliche Listen in Haskell):
a)
Geben Sie einen
(2 + 2 + 3 = 7 Punkte)
Haskell-Ausdruck an, der zu einer unendlichen Liste aller Palindrome ausgewertet wird.
Ein Palindrom ist ein
String, der vorwärts und rückwärts gelesen gleich ist. Somit ist anna ein Beispiel
Strings, die aus den Zeichen 'a' bis
für ein Palindrom. Wir betrachten in dieser Aufgabe ausschlieÿlich
'z'
bestehen. Die berechnete Liste soll bezüglich der Länge ihrer Elemente aufsteigend sortiert sein.
Sie dürfen die folgende Hilfsfunktion
n
strings benutzen. Diese berechnet alle Strings der Länge n, wobei
das erste Argument der Funktion ist.
strings
strings
strings
where
:: Int -> [ String ]
0 = [""]
n = concat ( map (\ x -> map (\ tail -> x : tail ) tails ) [ 'a ' .. 'z ' ])
tails = strings (n -1)
Hinweise:
ˆ
Die Funktion
reverse :: [a] -> [a]
dreht eine Liste um.
1
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b)
Geben Sie einen
Haskell-Ausdruck
ausgewertet wird. Eine Zahl
x≥2
an, der zu der aufsteigend sortierten Liste aller
ist. Betrachten Sie als Beispiel die Zahl
also ist
6
perfekten Zahlen
x
1 + 2 + 3 = 6,
ist genau dann perfekt, wenn die Summe ihrer echten Teiler gleich
6:
Ihre echten Teiler sind
1, 2
und
3
und es gilt
eine perfekte Zahl.
Sie dürfen die folgende Hilfsfunktion
divisors
benutzen. Diese berechnet alle echten Teiler der als
Argument übergebenen Zahl.
divisors :: Int -> [ Int ]
divisors x = filter (\ y -> mod x y == 0) [1.. div x 2]
Hinweise:
ˆ
c)
sum :: [Int] -> Int
Die Funktion
Geben Sie einen
berechnet die Summe aller Elemente einer Liste.
Haskell-Ausdruck an, der zu der aufsteigend sortierten Liste aller semiperfekten Zahlen
x ≥ 2 ist genau dann semiperfekt, wenn die Summe aller oder einiger ihrer
x ist. Betrachten Sie als Beispiel die Zahl 12: Ihre echten Teiler sind 1, 2, 3, 4 und 6
2 + 4 + 6 = 12, also ist 12 eine semiperfekte Zahl.
ausgewertet wird. Eine Zahl
echten Teiler gleich
und es gilt
Hinweise:
ˆ
Die Funktion
any :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
testet, ob ein Element einer Liste das als
erstes Argument übergebene Prädikat erfüllt.
ˆ
Die Funktion
subsequences :: [a] -> [[a]]
berechnet alle Teillisten der als Argument überge-
benen Liste. Es gilt zum Beispiel:
subsequences [1,2,3] = [[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
subsequences
Data.List lauten.
Damit Sie die Funktion
Lösung import
nutzen können, muss die erste Zeile der Datei mit Ihrer
Tutoraufgabe 3 (Programmieren in Prolog):
In dieser Aufgabe sollen einige Abhängigkeiten im Übungsbetrieb Programmierung in
Prolog modelliert und
analysiert werden. Die gewählten Personennamen sind frei erfunden und eventuelle Übereinstimmungen mit
tatsächlichen Personennamen sind purer Zufall.
Person
Rang
J. Giesl (jgi)
Professor
C. Aschermann (cas)
Assistent
J. Hensel (jhe)
Assistent
F. Frohn (r)
Assistent
T. Ströder (tst)
Assistent
T. Jakobs (tja)
Tutor
O. Kabal (oka)
Tutor
F. Ail (fai)
Student
N. Erd (ner)
Student
M. Ustermann (mus)
Student
Schreiben Sie keine Prädikate auÿer den geforderten und nutzen Sie bei Ihrer Implementierung jeweils Prädikate
aus den vorangegangenen Aufgabenteilen.
a)
Übertragen Sie die Informationen der Tabelle in eine Wissensbasis für
für die Prädikatssymbole
hatRang(X, Y),
b)
falls
X
person
den Rang
und
Y
hatRang
an. Hierbei gilt
Prolog. Geben Sie hierzu Fakten
person(X),
falls
X
eine Person ist und
hat.
Stellen Sie eine Anfrage an das im ersten Aufgabenteil erstellte Programm, mit der man herausnden
kann, wer ein Assistent ist.
Hinweise:
2
Programmierung WS14/15
Übungsblatt 11 (Abgabe 28.01.2015)
ˆ
c)
Durch die wiederholte Eingabe von ; nach der ersten Antwort werden alle Antworten ausgegeben.
Schreiben Sie ein Prädikat
bossVon,
womit Sie abfragen können, wer innerhalb der Übungsbetriebs-
hierarchie einen Rang direkt über dem eines anderen bekleidet. Die Reihenfolge der Ränge ist Professor
> Assistent > Tutor > Student. So ist z.B.
bossVon(tja,cas)
d)
bossVon(cas,tja)
wahr, während
bossVon(tst,fai)
und
beide falsch sind.
Stellen Sie eine Anfrage, mit der Sie alle Personen herausnden, die in der Übungsbetriebshierarchie
direkte Untergebene haben. Dabei sind mehrfache Antworten mit dem gleichen Ergebnis erlaubt.
e)
Schreiben Sie schlieÿlich ein Prädikat
vorgesetzt mit zwei Regeln, mit dem Sie alle Paare von Personen
abfragen können, sodass die erste Person in der Übungsbetriebshierarchie der zweiten Person vorgesetzt
ist. Eine Person
X
ist einer Person
Y
vorgesetzt, wenn der Rang von
X
gröÿer als der Rang von
(wobei wieder Professor > Assistent > Tutor > Student gilt). So sind z.B.
vorgesetzt(tst, fai)
beide wahr, während
vorgesetzt(tja, cas)
Aufgabe 4 (Programmieren in Prolog):
In dieser Aufgabe soll ein Teil der Nahrungskette in
vorgesetzt(jgi, fai)
Y
ist
und
falsch ist.
(2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 7 Punkte)
Prolog modelliert und analysiert werden.
ˆ
Die Nahrungskette besteht aus Tieren und Panzen.
ˆ
Bäume und Getreide sind Panzen.
ˆ
Elefanten, Schweine, Wölfe und Menschen sind Tiere.
ˆ
Elefanten essen (Teile von) Bäumen.
ˆ
Schweine essen Tiere und Panzen.
ˆ
Menschen essen Schweine und Getreide.
ˆ
Wölfe essen Schweine und Menschen.
Schreiben Sie keine Prädikate auÿer den geforderten und nutzen Sie bei Ihrer Implementierung jeweils Prädikate
aus den vorangegangenen Aufgabenteilen. Benutzen Sie
a)
keine vordenierten Prädikate.
Übertragen Sie die oben gegebenen Informationen in eine Wissensbasis für
Fakten und/oder Regeln für die Prädikatssymbole
falls
von
b)
X ein Tier ist und pflanze(X)
X gegessen wird.
falls
X
tier, pflanze
Prolog.
Geben Sie hierzu
isst an. Hierbei gilt tier(X),
gilt isst(X,Y) falls Y (teilweise)
und
eine Panze ist. Auÿerdem
Stellen Sie eine Anfrage an das im ersten Aufgabenteil erstellte Programm, mit der man herausnden
kann, wer Schweine isst.
Hinweise:
ˆ
c)
Durch die wiederholte Eingabe von ; nach der ersten Antwort werden alle Antworten ausgegeben.
Schreiben Sie ein Prädikat
fleischfresser, sodass fleischfresser(X) genau dann gilt, wenn X Fleisch
(d.h., mindestens eine Art von Tieren) isst. Es ist nicht erlaubt, zur Lösung dieser Teilaufgabe zusätzliche
Fakten anzugeben.
d)
Schreiben Sie ein Prädikat
fressfeinde,
sodass
fressfeinde(X,Y)
genau dann gilt, wenn
X
und
Y
Tiere sind, deren Speiseplan mindestens eine Gemeinsamkeit aufweist. Jede Tierart ist insbesondere
auch Fressfeind von sich selbst. Es ist nicht erlaubt, zur Lösung dieser Teilaufgabe zusätzliche Fakten
anzugeben.
e)
Schreiben Sie ein Prädikat
nimmtZuSich,
gegessen wird, oder wenn
Tiere isst, die ihrerseits
X
sodass
dieser Teilaufgabe zusätzliche Fakten anzugeben.
3
nimmtZuSich(X,Y) genau
Y zu sich nehmen. Es ist
dann gilt, wenn
Y
von
X
nicht erlaubt, zur Lösung
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Tutoraufgabe 5 (Programmieren mit Listen in Prolog):
In dieser Aufgabe geht es darum, Bahnhof
zu verstehen. Ein Bahnhof hat eine begrenzte Anzahl
n∈N
von Gleisen und ein unbegrenzt langes Wartegleis. Die Idee ist, dass ein ankommender Zug sich hinten bei den
wartenden Zügen einreiht. Wenn bislang kein Zug wartet, dann steht der neue Zug entsprechend vorne auf
dem Wartegleis. Sobald im Bahnhof ein Gleis frei ist, fährt der Zug, der am längsten wartet, auf dieses Gleis.
Auf jedem Gleis des Bahnhofs kann maximal ein Zug stehen. Auf dem Wartegleis können hingegen beliebig
viele Züge stehen.
Implementieren Sie in dieser Aufgabe Datenstrukturen und Prädikate, um mit solchen Bahnhöfen zu arbeiten.
Benutzen Sie für Züge ein einstelliges Funktionssymbol, so dass jeder Zug eine Zahl als Wert hat. Als Beispiel
stehen hier die Terme
a)
zug(1)
und
zug(2)
für die Züge Zug1 und Zug2 .
Verwenden Sie für Bahnhöfe ein zweistelliges Funktionssymbol
bahnhof(Wartegleis, Gleise), so dass
im ersten Argument das Wartegleis repräsentiert ist und das zweite Argument Informationen über die
Gleise enthält. Verwenden Sie für die Terme in den beiden Argumenten jeweils die vordenierten Listen.
Geben Sie freie Gleise durch die Konstante
frei
an, belegte Gleise durch den Term des entsprechenden
Zuges. Geben Sie für die von Ihnen gewählte Darstellung der Datenstruktur die Termdarstellung eines
Bahnhofs
b)
B
an, wobei
ˆ
der Zug Zug3 auf dem Wartegleis steht
ˆ
der Bahnhof vier Gleise hat
ˆ
auf den Gleisen 2 und 4 die Züge Zug1 und Zug2 stehen und die anderen beiden Gleise frei sind
einfuegen(Zug, GleiseVorher, GleiseNachher), das den Zug Zug auf ein
GleiseVorher stellt, so dass die Gleise anschlieÿend durch GleiseNachher repräsentiert
Schreiben Sie ein Prädikat
freies Gleis von
werden.
Gehen Sie hierbei davon aus, dass
GleiseVorher
mindestens ein freies Gleis enthält. Ihr Prädikat sollte
für Bahnhöfe mit beliebig vielen Gleisen verwendbar sein.
c)
Schreiben Sie ein Prädikat
bewegen(bahnhof(W, G), bahnhof(WNeu, GNeu)),
das wartende Züge auf
freie Gleise bewegt. Hierbei ist es egal, welches freie Gleis belegt wird. In jedem Schritt soll der Zug
bewegt werden, der am längsten wartet. Die Auswertung des Prädikats ist beendet, wenn kein Gleis
frei ist oder kein Zug mehr wartet. Sorgen Sie dafür, dass dann in
angepassten Werte von
W
bzw.
G
WNeu
und
GNeu
die entsprechend
stehen.
keinPlatz(Gleise). Dieses Prädikat ist genau
Gleise nirgendwo die frei-Markierung enthält.
Schreiben Sie hierfür erst ein Hilfsprädikat
wenn die übergebene Gleisinformation
Weiterhin ist es nützlich, das bereits implementierte Prädikat
Angewendet auf den obigen Beispiel-Bahnhof
B
einfuegen
dann wahr,
zu verwenden.
hat der Ergebnis-Bahnhof also ein leeres Wartegleis, die
Züge Zug1 und Zug2 (nach wie vor) auf den Gleisen 2 und 4 und den ehemals wartenden Zug Zug3 auf
Gleis 1 oder auf Gleis 3 (wobei das andere Gleis weiterhin frei ist).
Tutoraufgabe 6 (Prolog mit eigenen Datenstrukturen):
Natürliche Zahlen lassen sich in
Prolog (oder anderen deklarativen Sprachen) durch die Peano-Notation als
Terme darstellen. Dabei stellt die Konstante
X
stellt
s(X)
die Zahl
x+1
Binäre Bäume können in
0
Prolog
x dargestellt durch den Term
s(s(s(0))) dargestellt.
werden. Sei n eine natürliche Zahl
die Zahl 0 dar und für eine Zahl
dar. So wird z. B. die Zahl
3
durch den Term
folgendermaÿen als Terme dargestellt
N. Dann repräsentiert der Term leaf(N) einen Baum mit nur einem Blatt, welches
den Wert n enthält. Für zwei Bäume x und y dargestellt durch die Terme X und Y repräsentiert der Term
node(X,N,Y) einen binären Baum mit einem Wurzelknoten, der den Wert n enthält und die Teilbäume x und
y hat. Als Beispiel ist nachfolgend ein binärer Baum und seine Darstellung als Term angegeben.
dargestellt durch den Term
4
Programmierung WS14/15
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2
1
0
1
3
node(leaf(s(0)),s(s(0)),node(leaf(s(0)),0,leaf(s(s(s(0))))))
a)
b)
Schreiben Sie ein Prädikat
Z
natürliche Zahlen
x, y
add/3 in Prolog, wobei add(X,Y,Z) genau dann wahr sein soll, wenn X, Y und
z in Peano-Notation repräsentieren und x + y = z gilt.
und
isSymmetric/1 in Prolog, wobei isSymmetric(X) genau dann wahr sein soll,
Schreiben Sie ein Prädikat
wenn
X
einen symmetrischen binären Baum darstellt. Ein binärer Baum ist symmetrisch, wenn er nur
aus einem Blatt besteht oder die beiden Teilbäume der Wurzel gespiegelt sind. Z. B. ist der folgende linke
binäre Baum symmetrisch, während es der rechte nicht ist.
2
2
1
0
1
3
1
3
0
1
3
0
3
0
Aufgabe 7 (Prolog mit Listen und eigenen Datenstrukturen): (1 + 1 + 2 + 2.5 + 1
+ 3.5 = 11 Punkte)
Verwenden Sie in dieser Aufgabe
keine vordenierten Prädikate. Nutzen Sie Prädikate, deren Implemen-
tierung in früheren Teilaufgaben gefordert wurde, falls dies sinnvoll ist.
a)
Prolog darzustellen, ist die Verwendung eines nullstelligen Funktionssymbols
Eine Möglichkeit, Listen in
nil
zur Repräsentation der leeren Liste und eines zweistelligen Funktionssymbols
tion nicht-leerer Listen, wobei das erste Argument von
cons
zur Repräsenta-
cons die Restliste ist. Auf diese Art
cons(1, cons(2, cons(3, nil))) dargestellt
cherte Wert und das zweite Argument von
und Weise kann z.B. die
Liste
werden.
[1,2,3]
durch den Term
userDefinedList(X) das genau
cons beschriebene Liste ist.
Implementieren Sie ein Prädikat
der Funktionssymbole
b)
cons
der in dem aktuellen Listenelement gespei-
nil
und
Implementieren Sie ein Prädikat
ˆ X
asPrologList(X,Y)
eine mit Hilfe der Funktionssymbole
nil
und
dann wahr ist, wenn
X
eine mit Hilfe
das genau dann wahr ist, wenn
cons
(siehe vorheriger Aufgabenteil) beschriebene
Liste ist und
ˆ Y
die gleiche Liste wie
Es soll also beispielsweise
c)
X
beschreibt, dazu jedoch die vordenierten
asPrologList(cons(1, cons(2, cons(3, nil))), [1,2,3])
Implementieren Sie ein Prädikat
wenn man die Listen
X
und
Y
append(X,Y,Z)
Implementieren Sie ein Prädikat
ˆ X
gelten.
das genau dann wahr ist, wenn die Liste
Z
entsteht,
konkateniert. Verwenden Sie zum Lösen dieser Aufgabe die vordenierten
Prolog-Listen. Es soll also beispielsweise append([1,2],
d)
Prolog-Listen nutzt.
flatten(X,Y)
[2,3], [1,2,2,3])
gelten.
das genau dann wahr ist, wenn
eine Liste von Listen ist und
5
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Übungsblatt 11 (Abgabe 28.01.2015)
ˆ Y
jene Liste ist, die entsteht, wenn man alle Element von
Es soll also beispielsweise
e)
X
konkateniert.
flatten([[1,2,3],[],[3,4]], [1,2,3,3,4])
Entwerfen Sie eine Datenstruktur, mit deren Hilfe sich Mehrwegbäume in
Mehrwegbaum ist ein Baum, dessen Knoten
beliebig viele Kindknoten
gelten.
Prolog darstellen lassen. Ein
haben können. Darüber hinaus
muss jeder Knoten einen beliebigen Wert speichern können. Beschreiben Sie kurz die Bedeutung der von
Ihnen zu diesem Zweck verwendeten Funktionssymbole und ihrer Argumente.
f)
Implementieren Sie ein Prädikat
ˆ X
flattenTree(X,Y)
das genau dann wahr ist, wenn
ein Baum von Listen ist, wobei die von Ihnen im letzten Aufgabenteil entworfene Datenstruktur
zur Repräsentation von Bäumen und die vordenierten
ˆ Y
eine Liste ist, die entsteht, indem alle in
Die Reihenfolge, in der die Listen aus
jene Liste, die in der Wurzel von
X
X
X
Prolog-Listen verwendet werden, und
enthaltenen Listen konkateniert werden.
konkateniert werden sollen, ist wie folgt: Am Anfang steht
gespeichert ist. Es folgen alle Listen, die in dem durch den ersten
Kindknoten denierten Teilbaum gespeichert sind, gefolgt von allen Listen, die in dem durch den zweiten Kindknoten denierten Teilbaum gespeichert sind, usw. Es gilt also beispielsweise
[1,2,3,15,7,3,7,15,11,12]),
wenn
X
der folgende Mehrwegbaum ist:
[1,2,3]
[]
[15]
[]
[7,3]
[7,15]
[11,12]
6
flattenTree(X,