Planungsblatt für die 4C

Planungsblatt für die 4C
Anfang: 26 oder 27 Mai
Ende: Wird bekannt gemacht
Stoff
Die Zahl π spielt in er Mathematik eine wichtige Rolle. Daher - we proudly present - ein
Arbeitsblatt über diese Zahl. Wenn möglich werde ich etwas Geschichte und so weiter dazu
erzählen.
Wichtig !!! Nach diesem Arbeitsblatt verstehst du:
(a) was man mit π machen kann!
Schulübungen.
(a) nach einer kleinen Einleitung geht es mit dem Arbeitsblatt los!
Hausaufgaben
Für jedes nächste Mal:
• Mache mit dem Arbeitsblatt weiter. Bedenke, dass ich mir erwarte, dass du auch daheim
weiter arbeitest, und dass ich das kontrolliere! Ich werde mir das Heft von jeder Person
mal anschauen und bewerten!
Die letzte Aufgabe ist von jedem ABZUGEBEN:
Das Arbeitsblatt ‘Die Zahl π entziffern’ muss dan zuerst fertig sein. Schreibe einen leserlichen
und lesbaren Text mit etwa 10 Sätzen, in dem du beschreibst, was du jetzt über π weißt. Wann
dies abzugeben ist - der Deadline - , werde ich bekanntmachen. Die, die früher fertig sind,
können früher mit dem nächsten Arbeitsblatt weitergehen.
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Arbeitsblatt ‘Die Zahl π entziffern’
Achtung: Formuliere immer deine Antwort mittels eines oder mehrerer Vollsätze!
Wir haben die Zahl π schon einmal gesehen; der Imkreis eines Kreises mit Radius r ist 2πr und
der Flächenhalt desselben Kreises beträgt πr2 . Da Kreise überall in der Mathematik wieder
zurückkommen, findet man die Zahl π auch fast überall zurück. Sogar die zahlentheoretische
Formeln Ramanujans, mit denen er Eigenschaften von Primzahlen beschrieb, zeigen oft die
Zahl π, aber auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung - bei der Normalverteilung, oder auch
wohl der Gaussischen Verteilung - zeigt diese Zahl π sich. Mathematik ist eine interdisziplinäre
Wissenschaft, was heißt, dass sie in anderen Wissenschaften eine gewichtige Rolle spielt, und
dass mathematische Fragen oft aus anderen Wissenschaften kommen. Aus diesem Grund findet
man die Zahl π auch in anderen Wissenschaften zurück. So habe ich als Physiker ein paar mal
die Formeln für Volumina mehrdimensionaler Kugeln gebraucht, und rate mal, welche Zahl da
immer erscheint? Also, Zeit diese Zahl ein wenig kennenzulernen, und ein wenig die Mystik um
diese Zahl wegzunehmen.
Aufgabe 1. [Eine erste grobe Annäherung von π]
Betrachte die folgende unterstehende Figur, in der der Radius des Kreises eins ist:
F
E
D
G
C
H
A
B
Das Ziel dieser Aufgabe ist, die Fläche und den Umkreis einzuschränken; wir werden dann eine
obere Schranke und eine untere Schranke finden.
(a) Wie groß ist die Distanz zwischen A und B?
(b) Was ist der Umkreis des großen Quadrats?
(c) Wie lange ist die Strecke AC? (Hinweis: Pythagoras; zeichne die Strecken AE und GC
ein.)
(d) Was ist der Umkreis des kleinen Quadrats?
(e) Was ist der Flächeninhalt des großen Quadrats?
(f ) Was ist der Flächeninhalt des kleinen Quadrats?
(g) Wenn der Umkreis eines Kreises mit Radius r durch 2πr gegeben ist, benutze deine
obigen Ergebnisse für eine obere und untere Schranke von π. (Hinweis: der Umkreis des
großen Quadrats ist größer als der Umkreis des Kreises.)
(h) Wenn der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r durch πr2 gegeben ist, benutze deine
obigen Ergebnisse für eine obere und untere Schranke von π. (Hinweis: der Flächeninhalt
des großen Quadrats ist größer als der Flächeninhalt des Kreises.)
Aufgabe 2. [eine zweite Annäherung von π]
Betrachte folgende Figur, in der der Radius des Kreises, der von innen und von außen umgeben
ist durch zwei Sechsecke, eins ist:
Ziel dieser Aufgabe ist es, davon ausgehend, dass der Umkreis des gegebenen Kreises 2π ist
und sein Flächeninhalt durch π gegeben ist, obere und untere Schranken für π zu finden.
(a) Wissend, dass der Radius des Kreises eins ist, leite ab, wie groß eine Kante des kleinen
Sechsecks ist. (Hinweis: verbinde zwei gegenüberliegende Eckpunkte.)
(b) Für den Radius des großen Sechsecks müssen wir etwas mehr arbeiten; du solltest dein
Wissen über gleichseitige Dreiecke benutzen. Zeichne ein gleichseitiges Dreieck △ABC
und zeichne die Höhenlinie hc ein, und sei D der Fußpunkt der Höhenlinie, sodass |AD| =
|BD|. Wenn |AB| = 1, wie lange ist dann hc ? Und umgekehrt, wie viel länger ist AB als
hc ?
(c) Betrachte die folgende Skizze
C
D
B
A
und benutze sie, die Länge der Kanten des großen Sechsecks zu finden. (Hinweis: wie
hängen gleichseitige Dreiecke und Sechsecke zusammen?)
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(d) Berechne die Umkreise der Sechsecke und finde damit eine obere und eine untere Schranke
für π.
(e) Der Flächeninhalt eines Sechsecks kann man ausrechnen, wenn man der Flächeninhalt
eines gleichseitigen Dreiecks mit vorgegebenen Seitenlänge weiss. Berechne für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a den Flächeninhalt.
(f ) Benutze das vorige Ergebnis um obere und untere Schranken für π zu finden.
Aufgabe 3. Eine erste Anwendung: wissend, dass der Umkreis der Erde so ungefähr 40.000
Kilometer ist, was ist der Radius der Erde? Vergleiche mit Daten aus einem Atlanten.
Aufgabe 4. Wenn wir den Radius eines Kreises um einen Faktor 2, 3, 4 oder 5 vergrößern,
was passiert dann mit (a) dem Umkreis, (b) dem Flächeninhalt? Ist das logisch? Kannst du
ein Argument finden?
Aufgabe 5. [Bonus] Zeichne einen Kreis. Teile den Kreis in Sektoren ein - nimm etwas 12
Sektoren (so wie beim Torteschneiden). Du kannst die Sektoren nebeneinander liegen; den einen
mit Spitze nach oben, den nächsten mit der Spitze nach unten, den nächsten dann wieder mit
der Spitze nach oben, ... usw. Du bekommst eine Figur, die einem Viereck ähnlich ist. Leite aus
der Formel für den Umkreis, die Formel für den Flächeninhalt ab, indem du immer kleinere
Sektoren nimmst. (Es handelt sich hier um einen Grenzprozess; wir nehmen immer feinere
Verteilungen und sehen, dass wir immer bessere Vierecke bekommen ...)
Aufgabe 6. Stell dir eine Ameise vor, die über den Rand eines Kreises läuft. Wenn der
Winkel zwischen Anfangspunkt und Endpunkt 60o beträgt, welche Distanz hat der Ameise
dann zurückgelegt? Und wenn der Winkel x Grad beträgt?
Aufgabe 7. Eratosthenes war ein Grieche, der 200 Jahr bevor Anfang des christlichen Kalenders in Alexandrien wohnte. Er ist bekannt geworden, weil wir von ihm wissen, dass er den
Umkreis der Erde gemessen hat - oder besser gesagt, aus den vorliegenden Daten abgeschätzt.
Da die Legende verschiedene Versionen hat, werden wir nie genau wissen, wie er das machte.
Trotzdem sind einige Sachen uns bekannt; er benutzte, dass in einem Dorf Syene (mehr oder
weniger das heutige Aswan (auch wohl Assouan)) irgendwann im Jahr die Sonne senkrecht
über Syene steht. In Alexandrien stand die Sonne dann nicht senkrecht über Alexandrien und
mit einem Stab (oder mit einem Baum, Gebäude, ...) maß er den Winkel zwischen Sonne und
Azimuth (das ist der Punkt am Himmel, der senkrecht über uns steht). Siehe im Bild hier
unten:
Q
R
(a)
P
Erkläre, wie es möglich ist, mithilfe eines Stabs und seines Schattens den Winkel zwischen
Sonne und Azimuth zu messen.
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(b) Schau dir die nächste Skizze an, in welcher A für Alexandrien Steht, B für Syene und
M für den Mittelpunkt der Erde:
A
M
(c)
B
und erkläre, dass der Winkel, den Eratosthenes in Alexandrien maß, dem Winkel ∠AM B
gleicht.
Mit dem Winkel ∠AM B und mit der Distanz Syene-Alexandrien, die damals bekannt
war, berechnete Eratosthenes den Umkreis der Erde. Erkläre, wie man aus diesen Daten
den Umkreis der Erde berechnen kann.
Aufgabe 8. Es gibt noch mehr Formeln mit π, die hin und wieder nutzvoll sind. Zum Beispiel,
der Flacheninhalt einer Sphäre beträgt 4πr2 , wobei r der Radius ist. Das Volumen einer Kugel
mit Radius r beträgt 43 πr3 . Es fällt also auf, dass das Volumen mit der dritten Potenz und der
Flächeninhalt mit der zweiten Potenz des Radius wächst.
(a) In welchen Einheiten messen wir Flächeninhalte?
(b) In welchen Einheiten messen wir Volumina?
(c) Ist es logisch, dass Volumen von der dritten Potenz des Radius abhängt?
(d) Die Wärmeproduktion eines Tieres ist proportional zur Masse, also grob gesagt, zum
Volumen. Die Wärmeverlust ist proportional zum Oberflächeninhalt. Erkläre warum
dies so ist!
(e) Erkläre dann jetzt, warum kleine Tiere größere Schwierigkeiten haben, sich warm zu
halten, als große Tiere.
(f ) Erkläre, warum es biologisch betrachtet spannend ist, wenn man ganz kleine gleichwarme
(hom”ootherme) Tiere, zB Saugetiere, findet.
Aufgabe 9. Der Radius der Erde ist etwa 6265 Kilometer. Berechne bzw. schätze folgende
Größen ab: (1) den Umkreis, (2) der Oberflächeninhalt, (3) das Volumen, (4) das Gewicht,
wenn es gegeben ist, dass ein Kubikmeter im Durchschnitt etwa 6000 Kilogramm wiegt.
Aufgabe 10. [Deadline wird bekanntgemacht; früher abgeben kann auch.] Schreibe in einem
Bericht von etwa 10 Zeilen, was du mit diesem Arbeitsblatt gelernt hat. VON JEDER PERSON
MUSS ICH DIES SEHEN!
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