Kapitel 1-3 - KIT - Fakultät für Mathematik

Vorkurs Mathematik
Vorbereitung auf das Studium der
Mathematik
Herbst 2011
Skript
Institut für Analysis
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
5
1 Aussagen und Mengen
1.1 Aussagen: Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Beispiele für Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 keine Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Schnitt- und Vereinigungsmenge, relatives Komplement . .
1.6.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Die Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Beispiel: Bedeutung der Reihenfolge der Quantoren
1.8 Verneinung (Negation) von Aussagen . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Rechenregeln für reelle Zahlen und Ordnungsrelationen . .
1.10.1 Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen . . . . .
1.10.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Potenzen, Logarithmus und Betrag
2.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Die q-te Wurzel . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Potenzen mit rationalem Exponenten
2.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
Inhaltsverzeichnis
2.2
2.3
2.1.5 Beispiel: Rationalmachen des Nenners .
Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Die Logarithmengesetze . . . . . . . .
2.2.2 Umrechenformel . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Beispiele zu den Logarithmengesetzen .
Der Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Auflösen von Betragsungleichungen . .
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3 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
3.1 in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen . . . .
3.2.1 Beispiel: Quadratisches Ergänzen . . . . . . .
3.2.2 Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen .
3.2.3 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 ...in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Das kartesische Produkt zweier Intervalle . . .
3.6.4 Einige Teilmengen des R2 . . . . . . . . . . .
3.6.5 Vertauschen von x und y . . . . . . . . . . . .
3.6.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index
4
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Einleitung
Dieser Kurs soll wichtige Bereiche Ihres Schulwissens möglichst konsistent aufbereiten.
Er richtet sich insbesondere an Studierende, die Unsicherheiten im Umgang mit dem
mathematischen Schulstoff haben, deren Mathematikunterricht länger zurückliegt oder
deren mathematischer Schulstoff nicht alle für das Studium notwendige Voraussetzungen
umfasste. Der Vorkurs muss sich auf das Notwendigste beschränken, soll Sie aber schon
vertraut machen mit der präzisen Darstellung mathematischer Sachverhalte, wie sie das
Studium vermitteln und verlangen wird.
Die dargestellten Inhalte sind vielerorts, sei es frei erhältlich im Internet, oder auf dem
Büchermarkt in guten Darstellungen zu finden. In diesen Kurs fließen aber die speziellen
Erfahrungen des Lehrbetriebes an der Karlsruher mathematischen Fakultät ein. Über
Jahre konnten wir gravierende Lücken vieler Studienanfänger im Umgang mit elementaren Rechentechniken und Definitionen, wie Rechnen mit Beträgen oder den sicheren
Umgang mit Ungleichungen beobachten. Wenn solche Lücken nicht aufgearbeitet werden,
kann daran leicht das erfolgreiche Studium scheitern. Auch beobachteten wir bei vielen
Studienanfängern und -anfängerinnen große Hemmungen, sich eigenständig an das Lösen
auch einfacherer Übungsaufgaben zu machen. Das ist aber unumgänglich um mit dem
Fortschreiten des Stoffes Schritt zu halten und nicht irgendwann abzuhängen“. Dieser
”
Vorkurs soll daher jedem Studienanfänger, jeder Studienanfängerin die Chance bieten,
im Studium von Anfang an alle Übungsangebote optimal für sich nutzen zu können und
damit die Grundlage für ein erfolgreiches Mathematik- oder Informatikstudium an der
Universität Karlsruhe bieten.
Auf dem Büchermarkt gibt es eine große Anzahl von mathematischen Einführungen und
Vorkursen. Das folgende Material wurde von einigen davon inspiriert.
[2]: Dieses Buch bietet eine sehr ausführliche Einführung in alle Grundlagen und Begriffe,
die für ein Studium der Mathematik oder Wirtschaftswissenschaften benötigt werden. Da
es sich an Studierende der Wirtschaftwissenschaften und Sozialwissenschaften richtet, ist
es für mathematisch interessierte Studienanfänger im Bereich Mathematik und Informatik bestimmt etwas zu ausführlich. Einige der Beispiele des vorliegenden Vorkursskripts
zu quadratischen Gleichungen und Ungleichungen wurden ihm entnommen.
[3]: Dieses Werk bietet eine knappe aber konsistente Einführung in die Bereiche Mengen,
Abbildungen, Rechenregeln für reelle Zahlen, Betrag, Intervalle, Summenzeichen. Die
5
Einleitung
Darstellung der Mengen N, Z, Q und R wird in diesem Buch sinngemäß übernommen,
wie auch einige Aufgaben.
[4]: Dieses Büchlein wird inzwischen leider nicht mehr aufgelegt. Gut verständliche
Einführungen, sinnvoller Aufbau und eine große Zahl von Aufgaben mit Lösungen machen ein Selbststudium gut möglich. Einige Beispiele in den Kapiteln 3, 4 und 5 sind ihm
entnommen. Zu bemerken wäre allenfalls, dass die Autoren gemäß ihrer Lehrtradition in
ihrer Darstellung der Funktionen nicht zwischen einer Funktion f und dem Funktionswert an einer Stelle f (x) unterscheiden. Da diese Unterscheidung im Studium in vielen
Vorlesungen aber getan wird, wird auch in diesem Vorkurs streng zwischen Funktion
und Funktionswerten unterschieden.
[1]: Diesem Buch, das auf anspruchsvolle Weise den Analysis-Stoff des Grundstudiums behandelt, habe ich sinngemäß das Kapitel 2 dieses Vorkurses (dort S. 4 ff) über
Prädikatenlogik und die Verwendung der Quantoren entlehnt. Die vielen Beispiele helfen,
abstrakte mathematische Definitionen, wie sie gleich zu Beginn des Studiums behandelt
werden, zu verstehen. Die oft verwendete Technik des Verneinens von verknüpften Aussagen wird anhand vieler Beispiele geübt.
Es handelt sich bei diesem Skriptum um eine überarbeitete Version eines Skriptes, daß
von Frau Dr. Johanna Dettweiler im Jahr 2009 für das Institut für Analysis erstellt
wurde.
Karlsruhe, im Herbst 2011
6
Alexander Ullmann
1 Aussagen und Mengen
Wenn man sich über Mathematik verständigen will, ist es unumgänglich zu verstehen,
was eine mathematische Aussage ist und wie sie verknüpft werden kann. Erst dann kann
man verstehen, was bspw. ein mathematischer Beweis ist. Daher fängt dieser Vorkurs mit
mathematischen Aussagen an und behandelt in Kürze, wie daraus durch verschiedene
Verknüpfungen neue Aussagen entstehen.
1.1 Aussagen: Definition
Eine Aussage im mathematischen Sinne ist eine Feststellung, deren Wahrheitsgehalt
stets mit wahr“ oder falsch“ angegeben werden kann.
”
”
1.1.1 Beispiele für Aussagen
• Dienstag ist ein Wochentag.
• Dienstag ist Montag.
• 2 ist eine gerade Zahl.
• 2=1
1.1.2 keine Aussagen
• Mathematik macht Spaß.
• x2 + 2x + 1.
• x2 + 1 = 0. (Was ist x?).
7
1 Aussagen und Mengen
1.2 logische Verknüpfungen
Folgende logische Verknüpfungen von Aussagen A, B werden wir verwenden:
Symbol
Bedeutung der Verknüpfung
1. Negation
¬A
nicht A
2. Konjunktion (und)
A∧B
A und B
3. Disjunktion (oder)
A∨B
A oder B
4. Implikation (Folgerung)
A⇒B
aus A folgt B
5. Äquivalenz (genau dann, wenn)
A⇔B
A und B sind äquivalent, d.h. es gilt
Bezeichnung
A ⇒ B und B ⇒ A
Sie werden definiert über Wahrheitstafeln (dabei steht w“ für wahr und f“ für falsch):
”
”
A
B
w
w
f
w
f
f
f
¬A A ∧ B
A∨B
A⇒B
A⇔B
w
w
w
w
f
f
w
f
f
w
w
f
w
w
f
f
w
f
f
w
w
Zwei zusammengesetzte Aussagen heißen tautologisch äquivalent, wenn Sie dieselben
Wahrheitstafeln besitzen, wir verwenden hierfür das Zeichen =||=. Zum Beispiel gelten
(Nachweis über Wahrheitstafeln):
1. ¬(A ∨ B) =||= ¬A ∧ ¬B ,
2. (A ⇒ B) =||= (¬A ∨ B),
3. ¬(A ⇒ B) =||= (A ∧ ¬B),
4. (A ⇒ B) =||= (¬B ⇒ ¬A), aber A ⇒ B ist nicht tautologisch äquivalent zu
B ⇒ A.
5. (A ⇐⇒ B) =||= A ⇒ B ∧ B ⇒ A
8
1.3 Mengen
Beispiele aus dem alltäglichen Sprachgebrauch (Achtung, hierbei handelt es sich streng
genommen nicht um Aussagen in unserem Sinn):
Zu 2. Die Aussage Wenn Du nicht aufräumst, dann bekommst Du Stubenarrest“ läßt
”
sich auffassen als Implikation A ⇒ B mit den Aussagen A : Du räumst nicht auf
und B : Du bekommst Stubenarrest. In der Tat ist diese Aussage auch umgangssprachlich gleichwertig mit Du räumst auf, oder Du bekommst Du Stubenarrest“,
”
also mit ¬A ∨ B.
Zu 3. Ebenso läßt sich die Aussage Wenn Du aufräumst, dann bekommst Du 10 Euro“
”
als Implikation A ⇒ B auffassen, dieses mal mit den Aussagen A : Du räumst
auf und B : Du bekommst 10 Euro. Diese Aussage ist offenbar falsch genau dann,
wenn sie eine Lüge“ ist, wenn der Angesprochene also aufräumt, aber keine 10
”
Euro bekommt, wenn also A wahr und B falsch ist, bzw. wenn A ∧ ¬B gilt.
Zu 4. Die Aussage Wenn es regnet, wird die Straße naß“ läßt sich als Implikation A ⇒ B
”
auffassen mit den Aussagen A : Es regnet und B : Die Straße wird naß. Wenn die
Straße also nicht naß wird, kann es nicht regnen, d.h. wir haben tautologische
Äquivalenz zur Aussage ¬B ⇒ ¬A, aber wenn die Straße (wie auch immer) naß
wird, können wird daraus nicht folgern, daß es auch regnet.
Man beachte:
• Das logische oder“ ist nicht-ausschließend, also nicht zu verwechseln mit entweder
”
”
... oder“.
• Ist A falsch, so ist die Implikation A ⇒ B stets wahr ( ex falso quodlibet“)! Zum
”
Beispiel gilt 1 < 0 ⇒ 2 = 3.
• Die Negation einer Implikation ist eine und“-Aussage, vgl. dazu auch Punkt 3.
”
oben und das zugehörige sprachliche Beispiel.
1.3 Mengen
Naiver“ Mengenbegriff nach Cantor: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimm”
ter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Ganzen. Für jedes Objekt muß eindeutig feststellbar sein, ob es zu der Menge gehört
oder nicht. Die zu einer Menge gehörenden Objekte heißen Elemente der Menge.
Mengen werden üblicherweise mit Großbuchstaben A, B, C, ... und ihre Elemente mit
kleinen Buchstaben a, b, c, ... bezeichnet.
Wir schreiben
a ∈ A für a ist Element von A“ und
”
a 6∈ A für a ist nicht Element von A“.
”
9
1 Aussagen und Mengen
1.4 Darstellung von Mengen
Elemente von Mengen werden durch geschweifte Klammern {...} zusammengefasst.
Dies geschieht entweder durch die aufzählende Darstellung, wie zum Beispiel:
die Menge A der Buchstaben des Namens Paula“, mit Unterscheidung großer und
”
kleiner Buchstaben:
A := {P, a, u, l, a} = {P, a, u, l}
= {l, P, u, a},
oder durch die beschreibende Darstellung {x|x hat die Eigenschaft E}, wie zum Beispiel:
B := {x|x ∈ A, x ist ein Großbuchstabe } = {P } oder
C := {x|x ist eine ungerade Zahl}.
Es bedeutet X := Y X sei definiert als Y “.
”
Ist für ein x aus einer Menge X die Eigenschaft E in Gestalt eines Ausdruckes
E(x) gegeben, so sind gleichbedeutend {x ∈ X| x hat die Eigenschaft E} sowie
{x ∈ X| E(x) ist wahr}, oder meist kurz {x ∈ X| E(x)}. Die so definierte Menge
ist dann eine Teilmenge von X (s.u.).
Man beachte: Eine bedingte (also teilweise) aufzählende Darstellung von unendlichen
Mengen mit Pünktchenschreibweise“ ist zwar oft intuitiv und auch anschaulicher, aber
”
niemals exakt. Definiert man zum Beispiel M := {1, 2, 4, 8, 16, . . .}, so suggeriert dies
zwar M = {n ∈ N | n = 2k für eine k ∈ N}, aber es könnte genauso gut sein
M = {1, 2, 4, 8, 16, 30, . . .} = {n ∈ N | n ist die Anzahl der Teiler von m! für ein m ∈ N}
1.5 Teilmengen
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element a aus A auch Element
von B ist.
Wir schreiben A ⊆ B. Oft findet man auch die Notation A ⊂ B. Zum Beispiel gilt
{1, 2} ⊆ {1, 3, 2}.
Insbesondere ist jede Menge Teilmenge von sich selbst: A ⊆ A.
Falls A keine Teilmenge von B ist, so schreiben wir A 6⊆ B.
Gilt A ⊆ B und B ⊆ A, so sind die Mengen gleich und wir schreiben A = B.
Ist A ⊆ B, so nennt man B auch Obermenge von A.
10
1.6 Schnitt- und Vereinigungsmenge, relatives Komplement
1.5.1 Leere Menge
Die Menge ∅, die kein Element besitzt, wird als leere Menge bezeichnet.
Achtung: Nicht zu verwechseln mit {∅} oder {0}; insbesondere ist {∅} =
6 ∅, aber ∅ ⊆ {∅}
und ∅ ∈ {∅} (Anschaulich: Ein Sack, in dem ein leerer Sack ist, ist selbst nicht leer).
1.6 Schnitt- und Vereinigungsmenge, relatives
Komplement
Seien A, B Mengen.
Die Schnittmenge A ∩ B von A und B wird definiert als
A ∩ B := {x|x ∈ A und x ∈ B}.
Die Vereinigungsmenge A ∪ B von A und B wird definiert als
A ∪ B := {x|x ∈ A oder x ∈ B}.
Als relatives Komplement von B in A definiert man A \ B := {x ∈ A|x 6∈ B}.
1.6.1 Beispiel
Mit A := {1, 2, 3} und B = {3, 4, 5} ist A ∩ B = {3} und A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} sowie
A\B = {1, 2}.
1.7 Die Quantoren
Die Quantoren ∃ und ∀ sind logische Zeichen, die der abkürzenden Schreibweise in der
Aussagenlogik dienen.
Sei X eine Menge und E eine Eigenschaft, durch die für jedes x ∈ X eine Aussage E(x)
gegeben ist. Wir schreiben in diesem Fall auch E(·), wobei der Punkt als Platzhalter für
ein einzusetzendes Element steht. Dann bedeuten:
∃x ∈ X : E(x) :
Es existiert ein x ∈ X so, daß E(x) wahr ist.“
(1.1)
”
bzw. Es existiert ein x ∈ X mit der Eigenschaft E.“
”
∀x ∈ X : E(x) :
Für alle x ∈ X gilt E(x).“
(1.2)
”
11
1 Aussagen und Mengen
1.7.1 Beispiel
Sei X die Menge der Teilnehmer dieses Vorkurses und E(x) die Aussage: x trägt eine
”
Brille.“
1. Dann bedeutet (1.1): Mindestens ein Teilnehmer trägt eine Brille.“ In welchen
”
Konstellationen ist diese Aussage wahr bzw. falsch? B
2. (1.2) bedeutet: Alle Teilnehmer tragen eine Brille.“
”
Diese Quantoren kann man auch iterativ verwenden: Seien X, Y Mengen und
X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
das sog. kartesische Produkt od. auch Kreuzprodukt von X und Y und E eine Eigenschaft
auf X × Y . Da man in diesem Fall zwei (möglicherweise) verschiedene Argumente für
die Eigenschaft E hat, schreibt man hier auch E(·, ··).
Dann bedeutet bspw.
∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : E(x, y)) : Es existiert ein x ∈ X so, daß für alle
”
y ∈ Y die Aussage E(x, y) gilt.“
(1.3)
1.7.2 Beispiel
Sei X := Y := R. F(x, y) sei die Aussage x · y = 0. Dann bedeutet (1.3): Es existiert
”
ein x ∈ R so, daß für alle y ∈ R x · y = 0 gilt.“
Ist diese Aussage wahr? Wenn ja, für welche x? B
1.7.3 Beispiel: Bedeutung der Reihenfolge der Quantoren
Die Reihenfolge der auftretenden Quantoren ist für die Bedeutung der formulierten Aussage entscheidend. Die Aussagen ∀x ∃y : E(x, y) und ∃y ∀x : E(x, y) haben eine unterschiedliche Bedeutung. So unterscheiden sich die Aussagen Alle Anwesenden haben
”
einen Schuh, der paßt.“ und Es gibt einen Schuh, der allen Anwesenden paßt.“ oder
”
auch die Aussagen ∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 und ∃y ∈ R ∀x ∈ R \ {0} : x · y = 1.
12
1.8 Verneinung (Negation) von Aussagen
1.8 Verneinung (Negation) von Aussagen
Oft gelingt es bei einfachen Aussagen, diese nach Gefühl“ zu verneinen. Bei Aussagen,
”
die selbst wieder Verknüpfungen anderer Aussagen sind, wird das jedoch immer unzuverlässiger. Es gibt aber eine ganz einfache Regel, wie das Negieren einer Aussage ganz
mechanisch“ zu bewerkstelligen ist:
”
• Behalte die Reihenfolge bei!
• Vertausche ∃ und ∀ sowie ∨ und ∧.
• Verneine alle auftretenden Aussagen.
Die folgende Zusammenstellung listet Negierungen typischer Aussagetypen auf. Seien
dabei A, B Aussagen, X, Y Mengen und E eine Eigenschaft.
1. ¬¬A := ¬(¬A) =||= A.
2. ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B).
3. ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B).
4. ¬(∀x ∈ X : E(x)) =||= (∃x ∈ X : ¬E(x)). Die Negation der Aussage Alle
”
Teilnehmer waren pünktlich da“ ist die Aussage Mindestens ein Teilnehmer war
”
unpünktlich“.
5. ¬(∃x ∈ X : E(x)) =||= (∀x ∈ X : ¬E(x)). Die Negation der Aussage Es gibt einen
”
Teilnehmer mit Brille“ ist Alle Teilnehmer tragen keine Brille“, was natürlich eher
”
als Kein Teilnehmer trägt eine Brille“ formuliert wird.
”
6. ¬ ∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : E(x, y)) =||= ∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : ¬E(x, y)) . Die Negation
der Aussage Jeder Teilnehmer findet mindestens einen Satz des bisherigen Stoffes
”
trivial“ ist die Aussage Es gibt einen Teilnehmer der alle bisherigen Sätze nicht”
trivial findet“
7. ¬ ∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : E(x, y)) =||= ∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : ¬E(x, y)) . Die Negation
der Aussage Es gibt einen Teilnehmer, der alle Anwesenden bereits kennt“ ist
”
Alle Teilnehmer kennen mindestens einen der Anwesenden nicht“.
”
1.8.1 Beispiel
Seien X, Y Mengen und F eine Eigenschaft auf X × Y , welche für alle (x, y) ∈ X × Y
eine Aussage F(x, y) definiert. Formulieren Sie mithilfe von Quantoren die Aussage Zu
”
jedem x ∈ X findet man genau ein y ∈ Y so, daß F(x, y) gilt.“. Bilden Sie zudem die
Negation dieser Aussage.
13
1 Aussagen und Mengen
1.9 Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R
Wir gehen an dieser Stelle davon aus, daß die grundlegenden Zahlenbereiche N, Z, Q, R
bekannt sind und werden daher nur unformal and die wesentlichen Eigenschaften erinnern. Im Rahmen von fortführenden Vorlesungen werden Sie zumindest teilweise auch
eine stringente Konstruktion dieser Zahlenbereiche und Herleitung der charakterisierenden Eigenschaften kennenlernen.
Die natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3, 4, . . .}: Es gibt eine kleinste natürliche Zahl,
und jede Zahl n hat einen Nachfolger n + 1; es gibt also keine größte natürliche Zahl.
In N sind die Rechenoperationen + und · uneingeschränkt ausführbar, d.h. für a, b ∈ N
gilt a + b, a · b ∈ N.
Die Frage, ob die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen gehört, ist nicht einheitlich geregelt, und hängt von der in der jeweiligen Veranstaltung bzw. vom Autor verwendeten
Konvention ab. In den Grundvorlesungen wird aber meist die hier vorgestellte Variante
gewählt, in der 0 keine natürlich Zahl ist, und man verwendet die zusätzliche Bezeichnung N0 := N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Die ganzen Zahlen Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}: In Z besitzt die Gleichung
x + b = a (a, b ∈ N, x unbekannt, a, b bekannt) in Z stets eine Lösung. Es gilt N ⊆ Z. In
Z gibt es im Gegensatz zu N keine kleinste Zahl. In Z sind die Rechenoperationen +, −
und · uneingeschränkt ausführbar.
o
n a
Die rationalen Zahlen
Q = x x = für ein a ∈ Z und ein b ∈ N : Zwischen
b
zwei rationalen Zahlen liegen stets noch (unendlich viele) andere rationale Zahlen. Es
gilt Z ⊆ Q. In Q sind die Rechenoperationen +, − und · sowie teilen durch Elemente
q ∈ Q\{0} uneingeschränkt ausführbar.
Die reellen Zahlen Es gibt keine Zahl q ∈ Q, für die gilt
q 2 = q · q = 2.
Also:
√
2 ist irrational“.
”
Beweis. Siehe Kapitel ??.
Jede rationale Zahl läßt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben und
umgekehrt stellt jede endliche oder periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl dar. In
diesem Kontext soll es genügen, sich unter der Menge R der reellen Zahlen alle möglichen
Dezimalzahlen vorzustellen, also endliche, periodische und nicht endliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Es gilt N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
14
1.10 Rechenregeln für reelle Zahlen und Ordnungsrelationen
1.9.1 Beispiel
1∈N
1, 17 ∈ Q
1
= 0.3333... ∈ Q ist periodisch, nicht endlich
3
√
2 = 1, 41421... ∈ R ist nicht periodisch, nicht endlich
π = 3.14159... ∈ R ist nicht periodisch, nicht endlich. Mit der Zahl π identifizieren wir
die Länge eines Halbkreisbogens mit dem Radius 1.
1.10 Rechenregeln für reelle Zahlen und
Ordnungsrelationen
Wir vereinbaren für x, y ∈ R:
x = y steht für x
”
x < y steht für x
”
x ≤ y steht für x
”
x > y steht für x
”
x ≥ y steht für x
”
ist gleich y“,
ist echt kleiner als y“,
ist kleiner oder gleich y“,
ist echt größer als y“,
ist größer oder gleich y“.
Man beachte: Nach Definition gilt x < y ⇒ x ≤ y für alle x, y ∈ R, aber im allgemeinen
gilt x ≤ y 6⇒ x < y!
Die reellen Zahlen können auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Jeder reellen
Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt. Für zwei beliebige reelle Zahlen x, y kann eindeutig entschieden werden, ob x < y, x = y oder x > y
gilt. Auf der Menge der reellen Zahlen ist also eine Ordnungsstruktur gegeben. Für diese
gelten folgende
1.10.1 Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen
Seien a, b, c ∈ R. Dann gilt
Aus a < b und b < c folgt a < c.
Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc
15
1 Aussagen und Mengen
Aus a < b und c < 0 folgt ac > bc
Aus a < b folgt a + c < b + c
ab > 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0)
ab < 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b < 0) oder (a < 0 und b > 0)
ab = 0 gilt genau dann, wenn (a = 0 oder b = 0)
Entsprechende Aussagen gelten auch für ≤ und ≥ anstelle von < bzw. >.
Für das Rechnen mit den reellen Zahlen gelten folgende
Rechenregeln
Kommutativgesetz der
Assoziativgesetz der
Addition
a+b=b+a
Multiplikation
ab = ba
Addition
(a + b) + c = a + (b + c)
Multiplikation
(ab)c = a(bc)
Distributivgesetz
a(b + c) = ab + ac
1. binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. binomische Formel
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3. binomische Formel
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Vorzeichenregeln
−(−a) = a
−(a + b) = −a − b
−(a − b) = −a + b
Die Regeln der Bruchrechnung werden als bekannt vorausgesetzt.
1.10.2 Beispiel
Lösen Sie die folgenden Ungleichungen und geben Sie die Lösungsmenge
L := {x ∈ R| Ungleichung bzw. Gleichung ist für x definiert und x erfüllt sie} an:
x − 2 > 2x − 1 B
2(x − 1) < 6(x + 53 ) B
16
1.11 Intervalle
1.11 Intervalle
Seien a, b ∈ R mit a ≤ b.
1.11.1 Definition
Das offene Intervall (a, b) ist die Menge
(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}.
Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist die Menge
[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}.
Die halboffenen Intervalle sind definiert als die Mengen
(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b},
[a, b) := {x ∈ R|a ≤ x < b}
Ist speziell a = b, so gelten [a, a] = {a}, bzw. [a, a) = (a, a] = (a, a) = ∅. Als Intervallgrenzen sind auch ±∞ zugelassen. Daraus ergeben sich fünf weitere unbeschränkte
Intervalltypen:
(−∞, a) := {x ∈ R|x < a}
(a, ∞) := {x ∈ R|x > a}
(−∞, ∞) := R
(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}
[a, ∞) := {x ∈ R|x ≥ a}
Der Schnitt zweier Intervalle ist stets ein Intervall (evtl. die leere Menge). Die Vereinigung zweier Intervalle kann ein Intervall sein, muß es aber nicht.
1.11.2 Beispiel
[3, 4] ∩ [1, ∞)=[3,4]
[−2, 0) ∩ (−1, 0] = (−1, 0)
[4, 7] ∩ [8, 9) = ∅
[7, 8] ∩ [8, 9) = [8, 8] = {8}
[4, 5) ∪ (−3, 1] ist kein Intervall
[4, 5] ∪ (−3, 4) = (−3, 5]
17
2 Potenzen, Logarithmus und Betrag
In den folgenden Kapiteln werden wir uns mit verschiedenen Rechenregeln und -methoden
beschäftigen, die Ihnen auch in der Schule bereits begegnet sein sollten. Bitte beachten
Sie in Hinblick auf Ihr bald beginnendes Studium der Mathematik folgende Punkte:
1. Die mathematischen Begriffe werden hier nicht ganz exakt, aber dafür in einem
Stil eingeführt, der Ihnen auch aus der Schule noch geläufig sein sollte. Tatsächlich
ist es ohne ausreichendes mathematisches Grundlagenwissen, wie Sie es in den
ersten Wochen des Studiums erlernen werden, zumeist gar nicht möglich, die hier
verwendetetn Begriffe exakt zu definieren. Beachten Sie aber, daß im Verlauf Ihres
Studiums natürlich die in den jeweiligen Vorlesungen angegebenen Definitionen
und Herleitungen relevant sind und nicht die – zuweilen unexakten – Begriffsbildungen aus der Schule oder diesem Vorkurs.
2. Bei dem hier präsentierten Stoff handelt es sich im wesentlichen um Rechentechniken, aber nicht um formale Beweise! Sie werden zu Beginn Ihres Studiums Aufgaben gestellt bekommen, die einigen dieser Rechenaufgaben sehr ähnlich sehen,
werden in dem Fall aber aufgefordert, einen formalen Beweis zu erstellen, der –
meist erheblich – von diesen Rechentechniken abweicht. Dennoch sind ausreichende Rechenfähigkeiten unerläßlich, um überhaupt auf Lösungen bzw. Aussagen zu
kommen, die man anschließend auch beweisen kann.
3. Wir verwenden keine Taschenrechner und – außer zu Übungs- und Anschauungszwecken – keine Computer-Algebra-Systeme (CAS). Bedenken Sie, daß Taschenrechner aufgrund des Problems endlichen Speichers so gut wie nie exakt rechnen können, da sie (fast) immer runden müssen. CAS sind hier im Vorteil, aber
natürlich ist es gerade ein Bestandteil des Mathematik-Grundstudiums, die Theorie zu erlernen, die diesen Systemen zugrunde liegt (Vgl.: Ein Kfz-Mechaniker ist
gerade jemand, der ein Auto nicht nur fahren können soll, sondern auch genau
wissen, wie es funktioniert).
18
2.1 Potenzen
2.1 Potenzen
2.1.1 Definition
Für Zahlen a ∈ R und m ∈ Z wird die m-te Potenz von a definiert als
am = 1,
am = a
| · a ·{z. . . · a},
falls m = 0
falls m > 0
m−mal
bzw.
am =
1
a−m
falls m < 0, a 6= 0.
,
Die Zahl a heißt Basis, m heißt Exponent.
Für alle a, b ∈ R \ {0} und n, m ∈ Z gelten die folgenden Potenzgesetze:
1. a0 = 1 und 00 = 1.
2. an · am = an+m
3.
an
am
= an−m
4. an · bn = (a · b)n
n
n
5. abn = ab
6. (am )n = am·n
2.1.2 Die q-te Wurzel
1
Für a ≥ 0 und q ∈ N ist a q die q-te Wurzel aus a,
1
aq =
√
q
a;
√
das ist die Zahl x ∈ R, x ≥ 0, für die xq√= a gilt.
Für ungerade q ∈ N ist q a auch für
√
a < 0 definiert, und √
in diesem Fall x = q a = − q −a die
Lösung der Gleichung xq = a.
√
Z.B. ist x = −2 = − 3 8 die Lösung von x3 = −8, also 3 −8 = −2.
19
2 Potenzen, Logarithmus und Betrag
2.1.3 Potenzen mit rationalem Exponenten
Für a ∈ R, a > 0, r ∈ Q mit r = pq , p ∈ Z, q ∈ N definieren wir die (gebrochene) Potenz
ar durch
1 p
p
r
q
a := a := a q
Auch für rationale Exponenten gelten die obigen Potenzgesetze (m und n können durch
r, s ∈ Q ersetzt werden). Dies läßt sich auf die Definition von Wurzeln sowie die bereits
formulierten Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten zurückführen, was wir hier nicht
beweisen wollen. Um die Definition von ar mathematisch sauber zu rechtfertigen, muß
0
man aber noch zeigen, daß die Potenz ar wohldefiniert ist, das heißt, ist r = pq = pq0 ,
liegen also zwei möglicherweise verschiedene Darstellungen der Zahl r ∈ Q vor, so ist
p0
p
dennoch a q = a q0 . Wir geben kurz an, wie man dies einsehen kann: Es sei r ∈ Q und
0
seien p, p0 ∈ Z und q, q 0 ∈ N mit r = pq = pq0 . Man kann zeigen, daß die Brüche dann
auseinander durch kürzen bzw. erweitern hervorgehen (dies wird in der Algebra mittels
Teilbarkeitstheorie gezeigt), daher können wir o.B.d.A.1 annehmen, daß ein m ∈ Z\{0}
existiert mit q 0 = mq und p0 = pm. Dann folgt
a
p0
q0
pm
p
= a qm = a qm
m
p
1
= (a q ) m
m
p
= aq ,
wobei wir in den letzten beiden Schritt bereits verwendet haben, daß auch für Wurzeln
und allgemein rationale Exponenten die Potenzgesetze gelten.
Der Anschauung halber formulieren wir hier einige mit der Wurzelschreibweise:
Seien a ≥ 0 und n, k ∈ N und m ∈ Z. Dann gelten die sogenannten Wurzelgesetze
√
√
√
√
1. n am = ( n a)m und n an = ( n a)n = a
√
√ √
2. n a · n b = n ab
√
p
na
n a
3. √
=
n
b
b
p
p√
√
√
4. n k a = nk a = k n a
Achtung: Wir haben für a > 0 den Ausdruck ax nur für rationales x definiert. Im
Rahmen der Vorlesung Analysis 1 werden Sie sehen, wie man die Definition auch auf
beliebige x ∈ R ausdehnen kann.
1
vgl. Lösungen zum 2. Arbeitsblatt
20
2.2 Der Logarithmus
2.1.4 Beispiele
√
√ 10
10
1024 = 210 = 10 2 = 2
√ √
√
√
6
=
4
9
=
4
·
9
=
36 = 6
q
√
√
64
64
√ =
= 16 = 4
4
4
p
p
√
√
√
2 3
3 2
6
64
=
64
=
64
p
p
√
√
√ =2
3
3
125 =
125 = 5
√
10
√
Man beachte, daß der Ausdruck 5 im letzten Beispiel bereits als Endergebnis angesehen wird, da mit diesem Symbol eine wohldefinierte reelle Zahl bezeichnet wird. Falls
zusätzlich (warum
auch immer) eine Dezimaldarstellung gewünscht wird, schreibt man
√
z.B. · · · = 5 ≈ 2, 2361. Achtung: die (zuweilen in der Schule verwendete) Notation
√
5 = 2, 2361 ist hingegen nicht zulässig! Gleichheit im mathematischen Sinn ist die
(abstrakte) Gleichheit zweier Objekte (vgl. Kapitel 1) und kann nicht durch irgendwelche Konventionen (wie Runden nach der vierten Nachkommastelle“) relativiert werden.
√
”
Selbst für einen Computer ist es unmöglich, eine exakte Dezimaldarstellung
der Zahl 5
√
anzugeben, da er nur endlichen Speicher besitzt, die Zahl 5 aber irrational ist.
2.1.5 Beispiel: Rationalmachen des Nenners
Treten Brüche mit irrationalen Nennern
m
erweitert man den Bruch mit a1− n .
√
n
m
am = a n , a > 0, n, m ∈ N, m < n, so
So ist:
√
3
1 22/3
1
4
√
=
·
=
3
1/3
2/3
2
2
2
2
Ist der Nenner der Gestalt
√
√
√
√
a ± b mit a 6= b, so wird der Bruch mit a ∓ b erweitert.
So ist:
√
√
√
√
√
1
2− 3
2− 3 √
1
√
√ =√
√ ·√
√ =
= 3− 2
2−3
2+ 3
2+ 3
2− 3
2.2 Der Logarithmus
Unter dem Logarithmus c einer positiven reellen Zahl a zur positiven reellen Basis b 6= 1
c = logb a,
a > 0,
b > 0,
b 6= 1
21
2 Potenzen, Logarithmus und Betrag
versteht man diejenige reelle Zahl c, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zu
erhalten. Es ist also die Gleichung
bc = a,
a > 0,
b > 0,
b 6= 1
mit der ersten Gleichung gleichwertig. Man schreibt auch log a anstelle logb a, falls man
die Basis nicht festlegen will.
Achtung: Es handelt sich hierbei um die übliche Definition für Logarithmen, die Ihnen
auch aus der Schule geläufig sein sollte. Man beachte, daß diese Definition in sofern problematisch ist, daß – wie oben bereits erwähnt – der Ausdruck bc für irrationales c ∈ R\Q
noch gar nicht korrekt definiert ist. Wir werden dies jedoch zunächst stillschweigend
hinnehmen, in unseren konkreten Rechenbeispielen werden wir nur Ausdrücke bc mit rationalem c behandeln, bzw. es ist stets sichergestellt, daß die aufretenden Logarithmen
rational sind.
Eine besondere Rolle spielt die sog. Eulersche Zahl e. Für die Basis e = 2, 71828...
(exakte Definition der Zahl e in der Vorlesung Analysis 1) verwendet man das Symbol
ln a = loge a.
für den natürlichen Logarithmus. Wegen seiner herausragenden Rolle wird in der Mathematik der natürliche Logarithmus ln oft einfach als der Logarithmus bezeichnet, und
man schreibt üblicherweise einfach log für den Logarithmus anstelle von ln.
Es gilt insbesondere
a = blogb a und ac = ec ln a für alle a, b > 0, b 6= 1, c ∈ Q,
und es gilt immer
logb 1 = 0,
logb b = 1 für alle b > 0, b 6= 1.
2.2.1 Die Logarithmengesetze
Sei b > 0 mit b 6= 1.
1. logb (x · y) = logb x + logb y, x > 0, y > 0;
x
2. logb = logb x − logb y, x > 0, y > 0;
y
3. logb (xy ) = y · logb x, x > 0;
√
1
4. logb y x = logb x, x > 0, y ∈ N.
y
Wegen logb a = logb dlogd a = (logd a)(logb d) gilt die
22
2.3 Der Betrag
2.2.2 Umrechenformel
logd a =
logb a
,
logb d
für alle a, b, d > 0 mit b, d 6= 0.
2.2.3 Beispiele
1. 2x = 16 ⇔ x = 4
5.
log5 125 = x ⇔ x = 3
1
9
6.
log 1
7.
log3 x = 5 ⇔ x = 243
8.
log2 x = −5 ⇔ x =
2. 3x =
⇔ x = −2
3.
logx 36 = 2 ⇔ x = 6
4.
logx
1
64
= −6 ⇔ x = 2
2
1
16
=x⇔x=4
1
32
2.2.4 Beispiele zu den Logarithmengesetzen
1.
2.
3.
log(32) + log(4) + log(18) + log(81)
√
2 a + ba3 b2
log √
B
3
c(a + c)2
log(a + b) + 2 log(a − b) −
B
1
log(a2 − b2 )
2
B
2.3 Der Betrag
Sei a ∈ R; dann wird der Betrag |a| von a definiert als
(
a
für a ≥ 0
|a| :=
.
−a für a < 0
2.3.1 Beispiel
| − 3| = −(−3) = 3, da − 3 < 0;
|3| = 3, da 3 > 0;
|0| = 0.
Der Abstand zweier beliebiger Zahlen a, b kann mit Hilfe des Betrages als Betrag der
Differenz |a − b| definiert werden.
Es gilt für a, b ∈ R:
23
2 Potenzen, Logarithmus und Betrag
|a| ≥ 0, und |a| = 0 genau dann, wenn a = 0,
|a · b| = |a| · |b|,
|a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung).
Für a ∈ R gilt
√
|a| = a2 .
2.3.2 Beispiel
Geben Sie alle a ∈ R an, für die folgenden Aussagen zutreffen:
1. a2 = 4
2. a2 > 3
B
2.3.3 Auflösen von Betragsungleichungen
Sei ε > 0. Geben Sie die Menge aller x ∈ R an, für die folgenden Ungleichungen erfüllt
sind.
1. |x| ≤ ε
2. |x − 2| < ε
24
B
3 Lösen von Gleichungen und
Ungleichungen
3.1 in einer Variablen
Unter der Definitionsmenge D einer Gleichung bzw. Ungleichung in x ∈ R verstehen
wir die Menge aller x ∈ R, für die die Gleichung bzw. Ungleichung definiert ist. Die
Lösungsmenge L (siehe Beispiel 1.10.2.1) ist dann eine Teilmenge der Definitionsmenge.
Oft ist offensichtlich D = R und braucht nicht angegeben zu werden. Für die Ungleichung
1
> 1 hingegen ist D = R \ {0} und L = (0, 1). Auch gibt es weitere Möglichkeiten, die
x
Definitionsmenge korrekt anzugeben (siehe Abschnitt Bruchungleichungen)!
3.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen
3.2.1 Beispiel: Quadratisches Ergänzen
Das quadratische Ergänzen ist eine Technik zum Ermitteln von Nullstellen quadratischer
Gleichungen. Zunächst werden die Terme in x2 und x durch eine binomische Formel
ausgedrückt: das geht immer! Dann ist i.A. ein Korrekturterm notwendig um den xfreien Teil des binomischen Terms zu neutralisieren.
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung x2 − x − 6 = 0.
1
1
1
25
x2 − x − 6 = (x − )2 − ( )2 − 6 = (x − )2 −
2
2
2
4
25
3 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
also gilt
x2 − x − 6 = 0
1
25
⇔(x − )2 =
2
r4
1
25
⇔x − = ±
2
4
1 5
⇔x = ±
2 2
⇔x = −2 ∨ x = 3
3.2.2 Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen
Quadratische Ungleichungen können stets auf die Form
≥
x2 + px + q ≤ 0,
>
bzw. <
für p, q ∈ R gebracht werden.
Die Lösungsmenge L ist entweder leer, ein Intervall, oder Vereinigung zweier Intervalle. Zunächst muss die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0
bestimmt werden. Dies geschieht z.B. mit der oben ausgeführten Technik des quadratischen Ergänzens.
Bild 1
Bild 2
Bild 3
3.2.3 Beispiel 1
Zeigen Sie, daß für alle x ∈ R die Ungleichung x2 − 2x + 3 > 0 erfüllt ist.
x2 − 2x + 3 = (x − 1)2 − 1 + 3 = (x − 1)2 + 2 > 0.
26
3.3 Wurzelgleichungen
Da die letzte Ungleichung offensichtlich für alle x ∈ R wahr ist, haben wir die Behauptung bewiesen.
3.2.4 Beispiel 2
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x2 − x − 6 > 0.
1.Weg: über die Faktorisierung.
Aus 3.2.1 kennen wir die beiden Nullstellen x1 = −2 und x2 = 3 von x2 − x − 6. Also
gilt die Identität
x2 − x − 6 = (x + 2)(x − 3) .
Bekanntlich ist dieses Produkt genau dann größer Null, wenn (x + 2 > 0 und x − 3 > 0)
oder (x + 2 < 0 und x − 3 < 0) erfüllt ist.
Es gilt
x+2>0 ∧ x−3>0
⇔
x > −2 ∧ x > 3
⇔ x ∈ (3, ∞)
und
x+2<0 ∧ x−3<0
⇔
x < −2 ∧ x < 3
⇔ x ∈ (−∞, −2) .
Die Lösungsmenge ist also die Menge L = (−∞, −2) ∪ (3, ∞).
2.Weg: über die Anschauung.
Wie in Bild 1 dargestellt, ist das Schaubild von x2 −x−6 eine nach oben geöffnete Parabel,
welche die x-Achse in den Punkten −2 und 3 schneidet. Gesucht ist nun die Menge aller
x ∈ R an welchen die Parabel (echt) oberhalb der x-Achse liegt. Das entspricht in Bild 1
der gestrichelten Menge. Man sieht also L = (−∞, −2) ∪ (3, ∞).
3.3 Wurzelgleichungen
Diese löst man durch wiederholtes Auflösen solcher Gleichungen nach einer Wurzel und
anschließendem Potenzieren. Das führt auf eine rationale Gleichung in x, d.h. einer
Gleichung in der nur noch ganzzahlige Exponenten von x auftauchen.
27
3 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
Achtung: Nicht alle Lösungen der resultierenden rationalen Gleichung sind Lösungen der
Wurzelgleichung. Jedoch kann es außer den Lösungen der rationalen Gleichung keine
weiteren geben. Durch Einsetzen dieser Lösungen in die Ursprungsgleichung erhält man
die Lösungsmenge.
3.3.1 Beispiel 1
√
7 + 3 2x + 4 = 16 (∗)
√
⇔
3 2x + 4 = 9
√
⇔
2x + 4 = 3
⇒
2x + 4 = 9
⇔
x =
Einsetzen von x =
5
2
5
2
zeigt: x =
5
2
löst (∗). Damit ist L =
5
.
2
3.3.2 Beispiel 2
√
x− x−1
√
√
⇒
( x − x − 1)2
√ √
⇔ x − 2 x x − 1 + (x − 1)
p
⇔
2 x(x − 1)
√
⇔
Probe:
=
√
2x − 1 (∗∗)
= 2x − 1
= 2x − 1
=0
(x = 1) ∨ (x = 0)
x = 1:
1 − 0 = 1 stimmt!
x = 0:
die rechte Seite von (∗∗) ist für x = 0 nicht definiert.
Also ist L = {1}.
3.4 Bruchungleichungen
Zunächst bestimmt man D, indem man alle x ausschließt, für die die auftretenden Nenner Null werden. Das Multiplizieren mit dem Nenner führt zu Fallunterscheidungen,
abhängig vom Vorzeichen des Nenners.
28
3.4 Bruchungleichungen
Gesucht sei die Lösungsmenge L folgender Ungleichung.
2x + 1
<1
x−3
(3.1)
Sei x 6= 3. Wir unterscheiden die Fälle:
Fall 1 x − 3 > 0, also x > 3: Dann gilt
2x+1
x−3
< 1
⇔ 2x + 1 < x − 3
⇔
x < −4
Bezeichnen wir die Lösungsmenge in diesem Fall mit L1 , so gilt L1 = (3, ∞) ∩
(−∞, −4) = ∅.
Fall 2 x − 3 < 0, also x < 3: Dann gilt
2x+1
x−3
< 1
⇔ 2x + 1 > x − 3
⇔
x > −4
Für die Lösungsmenge dieses Falles gilt L2 = (−∞, 3) ∩ (−4, ∞) = (−4, 3)
Für die Gesamtlösungsmenge L gilt nun L = L1 ∪ L2 = (−4, 3).
Bild 3.A
29
3 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
3.5 Betragsungleichungen
|2x + 1|
≤1
(∗)
x−3
Bestimmen Sie D und L.
Sei x 6= 3.
Fall 1: x > 3:
(∗)
⇔ |2x + 1|
≤
x−3
⇔ 2x + 1
≤
x−3
⇔ x
≤
−4
Analog zu 3.4 Fall 1 ist hier L1 = ∅.
Fall 2: x < 3:
(∗)
⇔ |2x + 1|
≥
x−3
(∗∗)
Fall 2a: x ≥ −1/2 (also 2x + 1 ≥ 0). Wir suchen jetzt also die x ∈ [−1/2, 3), die (∗∗)
erfüllen.
(∗∗)
⇔ 2x + 1
≥
x−3
⇔ x
≥
−4
Also ist L2a = [−1/2, 3) ∩ [−4, ∞) = [−1/2, 3).
Fall 2b: x < −1/2 (also 2x + 1 < 0).
(∗∗)
⇔ −(2x + 1)
≥
x−3
⇔ −3x
≥
−2
⇔ x
≤
2/3
Also ist L2b = (−∞, 3) ∩ (−∞, −1/2) ∩ (−∞, 2/3) = (−∞, −1/2).
Insgesamt ist L = L1 ∪ L2a ∪ L2b = (−∞, 3).
Man kann den zweiten Fall auch deutlich abkürzen: Wegen x < 3 gilt |2x+1| ≥ 0 > x−3,
und wegen (∗) ⇔ |2x + 1| ≥ x − 3 ist daher in diesem Fall die Ungleichung (∗) stets
erfüllt.
30
3.6 ...in zwei Variablen
3.6 Gleichungen und Ungleichungen in zwei Variablen
3.6.1 Kartesisches Produkt
Seien A, B Mengen. Das kartesische Produkt auch Kreuzprodukt A × B der Mengen A
und B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) von Elementen a ∈ A und b ∈ B
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.
3.6.2 R2
Das kartesische Produkt R2 := R × R ist die Menge aller geordneten Paare (x, y) von
Elementen x, y ∈ R. Wir können uns R2 durch ein Koordinatensystem in der Ebene
veranschaulichen.
3.6.3 Das kartesische Produkt zweier Intervalle
Das kartesische Produkt zweier Intervalle läßt sich folgendermaßen darstellen:
Das kartesische Produkt A × B der Intervalle A = [1, 4] und
B = [1, 2] im Koordinatensystem.
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3 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
Andere Beispiele lassen sich nicht als kartesische Produkte darstellen:
3.6.4 Einige Teilmengen des R2
1. S := {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}
2. K := {(x, y)|x2 + y 2 = 1}
3. R := {(x, y)||x| + |y| ≤ 1}
4. T := {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, x2 − y 2 > 0}
3.6.5 Vertauschen von x und y
Vergleichen Sie die beiden Mengen
A := {(x, y)|(y − 1)2 + x2 ≤ 1, x ≥ 0}
und
B := {(x, y)|(x − 1)2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}
32
3.6 ...in zwei Variablen
B entsteht durch Spiegelung von A
an der Achse x = y.
3.6.6 Beispiel
Ermitteln Sie die Lösungsmenge L in R2 , deren Elemente die folgende Ungleichung
erfüllen
2x − |y − 1| < 1
Hier lösen Sie wie gewohnt die Betragsstriche auf und lösen dann die Ungleichungen
nach y auf:
Fall 1: y ≥ 1, dh. |y − 1| = y − 1.
2x − |y − 1| < 1
⇔ 2x − (y − 1) < 1
⇔
⇔
−y < −2x
y > 2x
Also ist L1 := {(x, y)|y ≥ 1, y > 2x} Teilmenge von L.
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3 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
Fall 2: y < 1, dh. |y − 1| = 1 − y.
2x − |y − 1| < 1
⇔ 2x − (1 − y) < 1
⇔
y < 2 − 2x
Insgesamt ist also L = L1 ∪ L2 mit L2 := {(x, y)|y < 1, y < 2 − 2x}.
Skizzieren Sie die Lösungsmenge! B
Bemerkung: Bei diesem Beispiel könnte man auch obige Überlegung über das Vertau”
schen“ von x und y anwenden:
Es gilt (nachrechnen): 2x − |y − 1| < 1 ⇔ x < 21 + 12 |y − 1|. Vertauschen wir hier x
und y, so erhalten wir y < 12 + 12 |x − 1|. Die zugehörige Lösungsmenge lässt sich dann
folgendermaßen skizzieren.
Spiegeln an der Geraden x = y liefert dann die Skizze der ursprünglich gesuchten Menge.
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Literaturverzeichnis
[1] H. Amann und J. Escher Analysis I, Birkhäuser, Basel, 2006
[2] E. Cramer und J. Nešlehová, Vorkurs Mathematik. Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen., EMIL@A-stat, Springer, 2008
[3] R. Janßen und K. Benecke, Studienvorbereitung: Mathematik in den Naturwissenschaften -Teil 1-, Oldenburg, 1996
[4] W. Schäfer und K. Georgi, Vorbereitung auf das Hochschulstudium, BSB B. Teubner Verlagsgesellschaft, 1985
35
Index
<, 15
=, 15
>, 15
A \ B, 11
D, 25
L, 16
⇔, 8
N, 14
Q, 14
R2 , 31
⇒, 8
Z, 14
∅, 11
≥, 15
∈, 9
≤, 15
logb a, ln, 21
¬, 8
π, 15
⊆, 10
∨, 8
∧, 8
Aussage, 7
Element einer Menge, 9
Exponent, 19
Fallunterscheidungen, 28
ganze Zahlen, 14
Intervall, 17
abgeschlossenes, 17
offenes, 17
kartesisches Produkt, 12, 31
Kreuzprodukt, 12
Lösungsmenge, 16, 25
leere Menge, 11
Logarithmengesetze, 22
Logarithmus
Basis, 21
Logharithmus, 21
logische Verknüpfungen, 8
Menge, 9
natürliche Zahlen, 14
Negation, 13
Basis, 19, 21
Betragsungleichungen, 30
binomische Formeln, 16
Bogenlänge des Einheitskreises, 15
Bruchrechnung, 16
Bruchungleichungen, 28
Obermenge, 10
Definitionsmenge, 25
quadratische Gleichungen, 25
quadratische Ungleichungen, 25
quadratisches Ergänzen, 25
Eigenschaft, 10, 11
36
Parabel, 26, 27
Potenz, 19
gebrochene, 20
Potenzgesetze, 19
Index
Quantoren, 11
rationale Gleichung, 27
rationale Zahlen, 14
reelle Zahlen
Rechenregeln, 16
relatives Komplement, 11
Schnittmenge, 11
Teilmenge, 10
Umrechenformel, 22
Ungleichungen, 25
Regeln, 15
Vereinigungsmenge, 11
Verneinung, 13
Wurzel, 19
q-te, 19
Wurzelgesetze, 20
Wurzelgleichungen, 27
37