2. Leseprobe - STARK Verlag

NRW: Zentrale Prüfung 2016 Mathematik – Lösungen r 2016-1
Zentrale Prüfung 2016
r Hinweise und Tipps
Prüfungsteil 1
Aufgabe 1
Mögliche Nebenrechnungen:
1
6
1
− = − 0,3; 0, 4;
= 0, 6; − = − 0, 25
3
10
4
Beachte die negativen Vorzeichen. Veranschauliche
die Zahlen zur besseren Vorstellung ggf. auf einer
Zahlengeraden.
1
1
6
Lösung: − < − < 0, 4 <
3
4
10
Aufgabe 2
a) Gegeben: Radius: r = 6 cm
Mantellinie: s = 15,2 cm
Die Oberfläche eines Kegels besteht aus der kreisförmigen Grundfläche G und der Mantelfläche M.
Gesucht: Oberfläche des Kegels: O
Rechnung:
O=G+M
O = π ⋅ r2 + π ⋅ r ⋅ s
O = π ⋅ (6 cm)2 + π ⋅ 6 cm ⋅ 15,2 cm
O ≈ 399,61 cm2
b) Für das Volumen eines Kegels mit Radius r gilt:
1
V = ⋅ π⋅ r2 ⋅ h
3
Wenn man den Radius r verdoppelt, erhält man folgendes
Volumen Vneu für den neuen Radius rneu = 2r:
1
Vneu = ⋅ π ⋅ rneu 2 ⋅ h
3
1
Vneu = ⋅ π ⋅ (2r) 2 ⋅ h
3
1
Vneu = ⋅ π ⋅ 4r 2 ⋅ h
3
1
Vneu = 4 ⋅ ⎛⎜ ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ h ⎞⎟
⎝3
⎠
Vneu = 4 ⋅ V
Wenn man den Radius r verdoppelt, dann vervierfacht sich das
Volumen. Sebastians Behauptung ist also falsch.
Alternative Lösungsmöglichkeit:
Gegeben: Radius: r = 6 cm; rneu = 2r = 12 cm
Kegelhöhe: h = 14 cm
Gesucht: Volumen des alten und neuen Kegels: V; Vneu
Rechnung:
1
V = ⋅ π⋅ r2 ⋅ h
3
1
V = ⋅ π ⋅ (6 cm) 2 ⋅14 cm
3
V = 168π cm 3
Alternativ kann auch O = π ⋅ r ⋅ (r + s) verwendet
werden.
Stelle zunächst eine Formel für das Volumen V eines
Kegels mit Radius r auf. Bestimme dann das Volumen
Vneu für einen Kegel mit Radius rneu = 2 ⋅ r und vergleiche Vneu mit V.
Berechne das Volumen des Kegels und das Volumen
des Kegels mit verdoppeltem Radius und vergleiche.
2016-2 r NRW: Zentrale Prüfung 2016 Mathematik – Lösungen
r Hinweise und Tipps
1
⋅ π ⋅ rneu 2 ⋅ h
3
1
Vneu = ⋅ π ⋅ (12 cm) 2 ⋅14 cm
3
Vneu = 672π cm 3
Vneu =
Es gilt:
2 ⋅ V = 2 ⋅168π cm 3 = 336π cm 3 ≠ Vneu = 672π cm 3
Wenn man den Radius verdoppelt, dann verdoppelt sich das
Volumen des Kegels nicht. Sebastians Behauptung ist also falsch.
Aufgabe 3
a) = C7 * B4 / 100 oder: = B10 * B4 / 100
Verwende die Information in Zelle A4, um eine
Formel aufzustellen, die auf die Zellen C7 und B4
verweist (alternativ: Zellen B10 und B4).
b) Gegeben: Schuld zu Beginn des 3. Jahres: K = 2 091,04 e
Zinssatz: p % = 3,62 %
Rate: T = 555,00 e
Gesucht: Restschuld am Ende des 3. Jahres: R
Rechnung:
Berechnung der Zinsen Z im 3. Jahr:
K⋅p
Z=
100
2 091, 04 e ⋅ 3, 62
Z=
100
Z ≈ 75, 70 e
Berechnung der Restschuld am Ende des 3. Jahres:
R=K+Z–T
R = 2 091,04 e + 75,70 e – 555,00 e
R = 1 611,74 e
Beachte: Die Schuld zu Beginn des 3. Jahres entspricht der Restschuld am Ende des 2. Jahres.
Berechne zunächst die anfallenden Zinsen im 3. Jahr.
Die Restschuld am Ende des 3. Jahres entspricht dann
der Schuld zu Beginn des 3. Jahres plus Zinsen minus
der Rate.
Am Ende des 3. Jahres beträgt die Restschuld noch 1 611,74 e.
Aufgabe 4
12x − 5 = 3x + 13
9x − 5 = 13
9x = 18
x=2
⏐− 3x
⏐+ 5
⏐: 9
Bringe alle Terme mit x auf eine Seite, alle Zahlen auf
die andere Seite. Löse dann nach x auf.
Aufgabe 5
a) Gegeben: Grundwert: G = 125 g
Prozentsatz: p % = 20 %
Gesucht: Prozentwert: P; Plätzchengewicht im Sonderangebot
Rechnung:
G ⋅ p 125 g ⋅ 20
P=
=
= 25 g
100
100
Berechnung des Plätzchengewichts im Sonderangebot:
G + P = 125 g + 25 g = 150 g
Die Menge im Sonderangebot setzt sich aus dem
Grundwert und dem Prozentwert zusammen.
NRW: Zentrale Prüfung 2016 Mathematik – Lösungen r 2016-3
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b) Gegeben: Preis der Plätzchentüte mit 125 g: 1,49 e
Preis der Plätzchentüte mit 150 g: 1,89 e
Gesucht: Preisvergleich: Normalpreis – Sonderangebot
Rechnung:
Preisvergleich bei gleicher Menge (Preis für 150 g Plätzchen
ausgehend vom Normalpreis):
Berechne entweder den Preis beider Tüten bei gleicher Menge oder das Gewicht beider Tüten bei gleichem Preis.
Antwort: Bei gleicher Menge ist der Normalpreis günstiger, also
ist das Sonderangebot im Vergleich zu vorher teurer.
Alternative Lösungsmöglichkeit:
Mengenvergleich bei gleichem Endpreis (Menge Plätzchen für
1,89 e ausgehend vom Normalpreis):
Antwort: Bei gleichem Endpreis bekommt man zum Normalpreis
mehr Plätzchen, also ist das Sonderangebot im Vergleich zu vorher teurer.
Aufgabe 6
In der obersten Lage befinden sich etwa 30 Kugeln, vier Lagen sind
bereits vorhanden. Es ist Platz für ca. 12 Lagen, also haben ca. 360
Kugeln Platz in dieser zylindrischen Tasse.
Bei Schätzaufgaben geht man von einer sinnvollen
Annahme aus. Die geschätzte Kugelzahl kann je nach
Annahme durchaus um einige Kugeln abweichen.
2016-4 r NRW: Zentrale Prüfung 2016 Mathematik – Lösungen
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Prüfungsteil 2
Aufgabe 1: Wurfparabel
a) Gegeben: Abstand Ring – Rückwandunterkante: h1 = 0,10 m
Abstand Boden – Rückwandoberkante: h2 = 3,95 m
Rückwandhöhe: h3 = 1,05 m
Gesucht: Abstand Boden – Korbring: h
Fertige eine Skizze mit den relevanten Maßen an.
Skizze:
Rechnung:
h = h1 + h4
h = h1 + h2 – h3
h = 0,10 m + 3,95 m – 1,05 m
h = 3,00 m
b) Die Abwurfhöhe entspricht dem Schnittpunkt der Parabel mit der
y-Achse. Dort gilt x = 0:
⏐x = 0
f(x) = – 0,4x2 + 1,7x + 1,9
f(0) = – 0,4 ⋅ 02 + 1,7 ⋅ 0 + 1,9
f(0) = 1,9
Antwort: Antje wirft den Ball aus einer Höhe von 1,9 m ab.
c) Umwandlung der Gleichung von der allgemeinen quadratischen
Form in die Scheitelform:
⏐− 0, 4 ausklammern
f (x) = − 0, 4x 2 + 1, 7x + 1,9
⏐quadr. Ergänzung
f (x) = − 0, 4(x 2 − 4, 25x − 4, 75)
2
2
2
f (x) = − 0, 4(x − 4, 25x + 2,125 − 2,125 − 4, 75)
f (x) = − 0, 4((x − 2,125) 2 − 2,125 2 − 4, 75)
f (x) = − 0, 4((x − 2,125) 2 − 4,515625 − 4, 75)
f (x) = − 0, 4((x − 2,125) 2 − 9, 265625)
f (x) = − 0, 4(x − 2,125) 2 + 3, 70625
⇒ S(2,125 | 3, 70625)
Antwort: Die maximale Höhe des Balls entspricht der y-Koordinate des Scheitelpunktes, also etwa 3,71 m.
Alternative Lösungsmöglichkeit:
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
f(x) = ax2 + bx + c
Der höchste Punkt einer Parabel ist der Scheitelpunkt.
Die Funktionsgleichung der Wurfparabel ist in der allgemeinen quadratischen Form angegeben. Wandle
diese in die Scheitelform um, um die Scheitelkoordinaten ablesen zu können. Beachte dabei den Faktor
– 0,4 vor dem x2!
Alternativ: Löse mithilfe der Scheitelkoordinaten einer allgemeinen quadratischen Funktion.