Ma 11b (CON) Aufgabenblatt Stereometrie (2) 2015/2016 14. Ein

Ma 11b (CON)
Aufgabenblatt Stereometrie (2)
2015/2016
14. Ein schiefes dreiseitiges Prisma hat die Höhe 12,5 cm. Die beiden Dreiecksflächen haben die Seitenlängen
a = 13 cm, b = 14,4 cm und c = 16 cm. Jede Verbindungskante zwischen der Grund- und Deckfläche ist 14 cm
lang. Berechnen Sie die Grundfläche und das Volumen! (G88,6cm², V1107,9cm³)
Welche Schwierigkeiten ergeben sich bei der Berechnung der Mantelfläche?
15. Bei einem schiefen quadratischen Prisma (Grundkante: 5 cm) bilden die Seitenkanten einen Winkel von 70°
(bzw. 110°) mit einer Grundkante und haben eine Länge von 10 cm. Berechnen Sie das Volumen und die
Oberfläche des Prismas. Fertigen Sie auch eine geeignete Skizze (Schrägbild) an. (V220cm³, O237,9cm²)
16. Eine Pyramide besitzt eine rechteckige Grundfläche (a = 6 cm, b = 8 cm) und ist 10 cm hoch.
a) Berechnen Sie Volumen und Oberfläche. (siehe Aufgabe Nr. 3)
Die Pyramide wird halbiert. Die Schnittfläche verläuft senkrecht zur Grundfläche
b) entlang einer Diagonalen der Grundfläche.
c) entlang der Mittelsenkrechten der Seite a.
d) entlang der Mittelsenkrechten der Seite b.
Berechnen Sie jeweils die Mantelfläche einer Teilpyramide.
Fertigen Sie auch geeignete Skizzen an.
17. Ein Würfel lässt sich in drei kongruente Pyramiden zerlegen.
Zeichen Sie diese Zerlegung möglichst anschaulich.
18. Ein Din-A4-Blatt kann auf zwei Arten zu einem Zylinder gebogen werden. Berechnen Sie das Verhältnis
zwischen den Volumen und Mänteln und stellen Sie die Situation anschaulich (und maßstabsgerecht) dar.
19. Eine einfache zylindrische Blumenvase ist insgesamt 30 cm hoch. Ihr Innenradius beträgt 3,6 cm, ihr
Außenradius 4,2 cm. Der Boden ist 1 cm dick.
a) Wie viel Wasser passt in die Vase?
b) Welche Masse besitzt die Vase? (Dichte von Glas: 2,2 g pro cm³)
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20. a) Ein Tetraeder besitzt das Volumen 1 Liter. Wie groß ist seine Oberfläche?
b) Ein Tetraeder hat eine Oberfläche von 100 cm². Wie groß ist sein Rauminhalt?
Tetraeder:
Alle Kanten sind gleich lang.
Alle Außenflächen haben gleichen Flächeninhalt.
Ein Tetraeder ist eine Dreieckspyramide mit gleichseitigem Dreieck als
Grundfläche.
Berechnung der Dreiecksflächen (gleichseitige Dreiecke) und der Oberfläche:

(Dreiecksflächen, auch Grundfläche)
Berechnung der Tetraederhöhe sowie des Volumens:
Für die Höhe gilt (Pythagoras)

Lösung zu a)
⇨
⇨
Einsetzen in Oberflächenformel:
Lösung zu b)
⇨
⇨
Einsetzen in Volumenformel:
21.
Bei einem Kegel ist die Mantelfläche doppelt so groß
wie seine Grundfläche. Das Volumen beträgt 100 dm³.
Wie hoch ist der Kegel?
Kegelformeln:
M = rs
r: Radius des Grundkreises, s: Länge der Seitenkante
G = r²
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Idee: Zusammenhänge „finden“ und in entsprechende Formeln einsetzen

Zusammenhang von s, h und r (Pythagoras):

M = 2G ⇨ rs = 2  r² ⇨ s = 2r

Nun h in Abhängigkeit von r bestimmen:
⇨

Einsetzen in Volumenformel:

Mit V = 100 dm³ (100 Liter) erhält man jetzt den Radius r des Grundkreises:
⇨

⇨
Und aus dem Radius errechnen wir die gesuchte Höhe:
22. Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) mit Mittelpunkts winkel 120° und dem Radius 8 dm wird zu einem Kegel
zusammengebogen. Wir groß sind das Volumen und die Mantelfläche?

Gegeben sind (Skizze siehe Nr. 21) die Seitenkante s des Kegels (entspricht dem Radius des
erzeugenden Kreissektors) und der Mittelpunktswinkel α. Hieraus errechnen wir die Fläche des
Kreissektors, also die Mantelfläche des Kegels:
Mantelfläche:

Um das Volumen des Kegels zu berechnen, benötigen wir den Radius r des Grundkreises (ist NICHT
der Radius des Kreissektors) und die Höhe h des Kegels.

Die Bogenlänge des Kreissektors ist identisch mit dem Umfang des Grundkreises:
⇨

Satz des Pythagoras (r, s und h):
⇨

(Radius des Grundkreises)
⇨
Volumen:
23. Ein gleichschenkliges Trapez ABCD (a = 14 cm, c = 6 cm und h = 4 cm) rotiert um die Achse
1.)
2.)
3.)
Versuchen Sie die bei der Rotation entstehenden Körper geeignet zu skizzieren und berechnen Sie jeweils
Volumen und Oberfläche.
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24. In welcher Höhe muss man einen Kegel (r, h) mit einer Ebene parallel zur Grundfläche schneiden, um die
Mantelfläche zu halbieren?
25. Leiten Sie die Berechnungsvorschriften der Formelsammlung für einen Kegelstumpf her.
26. Ein Messzylinder mit der lichten Weite (Innendurchmesser) 32 mm soll geeicht werden. In welchen
Abständen sind die Teilstriche für je 5 cm³ anzubringen?