Brückenkurs Schulmathematik 10. Veranstaltung: Geometrie 6

Brückenkurs Schulmathematik
10. Veranstaltung: Geometrie 6: Raumgeometrie
28. Juni 2012
Die nachfolgenden Aufgaben wurden in Anlehnung an Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 10
Gymnasium. Braunschweig: Westermann. formuliert.
1. Aufgabe: Ein Zylinder hat die Grundfläche 1 dm2 und die Höhe 1 dm.
a. Bestimmen Sie die Kantenlänge eines Würfels mit demselben Volumen!
Welcher Körper hat die größere Oberfläche? Berechnen Sie die Werte! Um
wie viel Prozent übertrifft der größere den kleineren?
b. Bestimmen Sie den Radius einer Kugel mit demselben Volumen! Welcher
Körper hat in diesem Fall die größere Oberfläche? Berechnen Sie die Werte!
2. Aufgabe: Ein Würfel mit Kantenlänge 1 cm wird in seinem Inneren von einer Kugel an
allen sechs Flächen berührt.
a. Skizzieren Sie einen geeigneten Querschnitt der Situation. Welchen
prozentualen Anteil hat das Volumen der Kugel am Volumen des Würfels?
b. Wie verändert sich das Verhältnis zwischen den Volumina, wenn die Kugel
nicht in einem Würfel, sondern in einem Tetraeder (wiederum mit Kantenlänge
1 cm) enthalten wird?
c. Wie verändert sich das Verhältnis zwischen den Volumina, wenn die Kugel
statt in einem Würfel in einem Oktaeder (ebenfalls mit Kantenlänge 1 cm)
enthalten wird?
3. Aufgabe: Ein Kegel wird aus einem Dreiviertelkreis (α=270°) mit dem Radius 10 cm
hergestellt. Berechnen Sie die Mantelfläche, den Grundkreisradius, die Höhe und das
Volumen des Kegels!
4. Aufgabe: Wie ändert sich die Mantelfläche eines Kegels, wenn man
a. den Radius verdoppelt,
b. die Grundfläche verdreifacht,
c. die Mantellinie halbiert,
d. Radius und Höhe verdoppelt?
5. Aufgabe: Wie ändert sich das Volumen eines Kegels, wenn man
a. den Radius verdoppelt,
b. die Grundfläche verdoppelt,
c. die Höhe halbiert,
d. Radius und Höhe verdreifacht?
6. Aufgabe: Einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche wurde die Spitze
parallel zur Grundfläche abgeschnitten.
a. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Pyramidenstumpfes,
wenn es gilt, dass die Grundfläche eine Kantenlänge von 6 cm hat, die
Kantenlänge der Deckfläche 3 cm beträgt und der Pyramidenstumpf 2 cm hoch
ist.
b. Kann man in diesen Pyramidenstumpf eine Kugel einschreiben? (Also derart
eine Kugel in den Pyramidenstumpf legen, dass sie alle Flächen – d.h. alle
Seitenflächen, die Grundfläche und die Deckfläche – berührt.) Wenn ja, wie
groß ist der Radius dieser Kugel?
7. Aufgabe: Die Grundkanten einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche
betragen 46 cm, die Winkel zwischen den Seitenflächen betragen 120°: Wie hoch ist die
Pyramide und wie groß ist ihre Mantelfläche? (In: Dönszne, Buvari Nora et al (2000):
Kompendium. Temporg: Budapest, S. 217)
8. Aufgabe: Die Höhe eines geraden Prismas beträgt 80 cm. Der Schnitt mit einer Ebene,
die mit der Grundfläche einen Winkel von 43° einschließt, ergibt als Schnittfigur ein
Vieleck mit dem Flächeninhalt von 127 cm2. Wie groß ist der Rauminhalt des Prismas?
(In: Dönszne, Buvari Nora et al (2000): Kompendium. Temporg: Budapest, S. 208)
9. Aufgabe: Eine halbkugelförmige Glasschale hat den Außendurchmesser 30 cm und die
Wandstärke 4 cm. Welches Gewicht (ρ= 2,5 g/cm3) hat die Schale und welches
Innenvolumen?
10. Aufgabe: Der Eulersche Polyedersatz besagt, dass in jedem konvexen Polyeder (Körper,
der ausschließlich von Vielecken begrenzt wird) die Summe aus Anzahl der Ecken und
aus der Anzahl der Flächen der Anzahl der Kanten+2 entspricht.
a. Überprüfen Sie die Gültigkeit dieses Satzes anhand der Ihnen bekannten
Polyeder!
b. Recherchieren Sie nach möglichen Beweisen dieses Satzes!
c. Leiten Sie mithilfe des Satzes her, dass es nicht mehr als fünf Platonische
Körper gibt!