Ebenen, Kugeln und Lineare Gleichungssysteme

Zweite Klausur
Name :...................................
Klasse: 12/...
Zerbst , den 21.Dezember 1999
Arbeitszeit 180 min
Hilfsmittel : zugelassenes Tafelwerk ; MTC, Zeichengeräte .
1.
a)
Ebenen und Kugeln
Die Ebene E enthält die Punkte A(-1/2/3),B(1/-1/4) und C(0/3/3).
Geben Sie für die Eben drei verschiedene Formen der Ebenengleichung an (Parameterform, parameterfreien
Form, Hesse’sche Normalform ) an.
In welchen Punkten schneidet die Ebene E die drei Koordinatenachsen?
Die Ebene E durchdringt die x1-x2-Ebene. Beschreiben Sie dies mit einer Gleichung.
b) Gegeben ist die Ebenenschar Ek mit
æ - 1ö æ 2 ö
æ k ö
ç ÷ ç ÷
ç ÷
E k : x = ç 2 ÷ + r ç - 3 ÷ + s × ç k 2 ÷; k ³ 0; r , s Î R
ç3÷ ç 1 ÷
ç 0÷
è ø è ø
è ø
Geben Sie Ek in einer parameterfreien Form an.
Zeigen Sie:
- E wird von der Ebenenschar E k mit erfaßt.
- Bestimmen Sie den zugehörigen Parameter k.
c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von E1 und E5. wenn sich die Ebenen schneiden, dann geben Sie
auch die Gleichung der Schnittgeraden und den Betrag des Schnittwinkels an.
d) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugel ( M(-1/2/3),r=5LE) und der Ebene E1.
e) Welche Rolle spielt die Gerade g
æ - 1ö
æ 2 ö
ç ÷
ç ÷
g : x = ç 2 ÷ + l × ç - 3 ÷; l Î R
ç3÷
ç 1 ÷
è ø
è ø
im Zusammenhang mit den einzelnen Ebenen der Schar E k ?
f) In welchen Punkten durchstößt die Gerade g die Kugel ?
g) Jede Kugel kann von einem Würfel(Quader) so eingeschlossen werden, daß die Würfelseiten die
Tangentialebene an die Kugel bilden. Geben Sie die zwei möglichen Tangentialebenen an!
2.Gerden und Ebenen
Es soll ein Modell des Millenniumturms der BUGA gebaut werden. Die Grundfläche ist ein regelmäßiges
Sechseck( Kantenlänge 8,00 dm ) und liegt in der x1-x2-Ebene. Die erste Eckpunkt hat die Koordinaten
P1(8,00/0,00/0,00). Der Turm ist eine schiefen Pyramide mit der Spitze in S(-6,00/0,00/18,00).
a) Berechnen Sie zunächst die Koordinaten der weiteren
S
X3
Eckpunkte der Grundfläche ( in der vorgegebenen Genauigkeit).
(Zur Kontrolle: (4,00/6,93/0,00),(-4,00/6,93/0,00),usw.)
b) In 6,00dm Höhe über der Grundfläche soll eine zweite
Ausstellungsebene EA geschaffen werden. In welchen
Punkten der Seitenkanten muß sie befestigt werden?
c) Die Seiten der Pyramide werden mit einer metallbeschichteten
Folien verkleidet. Bei dem Zuschnitt rechnet man mit 15%
Verlust. Wieviel Quadratmeter Folie muß man bestellen?
X2
P1
2.
a)
Lineare Gleichungssysteme
Zwischen den Größen a, b, c und d besteht folgender Zusammenhang:
I
II
III
IV
b)
3a – 4b –3c+8d = -6
4a + 2b – c + d = 0
a - b + 2c
=18
b + 7c
= -5
Bestimmen Sie den Wert der unbekannten Größen : a, b, c, d !
Das folgende Gleichungssystem enthält drei unbekannte Größen a, b ,c und einen Parameter k.
Für welche Werte des Parameters ist das System nicht eindeutig lösbar?
I k*a – 4b –3c = -6
II 4a - k*b – c = 0
III a - b + c
=18
c) In den Gleichstromnetzen lassen sich Stromstärken I und Spannung U nach den Kirchhoffschen Gesetzen
berechnen. :
1.Kirchhoffsches Gesetz: In jedem Verzweigungspunkt ( Knoten) mehrerer Leiter ist die Summen der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden (Knotenregel)
2.Kirchhoffsches Gesetz: In jedem beliebig aus einem Leiternetz herausgegriffenen in sich abgeschlossenen
Stromkreis ist die Summe der Spannungen gleich der Summe der Produkte aus Stromstärken und
Widerständen in den einzelnen Zweigen (Maschenregel).
In der Schaltung wurden folgende Werte verwendet: R1 =2,5  , R2 = 3,6  , R3 = 4,5 ; UO=6,0 V
Berechnen Sie die Werte für die drei Stromstärken I1, I2 und I3 .
Uo
I1
R1
I2
I3
R2
R3