Theoretische Physik III Quantenmechanik 1 / Thermodynamik und

Universität Leipzig
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. K. Kroy
WS 2010/11
Theoretische Physik III
Quantenmechanik 1 / Thermodynamik und Statistik 1
12. Übungsblatt
Aufgabe 25: Maxwell-Boltzmann-Verteilung
(2 Punkte)
Die Geschwindigkeitsverteilung für ein freies Teilchen der Masse m ist durch die MaxwellBoltzmann-Verteilung
f (v) =
1
exp[−mv2 /(2kB T )]
(2πkB T /m)3/2
gegeben, wobei v der Geschwindigkeitsvektor in drei Dimensionen ist.
a) Die Energie eines freien Teilchens ist ε = mv 2 /2. Schreiben Sie die Geschwindigkeitsverteilung f (v) in die Energieverteilung ω(ε) um. Wie verhält sich die Zustandsdichte in
Abhängigkeit von ε?
Hinweis: Nutzen Sie aus, dass f (v)d3 v = ω(ε)dε sein muss.
b∗ ) Berechnen Sie mit Hilfe der Energieverteilung ω(ε) den Erwartungswert der Einteilchenenergie hεi und die Varianz σε2 = hε2 i − hεi2 .
(2 Zusatzpunkte)
Aufgabe 26: Statistik unabhängiger Oszillatoren
(3 Punkte)
Die Hamiltonfunktion eines isotropen dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben
durch
1
p2
+ mω 2 x2 .
H(p, x) =
2m 2
a) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme, die innere Energie U = hHi und die spezifische Wärme bei konstantem Volumen CV .
b∗ ) Berechnen Sie die quantenstatistische kanonische Zustandssumme und zeigen Sie, dass
diese für sehr hohe Temperaturen in den klassischen Ausdruck übergeht. (2 Zusatzpunkte)
Aufgabe 27∗ : Kugelvolumen und Kugeloberfläche im d-dimensionalen Raum (3 Zusatzpunkte)
Eine d-dimensionale Kugel mit Radius r ist definiert durch
x21 + x22 + · · · + x2d = r2 ,
wobei xi , i = 1, . . . , d, kartesische Koordinaten bezeichnen.
a) Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche dieser Kugel.
b) Bestimmen Sie die Schichtdicke ∆r, für die das Volumen der Kugelschale gleich dem
Volumen der (inneren) Kugel ist. Betrachten Sie speziell den Grenzfall d → ∞.
Hinweis: Betrachten Sie das Integral
Z
Z ∞Z ∞
...
Id =
−∞
−∞
∞
2
2
2
dx1 dx2 . . . dxd e−(x1 +x2 +···+xd ) .
−∞
gesamt: 5 + 7 Punkte
Abgabe:
bis 31.1., 16 Uhr, Briefkasten Linnéstraße 5