Arbeitsblatt 3
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P. D. I. S
Thermodynamik und Statistik, T IV, SS08
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/sose_08/tiv/
Arbeitsblatt 3
3.1 Dipole
Betrachten Sie ein Gas aus N nicht-wechselwirkenden, stabartigen Molekülen, wobei jedes Molekül die Masse m, das Trägheitsmoment I und ein elektrisches Dipolmoment µ habe. Ein Molekül ist durch fünf verallgemeinerte Koordinaten beschrieben: die Position des Schwerpunktes
r und zwei Winkelkoordinaten θ, φ. Die L-Funktion für ein solches Molekül in einem
äußeren elektrischen Feld E k ez lautet
L =
m 2 I 2
ṙ + θ̇ + φ̇2 sin2 θ + µ |E| cos θ.
2
2
a) Bestimmen Sie die zugehörige H-Funktion ausgedrückt durch die verallgemeinerten Impulse p, pθ und pφ .
b) Berechnen Sie die kanonische Zustandsfunktion
!
Z Y
N 3
1
H
3
Z(T, V, N) =
.
d ri dθi dφi d pi dpθ,i dpφ,i exp −
kB T
N!h5N
i=1
c) Berechnen Sie den Druck und die innere Energie. Diskutieren Sie Ihr Resultat, vergleichen
Sie das Ergebnis insbesondere mit den Werten für ein ideales Gas.
d) Berechnen Sie die mittlere Polarisierung
P=
N
X
hµ cos θi i
i=1
und diskutieren Sie den Grenzfall kleiner und großer elektrischer Felder. Zeichnen Sie P
als Funktion der Temperatur.
3.2 P-Modell
Das P-Modell ist eine Verallgemeinerung des eindimensionalen I-Modells mit periodischen Randbedingungen. Jedem Gitterpunkt i ∈ {1, . . . , N} mit Gitterabstand a = 1 wird eine 3wertige Variable si ∈ {1, 2, 3} zugeordnet. Der Konfigurationsraum Ω ist damit 3N -dimensional.
Die Energie einer Konfiguration ω ∈ Ω ist
H(ω) = −2J
N
X
δ si ,si+1 − 2h
i=1
N
X
δ si ,1 .
i=1
Die kanonische Zustandssumme ist
Z(β, J, h) =
X
e−βH(ω) .
ω∈Ω
a) Bestimmen Sie die Transfermatrix T , so dass Z = tr(T N ) gilt.
b) Zeigen Sie dass für die freie Energiedichte im thermodynamischen Limes f = − β1 ln λ+
gilt, wobei λ+ den größten Eigenwert der Matrix T bezeichnet. Bestimmen Sie λ+ und
damit die Zustandssumme.
c) Verallgemeinern Sie diese Rechnung für das q-wertige P-Modell, also si ∈ {1, . . . , q}.
2
