Kugel - Luitpold-Gymnasium Wasserburg

Die Kugel
Grundlagen:
Oberflächeninhalt: OKugel = 4 π • r2
4
Volumen:
VKugel =
π • r3
3
Anwendungsaufgaben:
1.
Die Kuppel des Felsendoms in Jerusalem ist näherungsweise halbkugelförmig.
Sie hat einen Außendurchmesser von 21 m und eine Wanddicke von 40 cm.
a) Wie groß ist die Oberfläche der Kuppel?
raußen =
O=
1
d = 10,5 m
2
1
4 π • (10,5 m)2 ≈ 692,72 m2
2
b) Wie groß ist das Volumen des verwendeten Materials beim Bau der Kuppel?
rinnen = raußen – 40 cm = 10,1 m
V = Vaußen – Vinnen
4
4
V=
π • (10,5m)3 –
π • (10,1m)3 ≈ 533,33 m³
3
3
2.
16 Billardkugeln mit 5,7 cm Durchmesser passen genau in eine Schachtel mit
quadratischer Grundfläche (sie berühren sich gegenseitig sowie die Decke und
den Boden der Schachtel). Wie viel Prozent des Schachtelvolumens füllen sie
aus?
d = 5,7 cm → r = 2,85 cm
4
VBillardkugel =
π • r3 ≈ 96,97 cm3
3
VSchachtel = AGrundfläche • h
| h = d; AGrundfläche = (4 d)2
2
VSchachtel = (4 d) • d ≈ 2963 cm3
16 • VBillardkugel
16 Kugeln, also:
≈ 0,52 = 52%
V Schachtel
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Kugel
3.
Wie muss der Radius einer Kugel verändert werden, damit ihr Volumen
27mal so groß wird, und wie verändert sich dabei der Oberflächeninhalt?
27 • VKugel = V
4
27 •
π • r13 =
3
27 • r13 = r3
3 • r1 = r
4
π • r3 | :
3
|
4
π
3
√3
→ r = r1 • 3, der Radius wird also 3mal so groß.
OKugel = 4 π • r2
| r = 3 • r1
OKugel = 4 π • (3 • r1)2 =
= 4 π • 9 r12 =
= 9 • OKugel
→ Die Oberfläche wird um das 9-fache vergrößert.
4.
Finde eine Formel zur Berechnung des Radius r in Abhängigkeit vom Winkel φ!
Der Mittelpunkt M des Kreises ergibt zusammen mit den Berührungspunkten des
Radius r mit dem Kreis und dessen Achse (Punkte B und C) das Dreieck [MBC].
Der Winkel α ergibt zusammen mit dem Winkel φ einen rechten Winkel. Somit ergibt
sich für α: α = 90°- φ
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Kugel
Für die Strecke [MB] gilt: [MB] = R
r
r
=
[MB]
R
also: r = sin (α) • [MB] = sin (90° - φ) • R = cos φ • R
Somit ergibt sich für α: sin (α) =
→ r = cos(φ) • R
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