Geometrie – Inklusionsmaterial 1
Werbung
DOWNLOAD C. Spellner · C. Henning · M. Körner Geometrie – Inklusionsmaterial 1 Grundlagen der Geometrie Bergedorfer Unterrichtsideen C. Spellner, C. Henning, M. Körner Grundwissen Mathematik inklusiv Geometrie Inklusionsmaterial 5.–10. Klasse Downloadauszug aus dem Originaltitel: Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. h verfolgt. verf Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich Vorwort 1. Vorwort Der Unterrichtsstoff muss neben den Hauptund Realschülern auch lernschwächeren Schülern1 – und im Zuge der Inklusion vermehrt Schülern mit sonderpädagogischem Förderbedarf – nachhaltig vermittelt werden. Der vorliegende Band bietet Ihnen entsprechende Kopiervorlagen. In ihm sind Aufgaben sowohl für Regelschüler, als auch für Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf zusammengefasst und bieten somit eine ideale Grundlage für Ihren inklusiven Mathematikunterricht. Machen Sie von den veränderbaren Word-Dateien auf CD Gebrauch, um den individuellen Leistungsstand Ihrer Schüler berücksichtigen zu können. Die Arbeitsblätter für 1 Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf haben einen grauen Seitenrand. Die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand stammen aus dem Muttertitel „Grundwissen Ebene Geometrie“ und enthalten inhaltsgleiche, aber zieldifferente Aufgaben als Basis für die Regelschüler, bzw. als Erweiterung für die schnellen lernschwächeren Schüler. Viele Inhalte für die lernschwächeren nsch Schüler mit sonderpädagogischem em Förderbedarf F sind weniger abstrakt und nd anschaulicher anscha dargestellt. Sie benötigen g oft das handlungsorienha tiertere Arbeiten eiten und das Wiederholen Wiede thematisch grundlegender grun legender Rechenschritte, Reche um die Inhalte halte regelrecht rege recht begreifen beg zu können. en. Wir sprechen hier wegen der besseren Lesbarkeit von n Schülern bzw. Lehrern in der verallgemeinernden Form. den Form Selbstverständlich sind auch alle Schülerinnen nen und Lehrerinnen gemeint. 2. Methodisch-didaktische sch h-didaktisch Hinweise 2.1 Stolpe Stolpersteine ersteine der d Geometrie Schon in der de Grundschule erarbeiten n sich die Schüler chüler den de Begriff „Figur“, indem sie ganzheitlich lic wahrnehmen und d auf vielfältige v ge Weise W untersuchen. Meist wird wi d hier auch schon chon mit ersten Abbildungen ngen gearbeitet. gearbeitet Aber auch der Umgang mit den d Figuren wird w gefördert. g Natürlich ich wird auch uch betont, dass die Figuren in der Mathematik Formen sind, athematik idealtypische ideal die in der Umwelt und im Alltag nur annährend den idealtypischen Charakter aufzeigen. yp So kann man eine komplexe Figur zum Beispiel in verschiedene Dreiecke und Vierecke zerlegen, um eine Annährung an die geometrische Figur zu erlangen. Manche Figuren im Alltag haben aber auch abgerundete Ecken, sodass hier die typische Charakteristik der Ecke verlorengeht und mathematisch nicht mehr korrekt ist. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag innerhalb der ebenen GeoDie Problemfelder P metrie gehen mit den Bereichen Räumliches m Vorstellungsvermögen und Visuelle Wahrnehmung einher, auf denen die visomotorische Koordination aufbaut. Im Folgenden werden die Bereiche daher kurz erläutert. Die Erläuterungen lassen zugleich die Schwierigkeiten abschätzen, mit denen gerechnet werden muss. Gegebenenfalls müssen Sie auf Grundschulmaterialien zurückgreifen, um die entsprechenden Einsichten, die beschrieben werden, aufzubauen. 1 Vorwort Die visuelle Wahrnehmung ist die Grundvoraussetzung für ein räumliches Vorstellungsvermögen. Wahrnehmen stellt einen aktiven Prozess dar. Das Wahrnehmen geht über das bloße Sehen hinaus, denn es ist eng mit dem Gedächtnis und den damit gespeicherten Erfahrungen verbunden. Aber auch die Art des Denkens und des Vorstellens spielt hierbei eine große Rolle. Wahrnehmen ist ferner auch Sprache. Beim Sehen werden zunächst nur Gegenstände gesehen. Das Wahrnehmen erfasst Merkmale von Objekten, identifiziert ein Objekt, setzt es in Beziehungen zu der Umwelt, vergleicht verschiedene Objekte miteinander, um es dann mit einem Namen zu belees gen. Allerdings muss hierzu auch ein visuelles den Gedächtnis vorhanden sein. In ihm werden hr charakteristische Merkmale eines nicht mehr se Merk präsenten Objektes gespeichert. Diese Merksuellen Gemale können dann mit dem visuellen ente Objekte Ob ekte überdächtnis auf andere präsente tragen werden. ehmung zählt u Zur visuellen Wahrnehmung u. a. die FiWahrnehm mung. Das heißt, die gur-Grund-Wahrnehmung. Schüler m ssen in der Lage age sein, aus einem müssen komplexen Bild Teilfig nnen und Teilfiguren zu erkennen Hintergrund von G nterschei Gesamtfigur zu unterscheien. Ebenso fällt in diesen Bereich die Wahrden. hmung ißt dass die Schünehmungskonstanz. Das heißt, denen G ler Objekte in verschiedenen Größen,, räu räumlirben unter chen Lagen und Farben unterscheiden k können (räumliche Konstanz). Hierzu muss visuell hieden werden. Da sh unterschieden Das heißt, es handelt ier um d e Fähigke sich hier die Fähigkeit, Ähnlichkeiten und ede zu e Unterschiede erkennen und zu benennen. Weiterhin müss müssen die Schüler in der Lage sein, räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper wahrzunehmen und einzuordnen (Räumliche Wahrnehmung). Zum anderen müssen sie räumliche Gruppierungen von Objekten und deren Beziehung untereinander erfassen und auch beschreiben können (Räumliche Beziehungen). Ebenso muss die Wahr- C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag nehmung der Raumlage eines Objektes erfolgen. Hierbei müssen die Schüler in der Lage sein, die Raumlage eines Objektes zu einem Bezugsobjekt (z. B. eigene Person) zu erkennen und zu beschreiben. Auch die Visualisierung kann einen Stolperstein darstellen. Das bedeutet, dass die räumlichen Bewegungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen) ohne Anschauungshilfen auf gedanklicher Vorstellungsebene erfolgen müsellun sen (räumliches Vorstellungsvermögen). enn die eigene Person Schwieriger wird es, wenn v in einer räumlichen Situation verortet werden liche Orientierun soll (Räumliche Orientierung). Ebenso tellung von Rotationen. schwierig istt die Vorst Vorstellung bei muss beachtet werden, dass sich die Dabei chüler eine exakte Rotation von ebenen benen u Schüler und d eidimensio ten vorstellen ellen k dreidimensionalen Objekten könne n müsse nen müssen. Unt Unter visomotorischer Koordinatio Koordination ver vere Fä keit, d ss das Seh steht man die Fähigkeit, dass Sehen mit er sinnvol dem eigenen Körp Körper sinnvolll in Verbindung ss eine ad gebracht wird wird, sodas sodass adäquate Koordination und eine dara daraus resultierende Handung erfo olgen kan lung erfolgen kann. D Diese ist notwendig, wenn man z. B. etwas ausschneiden oder nachzeichnen möch möchte. Neben den Schwierigkeiten, die die S Schüler im Bereich der visuellen Wahrnehmung und dem räumlichen Vorstellungsvermögen haben können, können die Schüler auch motorische Schwierigkeiten haben, sodass ihnen das Zeichen und Messen nur mühsam gelingt und ihre Arbeiten in diesem Bereich sehr ungenau sind. 2.2 Kompetenzerwartungen Die Kompetenzerwartungen können in die Bereiche Erfassen, Konstruieren, Messen und Anwenden unterteilt werden. Die nachfolgende Tabelle gibt einen Überblick über die Kompetenzerwartungen in den genannten Bereichen. 2 Vorwort Bereich Kompetenzerwartungen Erfassen verwenden von Fachbegriffen (z. B. Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius, parallel, senkrecht, symmetrisch) Beschreiben von ebenen und räumlichen Figuren Benennen von Objekten (z. B. Rechteck, Quadrat, Kreis, Quader, Würfel, Zylinder) Identifizieren von Objekten in der Umwelt Charakterisieren von Objekten (z. B. rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig) Konstruieren Muster (im Koordinatensystem) zeichnen Senkre zeichnen grundlegender Beziehungen (z. B. Parallele, Senkrechte, Winkel) reise) zeichnen von Figuren (z. B. Rechtecke, Quadrate, Kreise) Schrägbilder skizzieren Körpernetze zeichnen und Körper daraus bauen en (z. B. nach Seiten Seite und Winkeln) Zeichnen von Figuren nach Angaben vergr ern und verkleinern ve kleinern Figuren maßstabsgetreu vergrößern nd verschieben ve schieben Figuren spiegeln, drehen und Messen gen, besonderen besondere Winkeln, Wink Flä heninSchätzen von Längen, Umfängen,, (Ober-) Flächeninumina halten und Volumina en von Längen, Längen, besonderen beso ln, Umfängen, U ängen (Ober-) FlächenFläc Bestimmen Winkeln, ten und Volumina Volum na inhalten Anwenden erfas ssen und benennen benen ften von vo on Objekten Obje erfassen von Eigenschaften begrü den von vo Eigenschaften mit it Hilfe Hilfe von Symmetrien, Symmetr begründen Winkelsätzen und ongr es Pythagoras/Thales Pyth Kongruenzen sowie mithilfe des Satzes des bere rischer Größen ößen mithilfe e des de Satzes des Pythagoras/Thaberechnen geometrischer sbeziehungen les und Ähnlichkeitsbeziehungen ischer Größen Größen mit m Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen geometrischer 2.3 Anregung zum um Einstieg Einst in das as Thema Geometrie eometr e Für einen en Einstieg Einstieg in das Thema Th bieten sich Bastell- und Faltübungen Faltübunge als aktive Handlung besonders s gut an. an Denn sie regen die Fantasie der Schüler chüle an und sind in ihrer Aufgabenstellung für die meisten Schüler sehr ansprechend. Allerdings muss hier beachtet werden, dass diese Übungen zu Fehlvorstellungen beitragen können. So muss man bedenken, dass das Herstellen eines Würfels aus einem Würfelnetz eigentlich aus der Ebene erfolgt, dann aber ein dreidimensionales Objekt ist. Ferner wird niemals C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag so genau gefaltet, dass zwingend ein exakter rechter Winkel entsteht. Manche Schüler sind motorisch geschickter als andere, sodass durchaus „schiefe“ Objekte entstehen. Gleiches gilt beim Falten. Wenn eine Parallele oder Senkrechte gefaltet wird, kann das durchaus ungenau sein. Im Bereich der Kongruenzabbildungen legt man gern zwei Figuren, die man auf dem Papier gezeichnet und anschließend ausgeschnitten hat, übereinander. So werden aber zwei Ebenen benutzt, obwohl eigentlich nur eine Ebene betrachtet wird. Dennoch haben Bastel- und Faltübungen einen unheimlich großen Aufforderungscharakter, was für die Schüler sehr motivierend ist. 3 Vorwort Denn sie können hier nicht nur selbst aktiv werden, sondern die entstehenden Objekte ihren Vorstellungen entsprechend mitgestalten (z. B. ausmalen). Außerdem gibt es den Schülern etwas in die Hand, wodurch bestimmte Merkmale besonders deutlich und zugänglich gemacht werden können. Je nach Thema gibt es verschiedene Aufgaben, die man mit auf den Weg geben kann. Beispiele: Figuren benennen und zuordnen: Zeichnen und Ausschneiden, anschließend in der Umwelt finden Senkrechte und Parallelen: mithilfe eines Blattes falten und ausmalen Kongruenzen: Figuren zeichnen, ausschneieiden und übereinanderlegen Innenwinkelsumme von Dreiecken/Vierecken: /Vierecken: „Konstruiere ein Dreieck/Viereck. eck. Reiße die Ecken ab und lege sie zusammen. zusamme Welche Winkelsumme entsteht?“ eht?“ Umfang: Figur mit einem ein nem Seil umlegen umleg Flächeninhalt: lt:: bekann bekannte e Figu Figuren in Figuren einzeichnen einzeichnen/Figur /Figur zerschneiden zers und zu einer bekannten F Figur gur zusammenlegen zusa 2.4 4 Durch Durc Kooperation Inklusion on ermöglichen e Im Sinne der Inklusion ion iist st es w wichtig, da dass Sie neben individueller ueller Förderung Förderung um u kooperative Lernformen men bemüht bemüht sind. sind Die D nachfolgend aufgeführten führten Beispiele eispiele zeigen z deutlich, dass hier nicht in Einzelarbeit Einze strikt nach Leistungsstand gearbeitet arbeit wird, sondern die Schüler sich die einzelnen Themen in der Klassengemeinschaft gemeinsam arbeiten. Im Laufe der Erarbeitung und Bearbeitung des Themas bieten sich verschiedene kooperative Lernmethoden an. Hier werden exemplarisch einige aufgeführt. 1. Lernpartner/Lerngruppen In Lerngruppen arbeiten die Schüler zwar individuell, aber doch gemeinsam an einem Thema und nutzen dafür die Stärken und Vorteile C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag einer Gruppe. Die Gruppen können entweder leistungsheterogen oder weitestgehend leistungshomogen zusammengestellt sein. Bei leistungsheterogenen Gruppen sollten Sie unbedingt darauf achten, dass die Schüler untereinander klare Rollen haben – ein leistungsstarker Schüler unterstützt z. B. einen leistungsschwächeren Schüler, welcher wiederum einem ebenfalls leistungsschwächeren Schüler erläutert, was er soeben mit seinem Mitschüler gelernt hat.. In leistungshomogenen Gruppen kann das Gruppenwissen gefesGrupp tigt und nachhaltig trainiert werden. Richten w Sie die Gruppenzusammensetzungen also penzusammenset nach Ihren UnterrichtsUnterrichts- und den individuellen Lernzielen ielen der Schüler Schüle aus. 2. Selbstkontrolle/gegenseitige Kontrolle Selbstkon l ontroll Die Kontrolle Di e eigenständige eigenst rolle von LernergebLernergebnissen fördert die Selbstständigkeit niss tändigkeit der de Schüler. Lernschwächere Schüler zuler äc Schüler trauen sich s dem mehr zu, u, da a sie s mögliche mög he falsche Lösungen nicht der ganzen nur sich anzen Klasse, sondern son selbst preisgeben und die richtige preisge eben en müssen m Lösung ösung in individuellem indivi uelle Tempo nachvollziekönnen. hen und ggf. nachrechnen nac Stationenlauf mit und ohne Partner 3. Statio B dem Stationenlauf arbeiten die Schüler Bei überwiegend selbstständig und eigenverantwortlich an Stationen. Selbstständig bzw. eigenverantwortlich bedeutet hier, dass der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Dies ist aber u. a. nur dann möglich, wenn die Schüler wissen, wie sie sich Informationen beschaffen, diese aufbereiten und Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können, d. h. wenn sie selbstständig arbeiten/lernen können. Zwar können die Schüler noch nicht das Thema mitbestimmen und -organisieren, aber die Reihenfolge, die Sozialform sowie die Arbeitsplatzgestaltung müssen sie selbst wählen. Es ist auch damit zu rechnen, dass sich die Schüler an einen großen Gruppentisch stellen und an diesem arbeiten sowie dort die Materialien lagern. Außerdem sind neben der Gruppen- 4 Vorwort ebenfalls die Partner- und Einzelarbeit möglich. Auch die Selbstkontrolle (an einer Lösungsstation) führt immer mehr zu einem eigenverantwortlichen und auch kooperativem Lernen. Wichtig bei dieser Arbeitsform ist es, die verschiedenen Aufgabenstationen gestalterisch voneinander abzugrenzen, sodass die Zuordnung erleichtert wird. Um für die Schüler eine Übersichtlichkeit bezogen auf bereits erledigte Aufgaben herzustellen, sollten sie einen Laufzettel erhalten. Ferner sollten bestimmte Regeln gelten, um erfolgreich an den Stationen zu lernen. Beispiele: 1. Du schummelst nicht und schreibst nicht von anderen ab. / 2. Lass dir bei den Aufgaben so viel Zeit, wie du brauchst. / 3. Die Reihenfolge der bearbeiteten Aufgaben ist dir überlassen. / 4. Überlege dir, ob du alleine, alleine mit einem Partner oder in der Gruppe pe arbeiten möchtest. / 5. Kontrolliere erledigte digte e Aufgaben mit Hilfe der Lösungsstation. tion. / 6. Frage rage den Lehrer nur dann um Hilfe, wenn dir deine ine Mitschüler nicht helfen elfen können. k Die Lehrkraftt kann bei dieser Arbeitsform die verbringen, jedoch meiste Zeit im m Hintergrund Hintergr für die Schüler Schüler jederzeit jederz erreichbar sein, sos so frei wie möglich arbeiten dass diese s eiten können en und die Möglichkeit haben, sich beim Lernen zu unterstützen n gegenseitig ge tütz bzw.. zu helfen. Auch der Lehrkraft bietet die Stationenarione beit die Möglichkeit, keit, gezielter gezielter zu helfen als in einer Frontalsituation. erlsituation. Die Stationenarbeit Stat fordert auch vom vom Lehrer ein völlig anderes Verhalten: statt vorgeben lten: er muss muss anregen a sowie beraten raten statt sta bestimmen. Der Lehrer ist in der Rolle lle des d Beraters zu sehen. 4. Wochenplanarbeit Auch die Wochenplanarbeit bietet sich im Rahmen des eigenverantwortlichen und kooperativen Lernens an. Dies ist ebenfalls eine Form der Freiarbeit, bei der der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Auch hier müssen die Schüler wissen, wie sie sich Informationen beschaffen, diese aufbereiten und C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können. Im Unterschied zur Stationenarbeit werden die Arbeitsaufträge nicht für alle Schüler ausgelegt, sondern jeder Schüler erhält einen individuellen Arbeitsplan bzw. eine Arbeitsmappe. Da sich die Aufgaben oft gleichen, können die Schüler hier auch wieder gemeinsam arbeiten oder sich gegenseitig unterstützen. Letzteres ist auch immer dann möglich, wenn nicht die gleichen Aufgaben bearbeitet werden, denn ist die Form nn hierfür h der Freiarbeit geradezu prädestiniert. präde 2.5 Erläuterung rung der Kopiervorlagen Kopierv Die Arbeitsmaterialien, materialien bei denen der rechte Seitenrand itenrand grau unterlegt unter ist und die e Aufgabennummern ennummern mit einem schwarzen n Dreieck Dreie hinterlegt h nterlegt sind, si sind soweit weit aufbereitet, aufbereitet, dass d lernschwächere lern schw Schüler gut mit ihnen ihne arbeiten können. Wenn Ihre Schüler Sch hüler die ArbeitsmaArbe sma terialien gut bearbeitet bear tet haben hab n und die Inhalte/ In Kompetenzen sicher sic er beherrschen, beherrsch ist es selbstverständlich rständ dlich ch möglich, m ihnen ih die Arbeitsmaterialien lien für die d e Schüler Sch ohne sonderpädagogischen gogisch en Förderbedarf Förde b zur Vertiefung und Erweiterung Erweiteru ng anzubieten. an Nutzen Sie hier immer entsprechend ents die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand, die die gleiche Überschrift g grau ttragen bzw. das gleiche Thema behandeln. Für leistungsstarke Schüler verwenden Sie die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand. Zudem können Sie die Arbeitsblätter, die Zwischenschritte behandeln, probeweise nicht bearbeiten lassen. Sollte der inhaltliche Sprung für diese Schüler doch zu groß sein und Schwierigkeiten bei der Bearbeitung entstehen, können Sie die ausgelassenen Arbeitsblätter nachträglich bearbeiten lassen und dann auf das Arbeitsblätter zurückkommen, bei dem die Schwierigkeiten auftraten. In der folgenden Übersicht können Sie sehen, wann welche Arbeitsblätter probeweise ausgelassen werden können. Die Arbeitsblätter für die leistungsschwächeren Schüler wurden in dieser Übersicht nicht berücksichtigt, da 5 Vorwort diese für die leistungsstärkeren Schüler oft zu einfach sind. Natürlich können Sie diese auch mit heranziehen. Nach Beendigung der Arbeit an den Arbeitsblättern können die stärkeren Schüler die schwächeren Schüler bei der Lösung der Aufgaben unterstützen. Gegebenenfalls können Sie auch weitere Textaufgaben aus dem Mathematikbuch zur Vertiefung heranziehen. Grundlagen der Geometrie Grundbegriffe Koordinatensystem Senkrechte Geraden Parallele Geraden Abstand C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag Bedeutung der Aufgabennummerierung 1 Aufgaben aus dem Anforderungsbereich I, Reproduzieren @ Aufgaben aus dem Anforderungsbereich II, Zusammenhänge herstellen # Aufgaben aus dem Anforderungsbereich III, Verallgemeinern und Reflektieren Aufgaben für lernschwache Schüler, Schüler mit sonderpädagogischem gis Förderbedarf 6 Grundbegriffe ∆ Bringe die Buchstaben in die richtige Reihenfolge. Schreibe die Begriffe auf. ECERSTK AB REDEAG AB EHABLGRAED AB EKRCTHESNE b LLLEEAAPR a EUKPTN ∇ Verbinde der Reihenfolge nach. nach. Zeichne dabei abei Strecken. A und B ∈ Verbinde der Reihenfolge Reihenfolg ge nach. n Zeichne Geraden. hne d dabei bei Geraden G B 3 M A C 2 D 4 L K 1 E J G 6 F H 5 7 ∉ Zeichne drei verschiedene Halbgeraden. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 7 Grundbegriffe ! 2 Ordne die Begriffe den jeweiligen Abbildungen zu wie im Beispiel. Gerade Halbgerade Parallele Punkte Senkrechte Strecke AB AB a A und B b AB Übertrage die Punkte für jede Teilaufgabe einmal in dein Heft. a) Zeichne alle möglichen Strecken von A zu den anderen Punkten und miss ihre Längen. x A B x b) Zeichne alle möglichen Geraden durc durch E und einen der anderen Punkte.. n Halbg eraden von C c) Zeichne alle möglichen Halbgeraden Buchstab n. aus zu den anderen Buchstaben. 3 D x E x Zeichne jjeweils eweils Stre Strecken mit den angegebenen ebenen Län Längen. gen. a) 4 cm $ x C b) 6 cm m c) 7,5 cm d 2,3 cm d) e) 26 mm Ergänze e den de Lückentext. ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt. Eine Halbgerade hat ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt. ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt. Eine Gerade hat Eine Strecke hat C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 8 Koordinatensystem Info Ein Koordinatensystem besteht aus folgenden Elementen: y-Achse 8 7 6 5 Punkt mit Koordinaten (z. B.2円4) 4 3 2 1 0 Ursprung 1 x-Achse 2 3 4 5 Skala 6 7 8 ∆ a) Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. b) Zeichne dann den Punkt mit den Koordinaten (3/5) ein. en K ordinaten P (3/5 r: Gehe dabei folgendermaßen vor: e y-Achse 8 Die erste Zahl in der Klammer Klammer gibt die x-Koordinate an (x-Achse). 7 6 5 Du kannst es dir auch als Hausnummer Hau auf der de x-Straße merken. merken 4 3 2 3 auf der x-Straße. Suche nun nun die Hausnummer Ha nach oben. Zeichne eine Hilfslinie H ben. 1 x-Achse 0 1 2 3 4 5 6 Hausnummer 7 8 y-Achse 8 Die zweite gibt die weite e Zahl in der der Klammer Kla y-Koordinate Koordin te an (y-Achse). (y-A Dort, wo sich beide Hilfslinien überschneiden, trägst du nun den Punkt P (3/5) ein. 6 Etage Diese e Zahl ist is die Etage in dem Haus. Gehe e also in die 5. Etage. Zeichne eine Hilfslinie nach rechts. 7 P (3円5) 5 4 3 2 1 x-Achse 0 1 2 3 4 5 6 Hausnummer 7 8 ∇ a) Trage folgende weitere Punkte in das Koordinatensystem ein: Q (3 | 2), R (7 | 2), S (7 | 5) und T (5 | 8) b) Verbinde die Punkte so, dass sich die Strecken nicht überschneiden. Welche Figur entsteht? C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 9 Koordinatensystem ! Ordne die Begriffskarten den jeweiligen Zahlen im Koordinatensystem zu. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihenfolge von bis ein Lösungswort. P Koordinatenpunkt mit den Koordinaten (3/2) U Koordinatenpunkt mit den Koordinaten (–1/–2) 4 3 x 2 1 R x-Achse (Rechtsachse) –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 E y-Achse (Hochachse) x –2 2 –3 –3 S 2 Ursprung (Nullpunkt) – –4 Das Lösungswort lautet: ___ ___ __ ___ _ _ ___ ___ y Gib die Koordinaten ten der eingetragenen eingetr Punkte an.. 4 3 A(___ | ___) ___) B( B(___ | ___) C(___ | ___) __ D(___ | ___) ( E(___ | ___) ___ F(___ | ___) G(___ | ___) H(___ | ___) __ H(___ F x B –4 x –3 x 1 –2 –1 1 2 E A 3 4 x –1 H x x G –2 –3 x 3 x 2 D x C –4 Zeichne für jede Teilaufgabe ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft und trage die angegebenen Punkte ein. Verbinde sie dann in der Reihenfolge des Alphabets. Welche Figur entsteht jeweils? a) A(3 | 2) B(–2 | 2) C(–2 | –1) D(3 | –1) Figur: b) A(–1 | –3) B(3 | –3) C(3 | 1) D(–1 | 1) Figur: c) A(–1,5 | 0) B(0 | –2,5) C(1,5 | 0) D(0 | 1,5) Figur: C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 10 Senkrechte Geraden Info Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich im rechten Winkel (90°) schneiden. Mit dem Geodreieck kannst du senkrechte Geraden zeichnen: A a) Zeichne eine Gerade AB. g b) Lege nun die Mittellinie des Geodreieckes genau auf die Gerade. B c) Zeichne nun die senkrechte Gerade. d) Man schreibt AB ⬜ g. ∆ Zeichne verschiedene senkrechte Geraden. ∇ Überprüfe, ob die Geraden senkrecht nkrecht zueinander sind. Benutze das Geodreieck. a) a d b)) c b c)) e f h d) d e) i k g f) m l ∈ Welche Geraden sind s nd senkrecht s zueinander? Notiere. d a e ⬜ c b C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag ⬜ ⬜ 11 Senkrechte Geraden Info h Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel (90°) schneiden. Man schreibt g ⊥ h oder h ⊥ g. Zum Zeichnen von Senkrechten und zum Überprüfen, ob Geraden senkrecht zueinander stehen, benutzt man oft das Geodreieck. 1 g Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden senkrecht zueinander sind und notiere wie im Beispiel. Kennzeichne auch die rechten Winkel wie e im Beispiel. h⊥i i a h e •••• f _____ __ _____ _____ b g __ _ _____ ____ _____ c _____ d 2 _____ Zeichne jeweils zur ur Gerad Geraden g die e Se Senkrechten durch die Punkte A–E. a) b) xB Ax B x C x Ax C x xD Ex x g 3 E x g D Zeichne die Punkte A(3 | 3), B(–3 | –3), C(4 | –2) und D(–4 | 2) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Senkrechte zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der Senkrechten mit a) der x-Achse, b) der y-Achse, C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag c) der Geraden AB an. 12 Parallele Geraden Info Geraden sind parallel zueinander, wenn sie sich nicht schneiden und an allen Punkten den gleichen Abstand zueinander haben, z. B. Eisenbahnschienen. So zeichnest du parallele Geraden: 1. Zeichne eine Gerade CD. 2. Lege eine parallele Linie des Geodreiecks genau auf die Gerade. C D E F C D 3. Zeichne nun eine parallele Gerade EF. 4. Man schreibt CD || EF. Hinweis: Die Hilfslinien auf dem Geodreieck haben immer den gleichen gle chen Abstand Absta zueinander. Meist ist das 1 cm. ∆ Zeichne zu jeder Gerade drei ei parallele Geraden. Geraden b c a ∇ Überprüfe, welchee Geraden Gera parallel para zueinander liegen. d e f g || a b c || || || || C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 13 Parallele Geraden Info h Geraden sind parallel zueinander, wenn sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Man schreibt g II h oder h II g. Zum Zeichnen von Parallelen und zum Überprüfen, ob Geraden parallel zueinander sind, benutzt man oft das Geodreieck. 1 g Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden parallel zueinander sind und notiere wie im Beispiel. a g II h e _____ f ___ _____ g b ___ _____ h _____ _____ c d 2 Zeichne jeweils zur Geraden Gerad g die eP Parallelen durch die Punkte A–E. a) b) B ✕ B C A✕ ✕ ✕ A✕ C ✕ ✕ g E ✕ D ✕ E✕ D g 3 Zeichne die Punkte A(3 | 4), B(–2 | –6), C(–2 | 2) und D(3 | 1) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Parallele zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der drei Geraden mit der x-Achse und mit der y-Achse an. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 14 Abstand Info Du kannst den Abstand zweier paralleler Geraden bestimmen, indem ade du das Geodreieck wie in der Abbildung mit der Nulllinie auf eine Gerade legst und den Abstand zur anderen Geraden misst. 0 a 2 b A B Du kannst mit dem Geodreieck den Abstand zweier Punkte bestimmen, indem du das Geodreieck mit der 0 auf einen Punkt legst (Mitte der Messskala) und dann abliest. P P den Du kannst den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden n bestimmen, indem du eine senkrechte Gerade durch diesen Punkt zeichnest. ∆ Bestimme den Abstand zwischen zw wischen den parallelen par Geraden. a) b) a c b c) d) g d h e f C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 15 Abstand Info Die Strecke PQ ist die kürzeste Verbindung des Punktes P mit der Geraden g. Sie wird auch als Lot von Punkt P auf die Gerade g bezeichnet und verbindet den Punkt P senkrecht mit der Geraden g. Die Länge des Lotes nennt man Abstand des Punktes P von der Geraden g. 1 Zeichne die Abstände der Punkte A–D von der Geraden g ein und miss ihre Längen. B ✕ A✕ Abstand A von g: __________ Abstand B von g: __________ g Abstand C von g: __________ C ✕ Abstand D von g: __________ ✕ D @ Die Geraden g und h sind parallel el zueinander. zueinander Miss die d Abstände der Punkte A und B von der Geraden h und der er Punkte C und und D von v der Geraden g.. Was W stellst du d fest? Abstand A von h: __________ g B A ✕ ✕ Abstand B von h: __________ __________ ✕ Abstand C von g: __________ _ ✕ h Abstand D von g: __________ D C Ergänze die Regel für den Abstand d von parallelen paralle Geraden. Regel: arallele Geraden G Gerad haben _________________________________________. Zueinander parallele 3 Zeichne chne ein eine Gerade in dein Heft und jeweils zwei Punkte, die von der Geraden m Abstand Absta haben, a) 3 cm 4 b) 1,7 cm Abstand haben, c) 26 mm Abstand haben. Miss die Abstände der parallelen Geraden. a) b) C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag c) 16 Vermischte Übungen zu Linien ∆ Überprüfe, welche Geraden senkrecht (⊥) und welche parallel (||) zueinander sind. a b c d e f g ∇ Zeichne eine Senkrechte durch den Punkt auf die Gerade. e. a) A b) B d) c) C D ∈ Zeichne eine G Gerade. Zeichne ne von ih ihr jeweils pa parallele Geraden im Abstand von 1 c cm, 3 cm, 4 cm und 7 cm. ∉ Zeichne ein Koor Koordinatensystem dina em mit der Einheit 1 cm. a) Trage ge folgende Punkte Punkt ein: A (1│3), (1│3 B (2│5), (2│5) C (4│1), D (7│6) b) Bestimme estimme die Abstände zwischen folgenden Punkten: A zu B, A zu C, A zu D, C zu B, C zu D und B zu D. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 17 Vermischte Übungen zu Linien 1 Kreuze an. falsch richtig Zueinander senkrechte Strecken sind immer gleich lang. Zwei zueinander parallele Strecken haben überall den gleichen Abstand. Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich immer. Drei parallele Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Zueinander parallele Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel. Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel. 2 a) Überprüfe mit dem Geodreieck, ob die Geraden bzw. Strecken parallel (II) oder senkrecht (⊥) zueinander sind und notiere wie im Beispiel. f g ✕ h ✕ ____ f II h, f ⊥ e,_________________________________ n Stif b) Kennzeichne Strecken mit einem roten Stift. a b n Stift c) Kennzeichne Geraden mit einem grüne grünen Stift. 3 Zeichne zu der Geraden en g zwei parallele Geraden G mit einem Abstand nd von 1,5 cm. 4 Zeichne ✕ ✕ e c d ✕ i ✕ a) eine e Se nkrechte durch P zu g. Nenne diese se a. Senkrechte Senkrechte durch P zu a. Nenne diese b. b) eine S ung von b und g aussagen? c) W Was kannst du überr die B Beziehung _______________________________________________ ________ 5 Zeichne chne ein Koordinat Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm in dein Heft. chne dur a) Zeichne durch die Punkte (–2 | 4) und (4 | 2) eine Gerade und nenne sie g. b) Gib drei Koordinaten an, die auf dieser Geraden liegen. c) Zeichne durch den Punkt (4 | –4) eine Parallele zu g. d) Gib zwei Koordinaten an, die auf dieser Parallele liegen. e) Zeichne durch den Punkt (2 | 0) eine Senkrechte zu g. f) Gib den Schnittpunkt der Parallelen mit der Senkrechten an. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 18 Winkelarten 1 Info Ein Winkel wird von zwei Schenkeln umschlossen. S ist der Scheitelpunkt. Er ist der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Schenkel. Ein Winkel wird oft mit einem kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Am häufigsten sind die vier Buchstaben a (= Alpha), b (= Beta), g (= Gamma) und d (= Delta). S Man unterscheidet verschiedene Winkelarten: spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel kleiner als 90° 90° 0 zwischen 90° und 180°° über tumpfer Vollwinkel V gestreckter überstumpfer Winkel Winkel Winkel 180° zwisch zwischen 180° und 360° 0° 360° ∆ Zeichne zwei verschiedene hiedene spitze Win Winkel. ∇ Zeichne Zeic zwei verschiedene hied stumpfe tumpfe W Winkel. ∈ Zeichne zwei verschiedene überstumpfe Winkel. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 19 Winkelarten 2 ∆ Zeichne einen gestreckten Winkel, einen rechten Winkel und einen Vollwinkel. Überlege, warum du jeweils nur einen davon zeichnen sollst. ∇ Entscheide, welche Winkelart dargestellt ist. t. a) b) c) S a a S a S d) e) f) S S a a a S C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 20 Winkelarten Info Ein Winkel (hier a) wird von zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt eingeschlossen. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt S. S Winkel werden oft mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Am häufigsten kommen dabei a (Alpha), b (Beta), g (Gamma), d (Delta) und e (Epsilon) vor. benutzt. Man schreibt dann: a, Teilweise wird auch das Winkelzeichen ∢ ! Verbinde die Bilder mit den zugehörigen Winkelnamen. Die Buchstaben hstab ergeben dann in der Reihenfolge von bis ein Lösungswort. (S) Vollwinkel (A) Das Lösungswort lautet: spitzer Winkel (T) 3 gestreckter streckt Winkel stumpfe stumpfer Winkel W (K) (K überrstumpfer mpfer Winkel kel (N) (E) rechte rechter Winkel ___ __ ___ ___ _ _ ___ ___ ___ 2 ∢ ∢b usw. Ergänze den Schenkel Ergänz Sche el so, s dass die angegebene gebene Winkelart W en entsteht. a pitze Winkel a) spitzer b) recht Wink rechter Winkel c) stumpfer Winkel d) gestreckter Winkel e) überstumpfer üb Winkel f) Vollwinkel Neben ben der Bezeichnung Bezeichnu mit griechischen Buchstaben kann man Winkel auch mit unkte- bzw. b der PunkteBuchstabenfolge angeben. Gib die Winkel jeweils durch Punkte an m Beispiel. Beis wie im a) D ✕ δ γ α β✕ ✕ A C ✕ a = BAD/DAB b) A B✕ ✕ α γ B b = __________ g = __________ d = __________ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag ε ✕E β ✕ C a = _________ δ ✕ D b = _________ g = _________ d = _________ e = _________ 21 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck messen Info So misst du Winkel: a = 35° Lege das Geodreieck mit der cm-Skala genau auf einen der beiden Schenkel. a Achte darauf, dass die Mitte der cm-Skala = 0 genau im Scheitelpunkt liegt. b = 135° Nun schaust du, wo der zweite Schenkel im Halbkreis des Geodreiecks liegt. Hinweis: Lies an der Skala ab, die auf der Mess-Seite bei 0° beginnt. b Manchmal musst du auch einen Schenkel verlängern, um den Winkel messen zu können. g = 78° Wichtig: g Es ist auch möglich, von der anderen Seite des Geodreiecks zu messen! ∆ Miss folgende nde W Winkel. inkel. a) b) c) a S a S a S a= a= d) a= e) a S a S a= C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag a= 22 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck messen Info Winkelgrößen werden in Grad angegeben. 1 Grad (geschrieben 1°) erhält man, wenn man einen Kreis (den Vollwinkel) in 360 gleich große Teile teilt. Zum Messen von Winkeln verwendet man oft das Geodreieck. Dieses wird mit dem Nullpunkt auf den Scheitelpunkt des Winkels gelegt und die Winkelgröße wird an der Skala abgelesen. 1 Miss jeweils die Größe der Winkel und gib an, um welche Winkelart es sich handelt. Tipp: Verlängere, wenn nötig, die Schenkel. a) 2 b) d) c) Bestimme jeweils alle angegebenen en Winkelgrößen. W nkelg größen. Schätze S zuerst. st. a) b) γ β δ A✕ A c) α ✕ B✕ α ✕ β γ ε ✕E γ ✕ δ ✕ C B α β ✕ C D Geschätzt Ge hätzt /Gemessen /Gem ssen Geschätzt /Gemessen Gemessen Geschätzt /Gemessen a = __ ______ ____ /______ /___ a = ______ ____ /______ a = ______ /______ ______ /______ b = __ ______ /______ b = ____ _ /____ b = ______ /______ g = ______ /______ ______ /______ g = _____ g = ______ /______ ______ d = ______ /______ d = ______ /______ e = ______ /______ 3 Gib jeweils weils di die G Größe bzw. den Größenbereich in ganzen Grad und die Winkelart an. a) b) ✕ 4 c) • ✕ d) ✕ ✕ __________ Rechter Winkel ____________ ____________ 1° ≤ a ≤ 89° a = _________ ____ ≤ a ≤ ___ a = _________ Zeichne einen beliebigen Winkel (ohne zu messen). Dein Nachbar und du schätzen jetzt die Winkelgröße. Anschließend wird nachgemessen. Wer mit seiner Schätzung näher an der tatsächlichen Winkelgröße liegt, bekommt einen Punkt. Anschließend zeichnet dein Nachbar, ihr schätzt, messt usw. Wer zuerst 5 Punkte hat, hat gewonnen. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 23 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck zeichnen ∆ Sortiere die Textbausteine richtig in die Tabelle. l eite h c S en n d e e ls. chn nd ein Winke i e Z es kt u pun nkel d e Sch Mark ie Wink re den g e e Mach l an der wünschte W n e da zu ei inkelska l nen Punk a. t. en chluss d S m u z die Zeichne wischen z n e g re o b nd notie Winkel u l e k n e ch beiden S röße. elg die Wink Ver bind Pun e kt m nun d Sch e eite it dem n lpun kt. Lege d as Geo d re cm-Ska la gena ieck mit der u auf d Achte d en abei da rauf, da Schenkel. Scheite s lpunkt anliegt. s die 0 im m So zzeichnest chn du einen Winkel el S✕ S✕ ✕ S ✕ S ✕ ✕ ✕ S ✕ ✕ S 53˚ ∇ Zeichne nach der Anleitung aus Aufgabe 1 die folgenden Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft. a) 30° b) 51° c) 75° d) 99° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag e) 123° f) 168° 24 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck zeichnen ! Unten siehst du zwei Anleitungen zum Zeichnen von Winkeln bis 180°. Leider ist dabei sowohl die Reihenfolge der Texte als auch die Reihenfolge der Bilder durcheinandergeraten. Bringe die Texte und Bilder wieder in die richtige Reihenfolge. ✕ a) Gewünschten Winkel an der Winkelskala markieren. ✕ S 53˚ ✕ Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. S ✕ Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen. Markierungspunkt mit dem Scheitelpunkt verbinden. b) (1 (1) S✕ ✕ Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen. S ✕ (1) S✕ Zweiten Schenkel des Winkels zeichn zeichnen. ✕ S Geodreieck eck auf den Sch Scheitelpunkt des Winkels els leg legen. en. S ✕ Winkelbogen Winkelbog einzeichnen und Winkelgröße nkelgröße e eintragen. ntrage S✕ Scheitelpunkt und einen Schenkel d des es W Winkels zeichnen. S ✕ Geodreieck k bis zu zum gewünschten ünsc Winkel drehen. 2 S ✕ Ergänze gänze den den Schenkel Schenke nach oben und nach unten, sodass je zweimal der angegebene gegebene Winkel Winke entsteht. a) 30°° 3 53˚ b) 75° c) 112° d) 152° Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft. a) 20° b) 43° c) 66° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag d) 95° e) 135° f) 164° g) 180° 25 Winkel über 180° messen und zeichnen Info So zeichnet man Winkel über 180°: Da du mit dem Geodreieck nur Winkel bis 180° zeichnen kannst, benutzt du beim Zeichnen von Winkeln über 180° einen „Trick“: Beispiel: Zeichne einen Winkel von 260°. 1. Zeichne den Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels. Du hast einen ast jetzt schon sc Teil des Winkels gezeichnet, nämlich 180°. Du kannst dir auch eine eine Hilfslinie zeichnen. z 2. Weil der Winkel größer als 180° ist, musst du überlegen, legen wieviel Grad Grad noch no fehlen. Deshalb rechnest du den gesuchten Winkel nkel minus us 180°. 3. Du legst nun das Dreieck oberhalb des gezeichneten an. Trage ezeic neten Schenkels Sche g dort den en noch fehlenden Teil des Winkels ab. 4. Zeichne nun den zweiten Schenkel. henkel. 5. Zeichne nun den Winkelbogen. elbogen. ∆ Zeichne nach derr Anleitung im Infokasten folgende gende W Winkel inke in dein Heft. a) 172° b) 199° c) 215° d) 320° ∇ Miss die Winkel wie folgt: Miss ss den klein kleinen nen Winkel aus und ziehe ihn von ab. Notiere das Erg Ergebnis.. 360° a Hinweis: Zeichne eine ne dir dazu d e Hilfslinie. H a) b) d) e) C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag c) 26 Winkel über 180° messen und zeichnen ! a) Betrachte jeweils die Winkelpaare und beschreibe, was dir auffällt. ✕ 320˚ 130˚ 85˚ ✕ 275˚ 40˚ 245˚ ✕ 115˚ ✕ 230˚ 325˚ ✕ 35˚ Es fällt auf, b) Gib die gesuchten Winkelgrößen ohne zu messen an. γ β α ✕ 170˚ ✕ 200˚ a = _____ b = _____ δ✕ ✕ 145˚ g = _____ ε 78˚ ✕ 20˚ e = _____ d = _____ c) Gib die gesuchten Winkelgrößen an. α β ✕ a = _____ γ ✕ b = _____ ε δ✕ ✕ g=_ _____ ____ d = _____ ✕ e = ____ _____ d) Beschreibe, wie man Winkel kel über 180° m mit it de dem Geodreieck „messen“ sen“ oder „zeic „zeichnen“ nen“ kann. Erkläre a anhand nhand der Bildfolge, wie man den en überstumpfen überstu Winkel mit der Größe 260° zeichnen kann. (3) (4) (5) ✕ 2 260° – 180° 80° ✕ (2) ✕ ✕ ✕ (1) ✕ @ 260˚ (1) (2) (3) (4) (5) 3 Zeichne die überstumpfen Winkel mit der angegebenen Größe. a) 195° b) 225° c) 247° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag d) 286° e) 302° f) 321° g) 333° h) 355° 27 Nebenwinkel und Scheitelwinkel Info Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer Geradenkreuzung. ✕ Die dabei entstehenden Winkel a1 und b1 werden als Nebenwinkel bezeichnet, da sie nebeneinander liegen. Sie haben zusammen 180°. a1 ✕ b1 Die Winkel a1 und a2 werden als Scheitelwinkel bezeichnet. Sie sind beide gleich groß, weil sie sich gegenüberliegen. a1 ✕ a2 ∆ Schreibe auf, ob es sich um Scheitelel oderr Nebenwinkel ha handelt. a) a1 und a2 sind ____________________ ____ __________ _ b) b1 und b2 sind ____________________ __________ __ c) a1 und b1 sind ____________________ a1 _ ____ d) a1 und b2 sind ____________________ b1 b2 a2 d b1 sind ____________________ _____ __ e a2 und e) und b2 sind ____________________ _________ f) a2 un ∇ Wie groß roß sind die vier vie er W Winkel? Begründe. a1 = 60° a2 = _______, weil __________________________________ a1 b1 = _______, weil __________________________________ b1 b2 a2 b2 = _______, weil __________________________________ ∈ Berechne die fehlenden Winkel b2 = 80° ist. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 28 Nebenwinkel und Scheitelwinkel ! Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Achte auf die Zeichnungen. Einzusetzende Wörter: Scheitelwinkel(paar), Nebenwinkel(paar), Geradenkreuzung Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer . Die dabei entstehenden Winkel a1 und a2 werden als bezeichnet, da sie nebeneinander liegen. Die Winkel b1 und b2 werden als bezeichnet. ichne 2 Kennzeichne – die Nebenwinkel zu a1 und a2 rot, ✕ – die Scheitelwinkel zu b1 und b2 blau. # α2 ✕ α1 ✕ β1 β2 ✕ a) Miss jeweils die vier Winkel und notiere ihre hre G Größe. a1 = _____ β1 γ1 ✕ α1 δ1 ____ g1 = _____ b1 = __ _____ __ d1 = ___ _____ δ2 ✕ γ2 α2 β 2 a2 = _____ ___ b2 = _____ g2 = __ _____ ___ d2 = _____ b) Notiere e alle Neb Nebenwinkelpaare. enwinke c) Was as kannst k du über die Summe me der Grö Größe ße von Neb Nebenwinkeln aussagen? d) Notiere alle Scheitelwinkelpaare. eitelwin e. e) Was kannst ka nst du über die Größe von Scheitelwinkeln aussagen? 4 Berechne die Größe der fehlenden Winkel an der Geradenkreuzung. α β γ ✕ δ a) a = 50° b = _____ g = _____ d = _____ b) a = _____ b = 75° g = _____ d = _____ c) a = _____ b = _____ g = 112° d = _____ d) a = _____ b = _____ g = _____ d = 173° e) a = 90° b = _____ g = _____ d = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 29 Stufenwinkel und Wechselwinkel Info Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, entsteht eine doppelte Geradenkreuzung. ✕ ✕ Die Winkel g1 und g2 werden als Stufenwinkel bezeichnet, sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen. Sie sind gleich groß. ✕ γ2 ✕ Die Winkel d1 und d2 werden als Wechselwinkel bezeichnet. Sie sind gleich groß. ✕ δ1 γ1 δ2 ✕ ∆ Schreibe auf, ob es sich um Stufen- o oder Wechselwinkel Wechse winkel ha handelt. ___ a) a1 und a1’ sind ____________________ b) b1 und b1’ sind ____________________ ______ __ c) a2 und a2’ sind ____________________ ___ _________ d) b2 und b2’ sind __________ ____________________ b2 a1 a2 b1 e) b2 und b1’ sind ____________________ _____ f) a2 un und d a1’ sind nd ____________________ ___ ∇ Wie Wi groß sind die acht W Winkel? ?B Begründe. a1’ b2’ b1’ a 2’ a1 = 50° a2 = _______, _______, weil __________________________________ __ b1 = _______, ______ weil we __________________________________ b2 = _______, ____ weil __________________________________ a1’ = _______, weil __________________________________ a2’ = _______, weil __________________________________ b1’ = _______, weil __________________________________ b2’ = _______, weil __________________________________ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 30 Stufenwinkel und Wechselwinkel ! Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Die Zeichnungen helfen dir dabei. Einzusetzende Wörter: Wechselwinkel(paar), Stufenwinkel(paar), doppelte Geradenkreuzung Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, ✕ ✕ entsteht eine ________________ ____________________________. Die Winkel g1 und g2 werden als bezeichnet, sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen. bezeichnet. ichn δ1 γ1 δ2 ✕ Kennzeichne γ1 ✕ – die Stufenwinkel zu g1 und g2 mit rot, blau. – die Wechselwinkel zu d 1 und d 2 mit blau # γ2 ✕ ✕ Die Winkel d 1 und d 2 werden als 2 ✕ ✕ γ2 δ1 ✕ ✕ δ2 a) Miss jeweils die acht Winkel und notier notiere ihre G Größe. öß δ2 γ 2 α2 ✕ β2 δ1 γ 1 α1 ✕ β1 a1 = _____ b1 = ____ _____ g1 = _____ d1 = __ _____ a2 = _____ b2 = _____ ____ g2 = _____ d2 = ____ _____ b) Notiere alle Stu Stufenwinkelpaare. ufenwinkelpaar c) Was kannst c kannst du über die Größe e von St Stufenwinkeln enwinkeln auss aussagen? d) Notiere alle Wechselwinkelpaare. selwin re. e) Was as kannst kannst du über die Größe von Wechselwinkeln aussagen? 4 Berechne h die Größe der fehlenden Winkel an der doppelten Geradenkreuzung. b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____ a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____ b) a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____ b2 = 122° g2 = _____ d2 = _____ c) a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = 98° a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____ a) a1 = 55° γ1 γ2 β2 ✕ δ2 α2 β1 ✕ δ1 α1 a2 = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 31 Vermischte Übungen zu Winkeln ∆ Fülle die Tabelle richtig aus. Winkelart spitzer Winkel Winkelgröße ∇ Ergänze sinnvoll. Nebenwinkel, Wechselwinkel, Scheitelwinkel, Geradenkreuzung, uzung, Stufenwinkel Stu Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden raden geschnitten, entsteht eine doppelte ___________________ ___ ____________. Die dabei entstehenden Winkel a1 und d b2 w werden erde als ___________________ bezeichnet, chnet da sie nebeneinander liegen. en. Sie haben zusammen 180°. Die Winkel b1 und b2 werden we als ___________________ _________ be bezeichnet. ich Sie sind beide gleich sich gegenüberliegen. ch groß, weil sie sic Die Winkel Win el a1 und a1’. werden als _ ___________________ _________ ____ bezeichnet, bezeichn et sie haben h Ähnlichkeit keit mit Winkeln W nkeln bei Treppenstufen. Sie sind gleich groß. Die Winkel Treppen W Winke a1 und a2’ werden als ___________________ ___ ___ bezeichnet. Sie sind sind gleich glei groß. b2 a1 a2 b1 a1’ b2’ b1’ a2’ ∈ Gib alle Scheitelwinkel, Scheitelwink Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel an. elwinke a1 und a2, Scheitelwinkel: Nebenwinkel: a1 und b1, Stufenwinkel: a1 und a1, Wechselwinkel: b1’ und b2, ∉ Berechne die fehlenden Winkel. a) a1 = 30° b) b1 = 45° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag c) b2’ = 60° d) a2’ = 55° 32 Vermischte Übungen zu Winkeln 1 Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft. a) 10° 2 b) 52° c) 96° d) 165° e) 235° f) 264° g) 300° h) 360° Kreuze an. falsch richtig Stumpfe Winkel sind größer als 180°. Spitze Winkel sind kleiner als 90°. Der gestreckte Winkel ist doppelt so groß wie der rechte Winkel. Scheitelwinkel sind zusammen 180° groß. Nebenwinkel sind gleich groß. Stufenwinkel sind gleich groß. 3 Gib alle Nebenwinkelpaare, Scheitelwinkelpaare, n are, Stu Stufenwinkelpaare enwinkelp und Wechselwinkelpaare an. δ2 γ 2 α2 ✕ β2 β1 α 1 γ1 ✕ δ1 Nebenwinkelpaare: Scheitelwinkelpaare: elpaare: Stufenwinkelpaare: winkelpaa e: Wechselwinkelpaare: Wechselwinkelpa 4 Berechne jeweils die d fehlenden Winkel Win an der Gera Geradenkreuzung. denkre γ β α δ ✕ ε φ % a) a = 60° b = 40° __ g = ____ d = ____ e = ____ φ = ____ b) a = ____ b = ____ g = 47° _ c)) a = ____ __ b = ____ g = ____ d = 90° 11 d) a = 111° b = ____ g = ____ d = ____ e = 44° d = ____ e = 74° φ = ____ e = ____ φ = 14° φ = ____ Welche lche zwei Winkel Wink bilden jeweils die beiden Uhrzeiger? Bestimme die Winkel ohne zu messen. essen. Tipp: T Denke an den Vollwinkel. a) ____ /____ b) ____ /____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag c) ____ /____ d) ____ /____ 33 Lösungen Grundlagen der Geometrie Grundbegriffe Seite 7 Strecke AB Gerade AB Halbgerade AB Senkrechte b Parallele a Punkte A und B B M 3 D A 2 C 4 L 1 E J 5 G K 6 F 7 H Beispiellösung: llösung: B A C D F E C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 34 Lösungen Grundbegriffe Seite 8 ! Gerade AB Halbgerade Parallele a AB Punkte A und B Senkrechte b Strecke AB 2 a) AB = 3,4 cm AC = 2,8 cm AD = 3 cm AE = 4,5 cm Ax B x D x E x C x b) c) c Ax A B Bx x C x x C D x x D x x x E E $ Eine Gerad Gerade hat keinen keine Anfangspunkt und keinen kein Endpunkt. Eine Hal Halbgerade hat einen Anfangspunkt und keinen ke Endpunkt. End Eine Strecke hat einen n Anfangspunkt Anfangsp nkt un und einen ine Endpunkt. Koordinatensystem ord Seite 9 Das fertige Koordinatensystem nsyst m mit allen eingetragenen et Werten: Achse c y-Achse T 8 7 6 5 P S Q R 4 3 2 1 x-Achse 0 1 2 3 4 5 6 7 8 C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 35 Lösungen Koordinatensystem Seite 10 ! Das Lösungswort lautet: S U P E R 2 Gib die Koordinaten der eingetragenen Punkte an. A(2 | 1) E(4 | 2) B(–3 | 1) F(–1,5 | 2) C(1 | –3) G(2,5 | –2) 3 a) Rechteck b) Quadrat c) Drachen(viereck) y B y 4 4 3 3 3 xA 2 x –3 –2 x C y 4 2 D x 1 –4 D(–2 | –4) H(–3,5 | –1,5) –1 1 2 3 x 4 x –4 –3 –2 D C x 1 –1 1 2 3 1 4 x A –4 –3 –2 x –1 – 1 1 –1 –1 –2 –2 –2 –3 x –3 A –4 –1 D 2 x x –4 x B –3 x C 2 3 4 x B –4 Senkrechte Geraden Seite Se 11 Individuelle Schülerlösungen ungen Senkrechte Geraden: a a), c), d), e e) e Ⲛ a, e Ⲛ b, c Ⲛ d Senkrechte Geraden Senkrecht Seite 12 1 •••• i a h e f •••• •••• b •• •• g •••• c •••• •••• d •••• h a b d a b d c ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ i e e e g g g f 3 4 D a) S1(2 | 0), S2(–2 | 0) b) S1(0 | 2), S2(0 | –2) xA 3 2 x 1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 –2 B x c) S1(1 | 1), S2(–1 | –1) x C –3 –4 C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 36 Lösungen Parallele Geraden Seite 13 Individuelle Schülerlösungen a || b, a || c, c || b, d || g, e || f Parallele Geraden 1 g II h Seite 14 a II b a II d b II d e II g 3 Schnittpunkt der Gerade AB mit der x-Achse: Schnittpunkt der Gerade AB mit der y-Achse: Schnittpunkte der parallelen Gerade durch C mit der x-Achse: Schnittpunkte der parallelen Gerade durch C mit der y-Achse: Schnittpunkte der parallelen Gerade durch D mit der x-Achse: Schnittpunkte der parallelen Gerade durch D mit der y-Achse: e II h (1 | 0) (0 | –2) (–3 | 0) (0 | 6) (2,5 | 0) (0 | –5) Abstand Seite 15 a) 0,5 cm b) 1,5 cm c) 1,0 cm d) 2,5 cm d Abstand Se Seite 16 1 Abstand A von g: n g: Abstand B von Abstand bstand C von g: Abstand D von g: 0,9 cm 1,9 cm 0,5 cm 0, 1,8 cm 1, @ Der Abstan Abstand beträgt immer 2 cm. Regel: Zueinander uei parallele Geraden n ha haben überall rall den gle gleichen Abstand. 3 a) Individuelle Lösungen Lö ngen b) Individuelle duel e Lösungen Lös gen c) Individuelle ndividuell Lösungen 4 a) Der Abstand beträgt 2,8 cm. b) Der Abstand beträgt 1,3 cm. b c) Der Abstand beträgt 3,3 cm. Vermischte Übungen zu Linien d || f, e || g, b || c, a a) A Seite 17 Ⲛ d, a Ⲛ f b) B d) c) C D C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 37 Lösungen Parallele Geraden im Abstand von 1 cm, 3 cm, 4 cm und 7 cm A zu B: 2,2 cm A zu C: 3,6 cm A zu D: 6,7 cm C zu B: 4,5 cm C zu D: 5,8 cm B zu D: 5,1 cm y-Achse D 6 B 5 4 3 A 2 C 1 x-Achse 0 1 2 3 4 5 6 7 Vermischte Übungen zu Linien Seite 18 1 falsch Zueinander senkrechte Strecken sind immer gleich ch lan lang. richtig X Zwei zueinander parallele Strecken haben n übera überall den g gleichen eichen Ab Abstand. X Zueinander senkrechte Geraden schneiden neiden sich im immer. er. X n einen g emeinsamen S Drei parallele Geraden haben gemeinsamen Schnittpunkt. X Zueinander parallele Geraden eraden schneid schneiden sich in einem rechten Winkel. l X Zueinander senkrechte hte Geraden schne schneiden sich in einem rechten Win Winkel. l. X 2 a) f II h, f ⊥ e, f II i, h II i, c II e, b II d, h ⊥ e, i ⊥ e, i ⊥ h, i ⊥ c b) Strecken und f. b ecken sind c, d u c) Geraden sind a, b, e, g, h und i. 4 a c) b un und g sind parallel zueinander b 5 b) und d) individuelle Läsungen y x 4 f) Der Schnittpunkt hat die Koordinate (1 I –3) 3 g x 2 1 –4 –3 –2 –1 1 x 2 3 4 x –1 –2 –3 –4 x C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 38 Lösungen Winkelarten 1 Seite 19 – Individuelle Schülerzeichnungen Winkelarten 2 Seite 20 Individuelle Schülerzeichnungen Hier kann man jeweils nur einen Winkel zeichnen, weil jede der genannten Winkelarten nur exakt eine Winkelgröße haben kann: Gestreckter Winkel 180°, rechter Winkel 90°, Vollwinkel 360°. a) b) c) d) e) f) Stumpfer Winkel (105°) Rechter Winkel (90°) Spitzer Winkel (20°) Stumpfer Winkel (150°) Überstumpfer Winkel (340°) Spitzer Winkel (25°) Winkelarten Seite 21 ! Das Lösungswort lautet: KASTEN 2 a) Individuelle Lösungen b) c) Individuelle Individ elle Lösungen S x s en e) Individuelle Lösungen d) f) x x S S 3 a) α: DAB / BAD b) α: EAB / BAE β: ABC / CBA β: ABC / CBA γ: BCD BC / DCB γ: BCD / DCB δ: CDA / ADC δ: CDE / EDC ε: DEA / AED Winkel bis 180° mit dem dem Geodreieck Ge k messen m a) α = 110° b) α = 90° c) α = 22° Seite 22 d) α = 150° e) α = 180° Winkel el bis 180° 1 ° mit dem d Geodreieck messen 1 a) 63° b) 91° c) 112° Seite 23 d) 41° 2 a) α = 42°, β = 138°, γ = 42°, δ = 138° b) α = 36°, β = 77°, γ = 37° c) α = 144°, β = 76°, γ = 123°, δ = 125°, ε = 72° 3 a) 1° ≤ α ≤ 89° spitzer Winkel b) α = 90° rechter Winkel c) 91° ≤ α ≤ 179° stumpfer Winkel d) α = 180° gestreckter Winkel 4 Individuelle Lösungen C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 39 Lösungen Winkel bis 180° mit dem Geodreieck zeichnen Seite 24 Zeichne den Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels. S✕ Lege das Geodreieck mit der cm-Skala genau auf den Schenkel. Achte dabei darauf, dass die 0 im Scheitelpunkt anliegt. S✕ Markiere den gewünschten Winkel an der Winkelskala. Mache dazu einen Punkt. ✕ S ✕ Verbinde nun den Punkt mit dem Scheitelpunkt. S ✕ ✕ ✕ S Zeichne zum Schluss den Winkelbogen zwischen die beiden Schenkel und notiere die Winkelgröße. S ✕ a) ✕ b) S c) 30° S d) 53˚ 3˚ 51° S e) 75° ff) 168° S 99° 9° S S 123° Winkel bis 180° mit dem em Geodreieck Geo k zeichnen ze Seite 25 ! a) (1) Sc Scheitelpunkt cheitelpunkt und und eine einen Schenkel des Winkels zeichnen. (1) (2) G Geodreieck dreieck a auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. (2) S✕ ✕ S ✕ (3) Gewünschten Winkel an der Winkelskala markieren. (3) S✕ Markierungspunkt mit dem Scheitelpunkt verbinden. (4) (5) Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen. (5) ✕ S ✕ (4) ✕ ✕ S C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 53˚ 40 Lösungen b) (1) Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen. (1) (2) Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. (2) (3) Geodreieck bis zum gewünschten Winkel drehen. (3) (4) Zweiten Schenkel des Winkels zeichnen. (4) S✕ S ✕ S ✕ ✕ S (5) Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen (5) ✕ S 53˚ Winkel über 180° messen und zeichnen a) 172° b) 188° a) 347° c) 199° d) 215° c) 270° d) 305° 05° 320° 3 40° 145° 161° b) 325° Seite 26 e) 295° Winkel über 180° messen und zeichnen zeichnen Seite S te 27 ! a) Es fällt auf, dass beide Winkel zusa zusammen men jeweil jeweils 360° ergeben. b) α = 160° β = 190° γ = 215° δ = 282° ε = 340° 2° 34 c) α = 195° β = 225° γ = 262° δ = 303° 3 ° ε = 347° reieck n hnen kann, ann, benutz d) Da man mit dem Geo Geodreieck nur Winkel bis 180° zeichnen benutztt man beim Zeichnen von Winkel über 180° einen ei T h den gesu chten Wink Winkeln „Trick“. Man zieht einfach gesuchten Winkel von 360° ab und zeichnet W hnet man dann aber auf die ande diesen Winkel. Den Winkelbogen zeichnet andere Seite. @ (1) Zeichne Zeichn zunächst einen gestreckten Winkel. (2) 2) (3) (4) (5) Ermittle Erm dann die noch fehlende hle Größe, ße, indem du v von dem zu zeichnenden Winkel 180° abziehst. Markiere den gefundenen enen Wi Winkel an der W Winkelskala. arkie ungsp em Scheitelpunkt. Verbinde den Markierungspunkt mit dem Markiere den Winkel m mitt dem Winkelbogen. Nebenwinkel nwinke und nd Scheitelwinkel Sch a) b) c) d) e) f) Seite 28 a1 und nd a2 sind sin Scheitelwinkel. b1 und b2 sind Scheitelwinkel. a1 und b1 sind Nebenwinkel. a1 und b2 sind Nebenwinkel. a2 und b1 sind Nebenwinkel. a2 und b2 sind Nebenwinkel. a2 = 60°, weil es der Scheitelwinkel zu a1 ist und sie daher gleich groß sind. b1 = 120°, weil es der Nebenwinkel zu a1 ist und sie zusammen 180° ergeben. b2 = 120°, weil es der Scheitelwinkel zu b1 ist und sie daher gleich groß sind. a1 = 80°, a2 = 80°, b1 = 100°, b2 = 100° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 41 Lösungen Nebenwinkel und Scheitelwinkel Seite 29 ! Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer Geradenkreuzung. Die dabei entstehenden Winkel α1 und α2 werden als Nebenwinkel(paar) bezeichnet, da sie nebeneinander liegen. Die Winkel β1 und β2 werden als Scheitelwinkel(paar) bezeichnet. 2 ✕a 1 ✕ a2 b1 ✕ b2 ✕ # a) α1 = 52° b) c) d) e) β1 = 128° γ1 = 52° δ1 = 128 128° β2 = 116° γ2 = 64° δ2 = 116° α2 = 64° α1 und β1, α1 und δ1, β1 und γ1, γ1 und δ1, α2 und β2, α2 und δ2, β2 und γ2, γ2 und d δ2 Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°, also z. B. α1 + β1 = 180° α1 und γ1, β1 und δ1, α2 und γ2, β2 und δ2 Scheitelwinkel sind gleich groß. 4 a) β = 130° b) c) d) e) α = 105° α = 112° α = 7° β = 90° γ = 50° γ = 105° β = 68° β = 173° 73° γ = 90° Stufenwinkel el und Wechselwinkel Wechselwink a) b) b c) d) e)) f) δ = 130° δ = 75° 5° δ = 68° 68 γ = 7° δ = 90° Seite 30 a1 und a1’ sind: Stufe Stufenwinkel b1 und b1’ sind: Stuf Stufenwinkel a2 und nd a2’ sind: Stufenwinkel b2 und b2’ sind: Stufenwinkel b2 und b1’ sind: Wechselwinkel nke a2 und a1’ sind: Wechselwinkel selwink a1 = 50° a2 = 50°, weil es s der Scheite Scheitelwinkel zu a1 ist. 30°, weil es der N Nebenwinkel von a1 ist. b1 = 130°, b2 = 130°, 0°, weil es der Scheitelwinkel zu b1 ist. a1’ = 50°, w weil es der Stufenwinkel zu a1 ist. a2’ = 50°, weil es der Stufenwinkel zu a2 ist. b1’ = 130°, weil es der Stufenwinkel zu b1 ist. b2’ = 130°, weil es der Stufenwinkel zu b2 ist. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 42 Lösungen Stufenwinkel und Wechselwinkel Seite 31 ! Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, entsteht eine doppelte Geradenkreuzung. Die Winkel γ1 und γ2 werden als Stufenwinkel(paar) bezeichnet, sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen. Die Winkel δ 1 und δ 2 werden als Wechselwinkel(paar) bezeichnet. 2 g1 ✕ ✕ g2 d1 ✕ ✕ d2 # a) α1 = 41°, β1 = 139°, γ1 = 41°, δ1 = 139° b) c) d) e) α2 = 41°, β2 = 139°, γ2 = 41°, δ2 = 1 139° α1 und α2, β1 und β2, γ1 und γ2, δ1 und δ2 Stufenwinkel sind gleich groß. α1 und γ 2, β1 und δ2, γ1 und α2, δ1 und β2 Wechselwinkel sind gleich groß. 4 a) α1 = 55°, β1 = 125°, γ1 = 55°, δ1 = 125°, α2 = 55°, 5°, β2 = 125°, 25°, γ2 = 55° 55°, δ2 = 1 125° b) α1 = 58°, β1 = 122°, γ1 = 58°, δ1 = 122°, α2 = 58°, β2 = 122°, 22°, γ2 = 58 58°, δ2 = 122° c) α1 = 82°, β1 = 98°, γ1 = 82°, δ1 = 98°, α2 = 82°, β2 = 98°, γ2 = 82 82°, δ2 = 98° Vermischte Übungen zu u Winkeln Seite Se 32 spitzer spitzer Winke Winkel rechter Winkel stumpfer stum Winkel gestreckter estrec ter Winkel Winke überstumpfer Winkel Vollwinkel kleiner kleine als 90° 90° zwischen wischen 90° und 180° 180 180° zwischen 180° und 360° 360° Werden zwei parallele Ger Geraden den v von einer dritten Geraden geschnitten, entsteht eine doppelte Geradenkreuzung. nkreuz zung. g Die dabei dabe ent entstehenden Winkel a1 und b2 werden als Nebenwinkel bezeichnet, da sie nebeneinander eneinande liegen. Sie haben h zusammen 180°. Die Winkel b1 und b2 werden als Scheitelwinkel bezeichnet. ichnet. Sie Ses sind ind be beide gleich groß, weil sie sich gegenüberliegen. Die Winkel a1 und a1’ werden als Stufenwinkel winkel beze bezeichnet, sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen. Sie sind gleich groß. Die Winkel a1 und a2’ werden als Wechselwinkel bezeichnet. Sie sind gleich groß. Scheitelwinkel: a1 und a2, β1 und β2, a1’ und a2’, β1’ und β2’ Nebenwinkel: a1 und β1, a1 und β2, a2 und β1, a2 und β2, a1’ und β1’, a1’ und β2’, a2’ und β1’, a2’ und β2’ Stufenwinkel: a1 und a1’, a2 und a2’, β1 und β1’, b2 und β2’, Wechselwinkel: β1’ und β2, a1’ und a2 a) b) c) d) a1 = a2 = a1’ = a2’ = 30°; β1 = β2 = β1’ = β2’ = 180° – 30° = 150° β1 = β2 = β1’ = β2’ = 45° ; a1 = a2 = a1’ = a2’ = 180° – 45° = 135° β2’ = β1’ = β1 = β2 = 60° ; a1 = a2 = a1’ = a2’ = 180° – 60° = 120° a2’ = a1’ = a1 = a2 = 55°; β1 = β2 = β1’ = β2’ = 180° – 55° = 125° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag 43 Lösungen Vermischte Übungen zu Winkeln Seite 33 2 falsch richtig X Stumpfe Winkel sind größer als 180°. Spitze Winkel sind kleiner als 90°. X Der gestreckte Winkel ist doppelt so groß wie der rechte Winkel. X Scheitelwinkel sind zusammen 180° groß. X Nebenwinkel sind gleich groß. X X Stufenwinkel sind gleich groß. 3 Nebenwinkel: α1 und β1, α1 und δ1, γ1 und β1, γ1 und δ1, α2 und β2, α2 und δ2, γ2 und β2, γ2 u und δ2 Scheitelwinkel: α1 und γ1, β1 und δ1, α2 und γ2, β2 und δ2 Stufenwinkel: α1 und γ2, β1 und δ2, γ1 und α2, δ1 und β2 Wechselwinkel: α1 und α2, β1 und β2, γ1 und γ2, δ1 und δ2 4 a) γ = 80°, δ = 60°, ε = 40°, φ = 80° c) α = 90°, β = 76°, γ = 14°, ε = 76° % a) 90° / 270° b) 120° / 240° 240 C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 1 © Persen Verlag b) α = 59°, β = 74° 74°, δ = 59°, φ = 47° d) d β = 44°, γ = 25°, δ = 111°, φ = 25° 2 c) 210° / 150° d) 300° 3 ° / 60° 60 44 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben ben Sie Sie jetzt re Bewertung Bewerrtung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre en IIhree Erfahru ngen mit ab und teilen Sie anderen Kunden Erfahrungen mit. © 2016 Persen Verlag, Hamburg ambu AAP Lehrerfachverlage GmbH fachverlage G Alle Rechte vorbeh vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprüft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Illustrationen: Cover © Stefan Lucas, Grafik in Infokästen © Julia Flasche Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH Bestellnr.: 23596DA1 www.persen.de
