ISME Interstaatliche Maturität für Erwachsene

Matura-Arbeit
Optimierte Wandlung von elektrischer
Energieform in mechanische Energieform und wieder zurück mit einem
Wirkungsgrad > 95%
Verfasser: Matthias Wiesli
Betreuende Lehrperson: Guido Schöb
Abgabetermin: 08.01.2003
ISME Interstaatliche Maturität für Erwachsene, Klasse 6D, 6.Semester
Wil, 28. Dezember 2002, © M. Wiesli
Vorwort
Diese Matura-Arbeit basiert auf einem rein naturwissenschaftlichen Thema. Sie
wird mit physikalischen und mathematischen Voraussetzungen, Vorgängen und
Tatbeständen erklärt und bewiesen. Die Fragestellung dieser Matura-Arbeit beinhaltet, ob eine Energiewandlung von elektrischer- in mechanische Energie und
wieder zurück mit einem Wirkungsgrad > 95% realisiert werden kann. Es wird also
eine doppelte Energiewandlung vollzogen (elektr. -> mech. -> elektr.), was in der
Praxis nicht üblich ist. 95% ist sehr hoch, wenn man bedenkt, dass AKWs einen
Wirkungsgrad von 33% und Elektromotoren von ca. 80% aufweisen und dies bei
einfacher Energieumwandlung. Ziel dieser Arbeit ist, diese Behauptung mittels
theoretischen und praktischen Beispielen zu beweisen. Die Vorgehensmethode
wird in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beinhaltet die theoretische Erklärung,
im zweiten Teil wird das Energiewandlungssystem aufgebaut (Abb. 1) und durch
praktische Messungen der theoretische Block bewiesen und untermauert.
Abb. 1
Energiewandlungssystem
Ein kurzer Überblick soll die grobe Funktionsweise des Energiewandlungssystems
zeigen. Ein piezoelektrischer Wandler, der elektrische- in mechanische Energie
wandelt, wird an einen Ultraschallgenerator angeschlossen und betrieben. Die so
erzeugte mechanische Schwingung wird über den Wellenleiter übertragen und von
einem zweiten Wandler wieder in elektrische Energie in Form von Wechselspannung umgewandelt und durch eine Last absorbiert. Die Last besteht in diesem Fall
aus zwei 230V / 75W Lampen. Der Wandler und der Wellenleiter sind mechanische Resonatoren, die eine Resonanzfrequenz von ca. 20 kHz aufweisen. Der
Generator sorgt dafür, dass dieses Energiewandlungssystem auf der Resonanzfrequenz betrieben wird.
I
Vorwort……………………………………………………………………………… I
Inhaltsverzeichnis
1. Kapitel: Der piezoelektrische Effekt
1.1 Entdeckung……………………………………………………………………. 3
1.2 Mikrostruktur des piezoelektrischen Materials…………………………….. 4
1.3 Polarisation der PZT-Keramik……………………………………………….. 5
1.4 PZT-Keramik unter mechanischer und elektrischer Einwirkung……….... 6
1.5 Elektrisches Ersatzschaltbild der PZT-Keramik…………………………… 7
2. Kapitel: Der elektrische Serie- und Parallelschwingkreis
2.1 Der elektrische Serieschwingkreis………………………………………….. 8
2.2 Der elektrische Parallelschwingkreis………………………………………. 11
2.3 Zusammenfassung des elektrischen Schwingkreises…………………… 13
3. Kapitel: Analogiebeziehung zwischen elektrischem- und
mechanischem Schwingsystem
3.1 Die Energieumwandlung……...…………………………………………….. 14
3.2 Das Federpendel…………………………………………………………......15
3.3 Die harmonische Schwingung……………………………………………... 15
4. Kapitel: Die mechanische Welle
4.1 Wichtige Begriffe…………………………………………………………….. 17
4.2 Die harmonische Longitudinalwelle………………………………………... 17
4.3 Interferenz……………………………………………………………………..19
4.4 Die stehende Longitudinalwelle……………………………………………. 19
5. Kapitel: Der Energiewandler
5.1 Der Verbundsschwinger…………………………………………………..… 21
6. Kapitel: Praktische Berechnung und Beweisführung
6.1 Vorgehen………………………………………………………………………22
6.2 Resonanzfrequenzen und weitere Daten der einzelnen Konverter…..... 22
6.3 Berechnung des Schwingerzwischenstücks…………………………….... 23
6.4 Resonanzkurve des Schwingsystems aufnehmen………………………. 24
6.5 Berechnung der Kompensationsdrossel…………………………………...25
6.6 Berechnung der Last des Schwingsystems…….………………………… 25
6.7 Wirkungsgrad des Schwingsystems bestimmen……….………………… 26
1
Inhaltsverzeichnis
7. Kapitel: Zusammenfassung
7.1 Ergebnisse……………………………………………………………………. 27
7.2 Ausblick…………………………………………………………………….…. 27
7.3 Danksagung………………………………………………………………….. 28
7.4 Quellen- und Literaturverzeichnis………………………………………..… 29
7.5 Elektronische Medien……………………………………………………..… 29
7.6 Interview………………………………………………………………………. 29
7.7 Bildnachweis…………………………………………………………………. 30
2
1. Kapitel: Der piezoelektrische Effekt
1.1 Entdeckung
Sicherlich haben sie schon im Sommer eine Grill-Party veranstaltet. Um das Gas
ihres Grills zu entzünden, benutzten sie gewiss eines dieser Butanzigaretten- oder
Gasfeuerzeugen. Ohne es zu ahnen, wendeten sie den piezoelektrischen Effekt
an. Mit einem kleinen Hammer, der durch betätigen des Feuerzeuges auf einen
piezoelektrischen Kristall schlägt, wird ein Funken erzeugt, der schliesslich das
Gas entzündet.
Bestimmt wurde jetzt bei ihnen die Neugier geweckt, was sich hinter dem
Phänomen „piezoelektrischer Effekt“ verbirgt. Um ihnen die Wirkung und Anwendungen davon näher zu bringen, beginne ich bei seiner Entdeckung.
Das Wort „piezo“ stammt aus dem Griechischen und bedeutet Druck. 1880
entdeckten die Gebrüder Jacques und Pierre Curie das Phänomen
„piezoelektrischer Effekt“. Sie erkannten, dass Druck auf einen Quarzkristall eine
elektrische Aufladung verursacht. Gleichzeitig bemerkten diese auch, dass ein
elektrisches Feld eine Deformation des Kristalls hervorruft. Diese Wirkung wurde
inverser piezoelektrischer Effekt genannt. Von diesem Zeitpunkt an war die
Idee geboren, wie elektrische Energie in mechanische Energie und umgekehrt
gewandelt werden kann.
Die traditionellen piezoelektrischen Materialien sind natürliche Kristalle, wie zum
Beispiel Quarz, Turmalin und Seignettesalz. Vor einigen Jahrzehnten waren
keramische piezoelektrische Materialien entwickelt und ständig verbessert
worden. Sie weisen den Vorteil auf, dass sie hart, chemisch inaktiv (inert),
gegenüber Feuchtigkeit und anderen atmosphärischen Einflüssen unempfindlich
sind. Die keramischen piezoelektrischen Materialien können in verschiedenen
Grössen und Formen hergestellt werden und lassen sich besser als natürliche
Kristalle an die entsprechenden Bedürfnisse anpassen. Die Produktion solcher
keramischer Materialien ist nicht sehr aufwendig noch kostenintensiv. Der
piezoelektrische Effekt kann mit der künstlichen Herstellung solcher Keramiken
stark gesteigert werden. Bevor wir nun die Mikrostruktur des Materials betrachten,
sehen wir uns noch ein paar Anwendungsbeispiele dieses Werkstoffes an.
Mikrofone
Schall- und Ultraschallgeber
Ultraschallreiniger
Zündvorrichtungen
Tonabnehmer
Sensoren
Tastaturen
Drucker (insbesondere Tintenstrahldrucker)
usw.
3
1.2 Mikrostruktur des piezoelektrischen Materials
Die Kristallstruktur des Materials muss asymmetrisch sein, d.h. nicht jedes Ion darf
ein Symmetriezentrum des Gitters darstellen, um diese anisotrope1 Wirkung zu
erhalten. Diese Struktur ist also ein Dipol. Werkstoffe, die diese Eigenschaften
aufweisen, nennt man Ferroelektrika2 oder ferroelektrische Materialien, obwohl
Eisen kein wesentlicher Bestandteil dieser Mischung ist.
Die piezoelektrischen Materialien besitzen die allgemeine Strukturformel
für Perowskit: A2+ B4+ 032-. Es handelt
sich um ein einfaches kubisches
Gitter, an dessen Ecken die AKationen A2+ = Ca2+, Ba2+, Sr2+ oder
Pb2+
sitzen.
Räumlich
zentriert
befindet sich ein B-Kation B4+ = Ti4+
und / oder Zr4+. Um das B-Kation sind
flächenzentriert Sauerstoffionen 032angeordnet. Für diese Arbeit werden
sogenannte PZT-Keramiken (P: Plumb
Z: Zirconate und T: Titanate) mit der
Strukturformel (Pb2+ Zr4+ Ti4+ 032-)
verwendet.
Wird die PZT-Keramik über die CurieTemperatur (ca. 300°C) erhitzt, so
stellt sich die Struktur, wie man in
Abbildung 2.1 erkennen kann ein. Die
Schwerpunkte der positiven und
negativen Ionen-Ladungen fallen im
Würfelmittelpunkt zusammen. Diese
Konfiguration ist nun massgeblich
entscheidend, dass die Elementarzelle
keinen Dipol aufweist.
Die PZT-Keramik wird polarisiert, indem man den Kristall unter Einwirkung eines elektrischen Feldes abkühlen lässt. Auf Grund einer solchen
Behandlung kommt es zu einer Ladungsverschiebung der positiven und
negativen Ionen innerhalb des Kristallgitters. Die Elementarzelle weist nunmehr die Eigenschaften eines elektAbb. 2
Mikrostruktur eines
rischen Dipols auf. (Abb. 2.2). Es entpiezoelektrischen Materials
steht eine tetragonale Struktur.
Die PZT-Keramiken sind Polykristalline und bestehen natürlich nicht nur aus einzelnen Elementarzellen, sondern aus
einer grossen Anzahl Kristallite.
1
2
Eigenart von Kristallen, nach verschiedenen Richtungen verschiedene physikalische Eigenschaften zu zeigen
Ferrum = Eisen, lateinisch
4
1.3 Polarisation der PZT-Keramik
Vor der Polarisation findet man in der Keramik noch ungerichtete Dipole der
Domänen vor (Abb. 3.1). Beim Polarisieren nehmen die elektrischen Momente der
Domänen die kristallografische Vorzugsrichtung ein, die der angelegten Feldrichtung am nächsten liegt. Dieser Vorgang wird bei einer Temperatur, die leicht
unter der Curie-Temperatur liegt vollzogen. Die Dipole haben sich ausgerichtet
und der Kristall hat nun einen elektrischen Moment erhalten (Abb. 3.2). Der ganze
Körper ist dadurch in eine bestimmte Richtung verlängert worden. Hat sich das
Material abgekühlt, so wird das elektrische Feld, das zur Polarisation notwendig
war, wieder entfernt. Zurück bleibt eine remanente Polarisation. Die Dipole
orientieren sich aber nochmals neu. Dies liegt daran, dass die elektrischen
Momente an bestimmte Vorzugsrichtungen im Kristall gebunden sind. Die Dipole
weisen keine absolute Parallelität zur Feldrichtung auf (Abb. 3.3).
Abb. 3
Dipole der Domänen
Wird der Kristall nun mechanisch beansprucht, so verzerrt sich das Kristallgitter
und einige Bereiche verändern ihre Grösse auf Kosten anderer. Durch Anlegen
eines elektrischen Feldes tritt der reversible Effekt ein, d.h. die Domänen ändern
ihre Gestalt und es entsteht eine Dehnung des Kristalls. Durch Anlegen einer
variablen Gleichspannung respektiv einer Wechselspannung kann eine Formänderung der Keramikmasse herbeigeführt werden. Diese ist wiederum
proportional zur angelegten Spannung.
5
1.4 PZT-Keramik unter mechanischer und elektrischer Einwirkung
Betrachten wir nun den piezoelektrischen und den inversen piezoelektrischen
Effekt noch etwas genauer. Anhand der folgenden Illustrationen kann die Wirkung
von mechanischer Beanspruchung und elektrischer Feldstärke auf die PZTKeramik gut erklärt werden.
Abb. 4
Piezoelektrischer- und invers piezoelektrischer Effekt
Vorab noch eine Anmerkung. Die Abmessungsänderungen der obigen Abbildungen sind stark übertrieben. Sie leisten aber eine sehr gute Hilfe, um die
Wirkung, die sich in einem Kristall abspielt , darzustellen.
Abb. 4.1 : Wird ein Spannungsmessgerät an eine nicht beanspruchte PZTKeramik angeschlossen, zeigt das Messinstrument keine Spannung
an.
Abb. 4.2 : Wirkt eine äussere Kraft, in diesem Fall Druck, auf das Material, so ergibt sich durch die Deformation eine Ladungsverschiebung und eine
Spannung tritt auf. Diese Spannung hat die selbe Polarität wie jene,
die zur Polarisation verwendet wurde.
Abb. 4.3 : Unter Zug werden die Dipole in die Länge gezogen und es entsteht
eine entgegengerichtete Polarität, d.h. eine negative Spannung.
Abb. 4.4 : Legt man eine Gleichspannung, die entgegengesetzt der Polarisationsrichtung ist, an die Elektroden, so verkürzt sich der Zylinder.
Abb. 4.5 : Im reziproken Fall zu Abb. 4.4 findet eine Verlängerung des Keramikzylinders statt.
Abb. 4.6 : Wird eine Wechselspannung an die Elektroden des Materials angeschlossen, so verlängert und verkürzt sich die Keramik periodisch zur
Spannung. In dieser Abbildung ist gut zu erkennen, dass nicht nur eine
longitudinale-3, sondern auch eine radiale4 Komponente der Keramik
hervorgeht.
3
4
In der Längsrichtung verlaufend
In Radiusrichtung, von einem Mittelpunkt ausgehend
6
1.5 Elektrisches Ersatzschaltbild der PZT-Keramik
Wie sie aus den vorhergehenden Seiten entnommen haben ist die PZT-Keramik
für die Wandlung der elektrischen in mechanische Energie und umgekehrt
zuständig. Diese Keramik liegt meist in Form von einer Scheibe, einem Ring oder
einem Zylinder vor, die beidseitig mit einer Silberschicht, den sogenannten
Elektroden, versehen ist. Zwischen den Silberschichten befindet sich ein Isolator
mit einer Dielektrizitätskonstante von 1000 bis 5000 (Luft = 1). Dadurch entsteht
eine erhebliche Kapazität, die so genannte Klemmkapazität C0. Für tiefe
Frequenzen < 1000 Hz repräsentiert die PZT-Keramik also praktisch nur eine
Kapazität. Wird jedoch die Frequenz bis in die Nähe der Resonanzfrequenz
erhöht, so gilt das vereinfachte Ersatzschaltbild der Kapazität nicht mehr. Es muss
durch die Schaltung (Abb. 5) ersetzt werden. Sie wird näherungsweise durch die
dynamischen Grössen L: Spule, C: Kapazität, R: Widerstand und eine statische
Grösse C0: Kapazität bestimmt. Das elektrische Gebilde (Abb. 5) muss zwingend
zwei Resonanzfrequenzen, eine Serieresonanz fs und eine Parallelresonanz fp
aufweisen. Praktisch ist die Klemmkapazität C0 gleich oder grösser als die
Kapazität C, was zur Folge hat, dass die beiden Frequenzen fs und fp sehr nahe
beieinander liegen. Dieses Gebilde besitzt natürlich auch eine Impedanz5, die
stark frequenzabhängig ist. Mehr davon im folgenden Kapitel.
Abb. 5
5
Ersatzschaltbild der PZT Keramik
Elektrischer Scheinwiderstand
7
Kapitel 2: Der elektrische Serie- und Parallelschwingkreis
Wie schon im vorhergehenden Kapitel erwähnt, stellt die PZT-Keramik sowohl einen
elektrischen Serie- als auch einen elektrischen Parallelschwingkreis dar. Um nun zu
verstehen, warum das ganze Schwinggebilde in Resonanz betrieben werden muss,
kann anhand dieser getrennt erklärten Schaltungen die Funktion und die Frequenzabhängigkeit veranschaulicht werden.
2.1 Der elektrische Serieschwingkreis
Der reale elektrische Serieschwingkreis besteht aus einer Kapazität C, einer
Induktivität L und einem ohmschen Widerstand R, der fast identisch mit dem Drahtwiderstand der Spule ist (Abb. 6). Der ohmsche Widerstand weist dem zu Folge
einen sehr kleinen Wert auf.
Abb. 6
Reihenschaltung von R, XL und XC
Um die Frequenzabhängigkeit dieser Schaltung zu veranschaulichen, betrachten wir
drei Extrempunkte.
Vorab noch ein paar Bemerkungen für das bessere Verständnis der folgenden
Erklärung. Der ohmsche Widerstand R behält bei jeder beliebigen Frequenz den
gleichen Wert, da er frequenzunabhängig ist. Um die Vorstellung des ganzen Ablaufes zu verdeutlichen, wird diese mittels Zeigerdiagrammen untermauert (Abb. 7).
Wichtig ist, sich vor Augen zu halten, dass R zu UR, XC zu UC und XL zu UL
proportional ist. Der Vektor der Gesamtstromstärke I weist die gleiche Richtung auf
wie der Vektor des Widerstandes R. Da die Stromstärke I der Spannung der
Induktivität um 90° nacheilt, zeigt der Vektor UL senkrecht nach oben. Bei der
Kapazität ist gerade der umgekehrte Fall zu beobachten. Die Stromstärke I ist gegen
über der Spannung der Kapazität 90° voreilend. Der Vektor UC zeigt senkrecht nach
unten. Folglich muss die Kreisfrequenz im Gegenuhrzeigersinn drehen. Z beschreibt
die Impedanz (Scheinwiderstand) der Schaltung, die die Spannungsquelle „sieht“
(Abb. 8).
Abb. 7
Zeigerdiagramm
8
1. XC > XL
Unterhalb der Resonanzfrequenz ist der induktive Blindwiderstand XL sehr klein und
der kapazitive Blindwiderstand XC sehr gross. Dies bedeutet also, dass der grösste
Teil der Speisespannung über der Kapazität abfällt. Die Gesamtstromstärke ist noch
verschwindend klein und die Phasenverschiebung φ zwischen Gesamtspannung und
Spannung über dem ohmschen Widerstand ist ungleich 0°. Die Schaltung arbeitet
im kapazitiven Bereich (Abb. 8).
2. XL > XC
Oberhalb der Resonanzfrequenz geschieht gerade das Umgekehrte. Der kapazitive
Blindwiderstand XC ist sehr klein und der induktive Blindwiderstand XL ist sehr gross.
Der Spannungsabfall über der Spule ist wesentlich grösser, als der der Kapazität.
Für die Gesamtstromstärke ändert sich nichts, sie weist wie in Fall 1 einen sehr
kleinen Wert auf. Auch bei hohen Frequenzen erhalten wir eine Phasenverschiebung
φ, die jedoch positiv ist zwischen Gesamtspannung und Spannung über dem
ohmschen Widerstand. Die Schaltung arbeitet jetzt im induktiven Bereich (Abb. 8).
3. XC = XL
Der Sonderfall ist erreicht, falls der kapazitive Blindwiderstand XC gleich dem
induktiven Blindwiderstand XL ist. Dieser Zustand tritt nur bei einer ganz bestimmten
Frequenz, der sogenannten Resonanzfrequenz auf. Aus dem Zeigerdiagramm
(Abb. 8) ist ersichtlich, dass sich die beiden Blindwiderstands-Vektoren gegenseitig
aufheben, da sie gegengerichtet sind. Dies bedeutet nun, dass die Spannungsquelle
nur noch den ohmschen Widerstand R „sieht“. Es besteht aus diesem Grund keine
Phasenverschiebung φ zwischen UR und der Quellenspannung (φ = 0°). Die
Gesamtstromstärke I hat nun ihren maximalen Wert erreicht. Sie wird durch die
Speisespannung U und den ohmschen Widerstand R bestimmt (Abb. 9).
Man darf jetzt jedoch nicht annehmen, dass über der Kapazität und der Induktivität
keine Spannung abfällt, weil sich die beiden Vektoren gegenseitig aufheben. Diese
Spannung lässt sich nun mittels der Gesamtstromstärke und dem jeweiligen Blindwiderstand berechnen. Es dürfte nun klar sein, dass die beiden Spannungen über der
Kapazität und der Induktivität den gleichen Wert aufweisen. Der elektrische
Serieschwingkreis stellt für die Resonanzfrequenz praktisch einen Kurzschluss dar.
Aus diesem Grund erreicht die Gesamtstromstärke ihr Maximum. Wir erhalten mit
einer minimal zugeführten Leistung die maximale Amplitude über der Kapazität und
der Induktivität.
Die Resonanzfrequenz lässt sich mittels der Thomsonschen Schwingungsformel
berechnen:
f
Re s
=
1
2π L * C
9
Abb.8
Zeigerdiagramme für den Serieschwingkreis bei verschiedenen
Blindwiderstandswerten
Abb.9
Resonanzkurven des Serieschwingkreises
10
2.2 Der elektrische Parallelschwingkreis
Nach der Darstellung des elektrischen Serieschwingkreises, dürfte uns der
elektrische Parallelschwingkreis keine grossen Probleme mehr bereiten. Da nun die
Eigenschaften der Kapazität, Induktivität und des ohmschen Widerstandes klar sind,
wird der Parallelschwingkreis nur noch kurz besprochen (Abb. 10). Sollten gewisse
Erklärungen Schwierigkeiten bereiten, wird empfohlen, das vorhergegangene Kapitel
nochmals zu studieren.
Die Quellenspannung U verursacht den Wirkstrom IR (phasengleich mit U), den
induktiven Blindstrom IL (90° nacheilend gegenüber U: Vektor zeigt senkrecht nach
unten) und den kapazitiven Blindstrom IC (90° voreilend gegenüber U: Vektor zeigt
senkrecht nach oben) (Abb. 11).
Abb. 10
Parallelschaltung von R, XL und XC
Wie im Beispiel des elektrischen Serieschwingkreises werden wir das Zeigerdiagramm zur Veranschaulichung und zum besseren Verständnis der Schaltung
beiziehen. Diesmal ist zu beachten, dass die Spannung der Bezugszeiger
(waagrechte Achse) ist, da über allen parallelen Bauelementen die gleiche Spannung
liegt (Abb. 11).
Abb. 11
Zeigerdiagramme für den Parallelschwingkreis bei verschiedenen
Stromwerten
11
Wiederum betrachten wir drei Extrempunkte.
Zu erwähnen ist, dass die Schaltung, bei der sich der ohmsche Widerstand in Serie
zur Induktivität befindet, sehr schwer in einem Zeigerdiagramm darzustellen ist. Um
dies zu erleichtern wird das Schaltbild in Abb. 11 verwendet, wo der Seriewiderstand
mittels einer Rechnung durch einen Parallelwiderstand ersetzt wird.
1. IL > IC
Unterhalb der Resonanzfrequenz ist der induktive Blindwiderstand XL sehr klein.
Daraus folgt, dass die Stromstärke durch die Spule am grössten ist. Es tritt eine
Phasenverschiebung φ zwischen IR und I auf, die jedoch negativ ist (Abb. 11).
2. IC > IL
Oberhalb der Resonanzfrequenz weist der kapazitive Blindwiderstand einen sehr
kleinen Widerstandswert auf. Somit ist nun klar, dass die Stromstärke IC am grössten
ist. Durch die geometrische Addition der Vektoren IR und IC - IL erhält man die
Gesamtstromstärke I. Es tritt eine positive Phasenverschiebung φ auf (Abb. 11).
3. IC = IL
Die Resonanzbedingung ist erfüllt, wenn IC = IL ist. Addiert man die beiden Vektoren
IC und IL, so heben sie sich gegenseitig auf und IR entspricht nun I. Da jetzt nur noch
rein ohmsche Elemente wirksam sind, kann keine Phasenverschiebung auftreten,
d.h. der Phasenverschiebungswinkel φ = 0° (Abb.11).
Das bedeutet, dass der Gesamtwiderstand im Resonanzfall am grössten ist und zwar
wesentlich grösser als der kapazitive bzw. der induktive Parallelwiderstand. Durch
die Spule und den Kondensator fliessen daher grössere Ströme als in der Zuleitung
der Speisung. Die Gesamtstromstärke erreicht ihr Minimum.
Wie schon beim elektrischen Serieschwingkreis erwähnt wurde, fällt auch über der
Spule und dem Kondensator eine Spannung ab. Die Ströme IL und IC haben ihre
maximale Amplitude. Der Parallelschwingkreis stellt bei der Resonanzfrequenz
theoretisch einen unendlich grossen Widerstand dar. Die untenstehende Resonanzkurve zeigt den Verlauf der Impedanz Z und des Stromes in Funktion der Frequenz
(Abb. 12).
12
Abb. 12
Resonanzkurven des Parallelschwingkreises
2.3 Zusammenfassung des elektrischen Schwingkreises
Wie schon am Anfang dieses Kapitels erwähnt, besitzt die PZT-Keramik in einem
bestimmten Frequenzbereich zwei Resonanzfrequenzen. Sie stellt aus diesem
Grund bei einer bestimmten Frequenz einen Serieschwingkreis respektiv einen
Parallelschwingkreis dar. Daraus ergibt sich Frequenzabhängigkeit dieser beiden
Zustände. Für den weiteren Verlauf dieser Arbeit betrachten wir nur noch den
Parallelschwingkreis, da das ganze System in dieser entsprechenden Resonanzfrequenz betrieben wird. Auf die Frage hin, warum dies so ist, finden wir die Antwort
auf der elektrischen Seite, d.h. auf der Seite des Generators, der uns das elektrische
Signal erzeugt. Dieser arbeitet mit der Parallelresonanz, weil dieses Signal besser
regulierbar ist als das Signal der Serieresonanz.
Wir wiederholen nochmals den wichtigsten Punkt, nämlich den Parallelresonanzfall.
Im Parallelresonanzfall wird die maximale Amplitude der Spannung und die kleinste
Stromstärke erreicht (Abb. 12). Dies liegt an der Tatsache, dass sich die induktiveund kapazitive Komponente gegenseitig aufheben. Für den Generator ist nur noch
der relativ grosse ohmsche Widerstand relevant.
13
3. Kapitel: Analogiebeziehung zwischen elektrischem- und mechanischem
Schwingsystem
3.1 Die Energieumwandlung
Der elektrische Serie- und Parallelschwingkreis ist uns aus dem vorhergehenden
Kapitel bestens bekannt. Da wir in unserem Schwingsystem nicht nur mit
elektrischen-, sondern auch mit mechanischen Komponenten arbeiten werden,
wird das Umsetzen vom Elektrischen ins Mechanische genauestens behandelt.
Wie kann nun das Elektrische ins Mechanische umgewandelt werden? Sind dies
nicht zwei komplett verschiedene Gebiete der Physik? Obwohl wir hier mit zwei
verschiedenen Bereichen der Physik arbeiten, gilt für diese Beiden dasselbe. Dies
liegt an einem der wichtigsten Themenkreise der Physik => die Umwandlung der
Energie in andere Energieformen (z.B.: elektrische Energie in Schwingungsenergie).
Dieses Kapitel ist sehr wichtig für das weitere Verständnis der Energieumsetzung.
Um die Übersicht zu behalten, wird auf der linken Seite die elektrische und auf der
rechten Seite die entsprechende mechanische Komponente aufgelistet.
Gewisse Vergleiche müssen als vorgegeben betrachtet werden, weil es nicht
möglich ist, in jedem Bereich bis ins letzte Detail Erklärungen zu liefen, dies würde
den Rahmen dieser Matura-Arbeit sprengen.
Elektrische Komponente:
Mechanische Komponente:
Kapazität C
Federkonstante D
Induktivität L
Masse m
Resonanzfrequenz:
Resonanzfrequenz:
f
Re s
=
1
f
2π L * C
Re s
1
=
2π
D
m
Energie W
Energie W
Stromstärkenänderung i
Geschwindigkeit v
Ladung Q
Elongation s
W =
1 2 1 1  2
Li +  Q = kons tan t
2
2C 
W =
14
1 2 1 2
mv + Ds = kons tan t
2
2
3.2 Das Federpendel
Für die Analogiebeziehung zwischen elektrischem- und mechanischem Schwingsystem wurde für die mechanische Komponente die physikalischen Eigenschaften
des Federpendels eingesetzt.
Das Federpendel besteht aus einer Schraubenfeder, die an einem Punkt fixiert
und am anderen Ende eine Masse angehängt ist (Abb. 13). Die Anordnung des
Federpendels muss nicht vertikal sein, es darf auch eine horizontale oder andere
beliebige Lage aufweisen. Wird die Masse mittels einer äusseren Krafteinwirkung
aus ihrer Gleichgewichtslage gebracht, beginnt diese nach oben und unten zu
schwingen (im vertikalen Fall). Wiederum entstehen zwei entgegengerichtete
Kräfte, deren Beträge in der Gleichgewichtslage gleich gross sind. Einerseits die
Gewichtskraft FG, die nach unten wirkt und anderseits die Rückstellkraft FR, die in
Richtung der Federaufhängung zeigt. Die hin und her Bewegung der Masse ist
periodisch und wird deshalb auch als Schwingung bezeichnet. Ist keine Reibung
vorhanden, d.h. die ausgeführte Bewegung wird nicht gedämpft, so spricht man
von einer harmonischen Schwingung.
Abb. 13
Federschwinger
3.3 Die harmonische Schwingung
Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine ungedämpfte
Schwingung mit konstant bleibender Amplitude. Voraussetzung für eine solche
Aussage ist aber, dass die Reibungsvorgänge null sind. Diese harmonische
Schwingung kann durch eine Sinusfunktion beschrieben werden. Wiederum wird
Sinusfunktion mittels einer gleichförmigen Kreisbewegung hergeleitet (Abb. 14).
Beobachtet wird ein Punkt, der sich auf dem Umfang des Kreises (im Zeitpunkt
t = 0 ⇒ ϕ = 0) befindet und mit konstanter Drehzahl im mathematisch positiven
Sinn, d.h. linksumlaufend, alle vier Quadranten des Einheitskreises passiert. Mit
dieser Umdrehung wird ein Winkel ϕ eingeschlossen. Die Projektion auf die
y-Achse zeigt nun eine Pendelbewegung. Wird jetzt der Faktor Zeit ins Spiel
gebracht und die y-Achse in einer bestimmten Geschwindigkeit über die x-Achse
gezogen, so entsteht eine Sinusfunktion. In einer Periode (entspricht 360° oder
2π) erreicht die Sinusfunktion zwei Maxima, ein Positives in π/2 und ein Negatives
in Punkt 3π/2.
15
Abb. 14
Herleitung der harmonischen Schwingung mittels einer gleichförmigen
Kreisbewegung
Die Abbildung 14 ist für das weitere Vorgehen sehr wichtig. Dies liegt daran, dass
die verwendeten Konverter, d.h. die Komponenten, die für den Umsatz von
elektrischer Energie in mechanische Energie verantwortlich sind, mit dieser Art
von Schwingung arbeiten. Um dies aber genauer verstehen zu können benötigen
wir noch mehr Wissen über die Wellenlehre. Die Antwort auf diese Fragen wird
erst in einem späteren Kapitel gegeben.
Wir haben nun aufgezeigt, wie eine harmonische Schwingung zustande kommt.
Im nächsten Kapitel befassen wir uns mit der Wellentheorie, die für diese Arbeit
unumgänglich ist. Dort ersehen wir sofort, warum wir zuerst das einzelne Pendel
behandelt haben. Denn vereinfacht gesagt, besteht eine mechanische Welle aus
einzelnen miteinander gekoppelten Pendeln.
16
Kapitel 4: Die mechanische Welle
4.1 Wichtige Begriffe
Bevor wir nun eines der letzten grossen Kapitel, die Wellentheorie, studieren,
werden wir zuerst den Zusammenhang von Schwingung und Wellen betrachten.
Schwingung:
«Periodische Bewegung eines Pendels um eine Gleichgewichtslage mit
periodischer Umwandlung der Schwingungsenergie aus der potentiellen in die
kinetische Form und umgekehrt.»6
Welle:
«Ausbreitung einer Schwingung durch Übertragung der Bewegung auf
benachbarte Pendel.»7
Wie schon erwähnt, wird elektrische Energie in mechanische Energie gewandelt
und somit übertragen. Aber wie muss man sich diese mechanische Übertragung
vorstellen? Wellen übertragen somit Energie, ohne dass dies mit einem Materialtransport verbunden ist. In dieser Projektarbeit handelt es sich um Longitudinalwellen. Was Longitudinalwellen sind und welche Eigenschaften sie haben, wird in
diesem Kapitel ausführlich beschrieben. Natürlich kann vieles vom Wissen der
Transversalwellen übernommen werden.
4.2 Die harmonische Longitudinalwelle
Die Longitudinalwelle ist wie folgt definiert:
«Eine Welle, bei der sich die einzelnen Teilchen in der Ausbreitungsrichtung der
Welle bewegen, bezeichnet man als Längswelle oder Longitudinalwelle.»8
Mittels dieser Definition, fällt es uns wahrhaftig schwer, eine klare Vorstellung über
diese Art von Welle zu erhalten. Aus diesem Grund greifen wir wieder auf die
Modelldarstellung zurück, die uns helfen soll, ein klareres Bild über diesen
Wellentyp zu erhalten. Es handelt sich um einzelne Massenpunkte die an der
Decke befestigt und durch Schraubenfedern lose gekoppelt sind (Abb. 15).
Abb. 15
6
7
8
Modelldarstellung einer Longitudinalwelle
Physik für Einsteiger, S. 134
Physik für Einsteiger, S. 135
AKAD Physik II 9, Wellen I: Grundlegende Begriffe, S. 20
17
Wird nun der erste Massenpunkt durch auslenken aus seiner Ruhelage gebracht
und wieder losgelassen, so schwingt dieser um seine Gleichgewichtslage, bis er
zur Ruhe kommt. Wegen der Kopplung durch eine Schraubenfeder, wird die
Schwingung auf das rechts benachbarte Teilchen, zeitlich verzögert, übertragen.
Diese Störung wird nun von Teilchen zu Teilchen weitergegeben (Abb. 16).
Verdünnung
Verdichtung
Abb. 16
Momentanbilder der Schwingungszustände der einzelnen Teilchen
Betrachten wir das Teilchen 0 über einen bestimmten Zeitabschnitt in Abbildung
16 genauer, so können wir durch geistiges Verbinden dieser Massenpunkte 0 eine
Sinuswelle erkennen. Diese erkennbare Welle nennt man harmonische Longitudinalwelle. In Abbildung 16 wird sehr gut dargestellt, wie einzelne Massenpunkte
näher zueinander stehen als andere (bezogen auf die Gleichgewichtslage). Aus
dieser Erkenntnis kann abgeleitet werden, dass im schwingenden Material Verdichtungen (Massenpunkte liegen nahe beieinander) und Verdünnungen (Massenpunkte liegen weiter auseinander) entstehen. Jetzt wird automatisch klar, dass das
Material unter mechanischer Einwirkung einem enormen Stress ausgesetzt ist,
das es einerseits verdichtet und anderseits gezogen wird. Ist die wirkende Amplitude (Maximalwert der Sinuswelle) zu gross, kann dies zu Rissen im Material
führen.
Zusammenfassend nochmals die wesentlichsten Punkte einer Welle:
Jedes einzelne Pendel in der Kette führt eine harmonische Schwingung um
seine Gleichgewichtslage aus.
Die Übertragung der Schwingung auf das benachbarte Pendel entsteht infolge
der Kopplung.
Infolge der Trägheit schwingen die Pendel nicht synchron, sondern in zeitlicher
Verzögerung, was eine zunehmende Phasenverschiebung hervorruft. Die
Ausbreitung erfolgt mit endlicher Geschwindigkeit c, die von der Kopplung und
der Trägheit der Pendel abhängt.
Die Energie wird von Pendel zu Pendel übertragen. Diese wandert mit der
Welle über die Pendelkette. Die Energie wird am Ende reflektiert und wandert
wieder zum Ursprungsort zurück.
18
4.3 Interferenz
Wie erwähnt wird am Ende der Pendelkette die Energie reflektiert und die Welle
läuft wieder zurück. Es entstehen sogenannte Überlagerungen (Interferenzen). Bei
der Überlagerung addieren sich die Elongationen zur resultierenden Welle (Prinzip
der ungestörten Superposition).
4.4 Stehende Wellen
In unserem System besitzt die stehende Welle die grösste Bedeutung. Das
Zwischenstück der beiden Konverter wird genau auf die Resonanzfrequenz der
Schwinger abgestimmt, d.h. in unserem Fall 20 kHz.
«Stehende Wellen ergeben sich als Ergebnis der Interferenz zweier
gegeneinanderlaufender Wellen mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz.»9
Am Koordinatenursprung x = 0 wird die akustische Welle erregt, dies bedeutet, es
bildet sich dort ein Schwingungsknoten. Am festen Ende, wo die Welle reflektiert
wird, befindet sich stets ein Schwingungsknoten (Abb. 17). Ist das Ende hingegen
offen, entsteht an dieser Stelle ein Schwingungsbauch. Dies ist bei unserem
System der Fall. Wie diese Abbildung zeigt, folgt auf einen Wellenbauch ein
Wellenknoten. Der Abstand von Wellenbauch zu Wellenbauch respektiv der
Abstand Wellenknoten zu Wellenknoten beträgt immer eine halbe Wellenlänge,
d.h. λ/2. Obwohl die stehende Welle aus zwei gegeneinanderlaufenden Wellen
besteht, sieht der Betrachter eine am Ort bleibende Welle. Konzentrieren wir uns
auf ein einzelnes Teilchen, z.B. auf das mit max. Amplitunde, so führt dieses
immer eine Bewegung um die Gleichgewichtslage aus. Beim Wellenknoten
verharrt das betreffende Teilchen in seiner Ruhelage.
Schwingungsbauch
Abb. 17
9
Schwingungsknoten
Stehende Welle
Ultraschalltechnik, S. 22
19
Wir haben nun das Wichtigste der Wellentheorie erarbeitet. Wiederum stellt sich
das Problem, wie man von der Modellvorstellung die einzelnen Bereiche auf das
Gesamtbild übertragen kann. Hier zeigen sich denn schon die ersten
Schwierigkeiten. Die folgende Abbildung stellt das Gesamtsystem mit den eingetragenen Schwingungen dar. Diese Darstellung zeigt uns zum ersten Mal den
ganzen Aufbau des Systems mit seinem Schwingungserregerzentrum. Anhand
Abbildung 18 können noch bestehende Unklarheiten beseitigt werden.
Erregungszentrum
Abb. 18
Offenes
Ende
Gesamtsystem der Schwingungserzeugung und Übertragung
Wie bei den meisten Darstellungen handelt es sich um eine stark vereinfachte
Abbildung. Ihnen ist bestimmt beim Betrachten des Schwingsystems aufgefallen,
dass das Zwischenstück viel länger ist als der einzelne Konverter. Dies liegt aber
nur daran, dass der Konverter im Original eine ganz andere Bauform aufweist, als
der hier dargestellte Körper und ist deshalb für uns ohne Bedeutung.
Das PZT ist also der Erreger der Sinuswelle, die sich nach rechts aber auch nach
links ausbreitet. Wie schon erwähnt, handelt es sich um eine stehende Welle mit
Frequenz von 20 kHz. Da das Schwingsystem auf beiden Seiten nicht fixiert, d.h.
offen ist, befindet sich an beiden Konverterenden ein Schwingungsbauch.
Die Longitudinalwelle breitet sich im festen Medium aus. Dies ist eine sehr
wichtige Erkenntnis und Eigenschaft dieses Wellentyps. Wäre dies nicht wie
erwähnt, würde unser Schwingsystem nicht funktionieren.
20
5. Kapitel: Der Energiewandler
5.1 Der Verbundsschwinger
Für das Experiment werden sogenannte Verbundsschwinger verwendet. Sie
bestehen aus PZT-Keramiken, die zwischen zwei Massen festgeklemmt sind
(Abb. 19). Die PZT-Keramiken werden mit einer Schraube, die die beiden
Endmassen miteinander verbindet, mechanisch vorgespannt. Das Vorspannen der
Keramiken hat einen ganz bestimmten Grund. Eine ganz wichtige Eigenschaft von
Keramiken ist, dass man auf sie einen sehr grossen Druck ausüben kann aber sie
nicht auf Zug belasten darf (Bruchgefahr). Im eingebauten Zustand ist das PZT
einem sehr hohem Druck ausgesetzt. Dadurch verformt sich die Keramik
mechanisch, d.h. sie wird etwas dünner nimmt aber im Radiusmass zu. Da nun
ein PZT bei angelegter Wechselspannung zu schwingen beginnt, wird es durch
die Vorspannung nie seine ursprüngliche Länge aufweisen. Folglich wird das PZTMaterial nie auf Zug belastet.
Wir verwenden Schwinger, die auch Konverter genannt werden, die eine Parallelresonanzfrequenz von 20 kHz besitzen. Diese Schwinger wurden so konzipiert,
dass ihre Länge λ/2 entspricht (Abb. 19).
Endmassen
PZT-Keramiken
Abb. 19
Verbundsschwinger
21
6. Kapitel: Praktische Berechnung und Beweisführung
6.1 Vorgehen
In den letzten Kapiteln haben wir uns intensiv mit dem theoretischen Wissen
dieser Matura-Arbeit auseinandergesetzt. Jetzt gilt es, die Theorie in die Praxis
umzusetzen. Das Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, dass man anhand dieser
Methode der Energieumsetzung einen sehr hohen Wirkungsgrad erreichen kann.
Das Vorgehen der praktischen Arbeit sieht wie folgt aus:
Resonanzfrequenzen und weitere Daten der einzelnen Konverter aufnehmen
Berechnung des Schwingerzwischenstücks
Resonanzkurve des Schwingsystems aufnehmen
Berechnung der Kompensationsdrossel
Berechnung der Last des Schwingsystems
Wirkungsgrad des Schwingsystems bestimmen
6.2 Resonanzfrequenzen und weitere Daten der einzelnen Konverter
Wie erwähnt werden für dieses System zwei Konverter mit einer Parallelresonanzfrequenz von 20 kHz verwendet. Zur Beweisführung wurden die beiden Schwinger
im uneingebauten Zustand mit einem speziellen Messgerät, das konstruiert wurde,
um solche Daten aufzunehmen, ausgemessen.
In Tabelle 1 sind die gemessenen Werte aufgeführt:
Konvertertyp:
SE/20-20 B Nr.: 817
SE/20-20 B Nr.: 846
Serieresonanzfrequenz:
fs = 20769 Hz ≤±10-6 Hz/Tag10
fs = 20781 Hz ≤±10-6 Hz/Tag
Serie-Impedanz:
Zs = 37.702 Ohm ±0.6%
Zs = 44.548 Ohm ±0.6%
Parallelresonanzfrequenz:
fp = 21425 Hz ≤±10-6 Hz/Tag
fp = 21432 Hz ≤±10-6 Hz/Tag
Parallel-Impedanz:
Zp = 74.502 kOhm ±0.6%
Zp = 60.463 kOhm ±0.6%
Kapazität:
C0 = 4.16 nF ±0.7%+3 counts
C0 = 4.10 nF ±0.7%+3 counts
Aus der obigen Tabelle ist ersichtlich, dass die Frequenzen eine gewisse
Abweichung von der genannten 20 kHz haben. Einerseits ergeben sich solche
Abweichungen durch die Toleranzen des Materials, das man verwendet. Die
Frequenzen der Konverter liegen noch höher als die gewünschten Frequenzen, da
es noch möglich sein muss, das Gesamtsystem auf die erwünschte 20 kHz
abzustimmen.
10
-6
Bleibt das Gerät 24h eingeschaltet, so beträgt der Frequenzdrift ≤±10 Hz pro Tag
22
Von den beiden einzelnen Schwingern wurden nicht nur die Resonanzfrequenzen
und die Impedanzen aufgenommen, sondern es wurden auch ihre Spannungen,
Ströme, Schein- und Wirkleistungen im Leerlauf gemessen.
In Tabelle 2 sind die gemessenen Werte aufgeführt:
Konvertertyp:
SE/20-20 B Nr.: 817
SE/20-20 B Nr.: 846
Spannung (Effektivwert):
Ueff = 390 V ±0.5%
Ueff = 410 V ±0.5%
Stromstärke
(Effektivwert):
Ieff = 0.480 A ±0.5%
Ieff = 0.480 A ±0.5%
Wirkleistung:
PW = 3 W ±0.5%
PW = 3.2 W ±0.5%
Scheinleistung:
S = 190 VA ±0.5%
S = 200 VA ±0.5%
Wiederum sieht man minimale Unterschiede bei gewissen Messdaten der beiden
Konverter. Einerseits handelt es sich auch hier um Materialtoleranzen und
anderseits liegen Messfehler resp. Ablesefehler der analogen Anzeigen vor. Bei
diesen Messungen wird zum ersten Mal ersichtlich, dass die Konverter im Leerlauf
nicht in der Resonanzfrequenz betrieben werden, da sich eine recht hohe
Scheinleistung messen lässt. Der Grund dafür liegt auf der Seite des Generators.
Da der Schwinger nicht belastet ist, hat der Generator Probleme auf Phase Null zu
regulieren.
6.3 Berechnung des Schwingerzwischenstücks
Wie wir aus dem vorhergehenden Kapitel gelernt haben, entstehen stehende
Wellen, wenn ihre Wellenlänge λ/2 oder ein Vielfaches von λ/2 betragen. Ich habe
mich für eine Wellenlänge von λ/2 entschieden, damit das System nicht zu gross
wird. Für die Berechnung der Länge des Verbindungsteiles benötigen wir nur die
Parallelresonanzfrequenz fp und die Schallausbreitungsgeschwindigkeit c des
Materials. Das Zwischenstück wird wie die Konverter aus Aluminium hergestellt.
Zur Berechnung von λ/2 nehmen wir den Frequenzwert 20 kHz und nicht einen
gemessenen Wert. Das zu berechnende Zwischenstück muss nach seiner
Fertigung durch spezielle Messinstrumente auf die gewünschte Frequenz
abgeglichen werden. Aus diesem Grund spielt es keine Rolle, ob wir mit der
gemessenen oder der theoretischen Parallelresonanzfrequenz rechnen.
geg: c = 5420 m/s (Schallausbreitungsgeschwindigkeit des reinen Aluminiums)
fp = 20000 Hz
ges: λ/2 [m]
Lös: λ =
c 5240m / s
=
= 0.262m
f 20000 Hz
λ
2
=
0.262m
= 0.131m
2
Das Schwingerzwischenstück muss also ungefähr die Länge 0.131 m haben.
23
6.4 Resonanzkurve des Schwingsystems aufnehmen
Das gesamte Schwingungssystem wird nochmals ausgemessen, um die Parallelresonanzfrequenz des Schwingers zu bestimmen. Für diesen Zweck wurde eine
sogenannte Resonanzkurve gedruckt, die unter anderem den Phasengang φ und
den Impedanzverlauf Z bei einem bestimmten Frequenzband zeigt (Abb. 20).
Impedanzverlauf Z
Punkt 1
Phasengang φ
Punkt 2
Abb. 20
Resonanzkurve des Gesamtsystems
Anmerkung:
Fr
Fa
C0
Zr
Za
=
=
=
=
=
fs
fp
C0
Zs
Zp
(Fr : englischer Ausdruck für Serieresonanzfrequenz)
(Fa : englischer Ausdruck für Parallelresonanzfrequenz)
(C0 : englischer Ausdruck für Klemmkapazität)
(Zr : englischer Ausdruck für Serie-Impedanz)
(Za : englischer Ausdruck für Parallel-Impedanz)
Die oben ersichtliche Kurve zeigt sich in einem Frequenzband zwischen 19800 Hz
und 20100 Hz. Die eine Kurve stellt den Impedanzverlauf Z dar und die andere
Kurve den Phasengang φ. Wir wollen zwei sehr interessante Punkte dieser Kurve
betrachten, die unser schon angeeignetes Wissen untermauern. In Punkt 1 der
Abbildung sehen wir, dass die Phasenverschiebung φ einen Winkel von 0°
aufweist. Die Impedanz Z erreicht genau an diesem Punkt ihr Minimum, d.h. der
kapazitive- und der induktive Blindwiderstand heben sich auf und es herrscht nur
noch ein rein ohmscher Wert. Dort befindet sich also die Serieresonanzfrequenz fs
des Schwingers. Dasselbe gilt nun auch für die Parallelresonanzfrequenz fp. Nur
erreicht an diesem Punkt 2 die Impedanz Z ihr Maximum und Phasenverschiebungswinkel beträgt wie im Serieresonanzfall 0°.
24
6.5 Berechnung der Kompensationsdrossel
Wie wir bereits wissen, wird an einem Ende unseres Schwingungssystems der
Generator und am anderen Ende die Glühbirnen angeschlossen. Die Kapazität C0
auf Seite der Stromquelle wird mit der Induktivität des Generators kompensiert.
Den Grund dafür kennen wir bereits vom elektrischen Schwingkreis her. Wir
wollen das Schwingsystem in seiner Resonanzfrequenz betreiben und müssen
daher die kapazitive- mit einer induktiven Komponente kompensieren. Dadurch
erhalten wir die reine Wirkleistung und keine Blindleistung. Da der Konverter am
Schwingsystemende auch eine Kapazität C0 besitzt, muss diese auf gleiche Weise
kompensiert werden wie die Kapazität C0 des Anfangkonverters. Dazu muss also
eine Induktivität berechnet werden, die dazu führt, dass der Ausgang, im Falle der
Resonanz, nur eine rein ohmsche Komponente darstellt. Ganz einfach gesagt,
muss der Ausgangskreis mit einer Induktivität ergänzt werden, damit überhaupt
ein Schwingkreis entstehen kann.
Berechnung:
Im Fall der Resonanz gilt: XL = XC
geg: C0 = 4.10*10-9 F (Ausgangskonverter: SE/20-20 B Nr.: 846)
f = 20000 Hz
ges: L [H]
Lös: XC =
L=
1
1
=
= 1941Ω = XL
ω * C 0 2 * Π * 20000 Hz * 4.1 * 10 −9
XL
ω
=
1941Ω
= 0.0154 H
2 * Π * 20000 Hz
Die Kapazität C0 vom Endkonverter muss also mit einer Induktivität L = 0.0154 H
kompensiert werden.
6.6 Berechnung der Last des Schwingsystems
Der Generator, der das Gesamtsystem speist, ist eine Konstantstromquelle.
Gemäss den Herstellungsdaten besitzt der Generator eine maximale effektive
Stromstärke von 0.5 A und eine effektive Spannung von 460V. Da im Resonanzfall
der Schwingkreis eine rein ohmsche Eigenschaft besitzt, kann die entstehende
Wirkleistung wie folgt berechnet werden:
PW = Ueff * Ieff = 460V * 0.500 A = 230W
Um den Generator nicht an seinem Limit zu betreiben, verringern wir die Leistung
auf 150 W. Diese 150 W können wir sehr gut mit zwei 75 W Glühbirnen
realisieren.
25
6.7 Wirkungsgrad des Schwingsystems bestimmen
Damit die gemessenen Leistungen allenfalls mathematisch kontrolliert werden
können, wurden nicht nur die Schein- und Wirkleistung gemessen sondern auch
die effektive Spannung und die effektive Stromstärke.
Tabelle 3 zeigt die erhaltenen Messwerte:
Messort:
Eingang/Generatorseitig:
Ausgang/Lastseitig:
Spannung
(Effektivwert):
Ueff = 700 V ±0.5%
Ueff = 460 V ±0.5%
Stromstärke
(Effektivwert):
Ieff = 0.310 A ±0.5%
Ieff = 0.310 A ±0.5%
Wirkleistung:
PW = 150 W ±0.5%
PW = 145 W ±0.5%
Scheinleistung:
S = 215 VA ±0.5%
S = 145 VA ±0.5%
Generatorseitig messen wir eine Scheinleistung von 215 VA und eine Wirkleistung
von 150 W. Es lässt sich also erkennen, dass hier keine optimale Anpassung
erfolgt, da die Scheinleistung grösser als die Wirkleistung ist und somit eine
Phasenverschiebung vorhanden sein muss. Die Begründung ist nicht ganz
einfach. Die Tatsache ist, dass der Generator einen kleinen Anpassungsfehler
aufweist, da er nicht genau auf den Phasenverschiebgungswinkel φ = 0° regeln
kann. Wird der Ausgang stärker belastet, so nimmt die Eingangsspannung
automatisch zu, in unserem Fall Ueff = 700 V, da die Impedanz des Gesamtsystems ansteigt und die Stromstärke des Generators, der eine Konstantstromquelle ist, stabil bleibt.
Ganz anders sieht es lastseitig aus. Scheinleistung und Wirkleistung haben den
gleichen Wert. Am Ausgang ist also die Phasenverschiebung zwischen Strom und
Spannung 0° und damit ist der Parallelschwingkreis in Resonanz und rein ohmsch.
Dem zu Folge ist auch klar, dass die effektive Eingangsspannung grösser sein
muss als die effektive Ausgangsspannung.
Wir wollen nun den Wirkungsgrad des Gesamtsystems berechnen und zeigen,
dass dieser sehr gross ist, was auch das Ziel dieser Matura-Arbeit ist.
η=
145W
PAusgang
* 100 = 96.7%
* 100 =
150W
PEingang
Der Wirkungsgrad beträgt also unglaubliche 96.7%, was ausserordentlich hoch ist.
In diesem Kapitel lässt sich aus all den aufgeführten Daten erkennen, dass diese
Art der Energieumsetzung beinahe verlustfrei ist. Die restlichen 3.3% der Leistung
werden von den Konvertern in Wärme umgesetzt.
26
7. Kapitel: Zusammenfassung
7.1 Ergebnisse
Zum Schluss wollen wir noch zusammenfassen und diskutieren. Das Ziel dieser
Matura-Arbeit ist, einen Beweis zu erbringen, dass durch eine optimierte
Energieumwandlung von elektrischer Energie in mechanische Energie und wieder
zurück ein Wirkungsgrad von über 95% erreicht werden kann. Dieser Beweis
wurde durch einen praktischen Aufbau und eine theoretische Erläuterung erbracht. Mit dieser Art von Energieumsetzung wurde gezeigt, dass sogar ein
Wirkungsgrad von 96.7% möglich ist. Wie wir alle wissen, ist dies ein sehr hoher
Wert, wenn wir ihn mit einem AKW (33%) oder ihn mit einem Elektromotor (ca.
80%) vergleichen. Diesem liegt die ganz spezielle Eigenschaft der PZT-Keramiken
zugrunde, die eine sehr kleine und ziemlich stabile Verlustleistung haben. Die
Begründung liegt in der Beschaffenheit des Materials der PZT-Keramiken.
Mir ist noch sehr wichtig, einen ganz bestimmten Punkt genauer anzusehen. Der
Wirkungsgrad bezieht sich immer auf einen Energieumsatz, z.B. elektrische
Energie in mechanische Energie umwandeln. In dieser Matura-Arbeit wurde aber
der doppelte Energieumsatz betrachtet, da wir ja die mechanische Energie wieder
zurückwandeln. Umso erstaunlicher ist das Resultat von diesem Gesichtspunkt
aus betrachtet. Das Ziel wurde in dieser Projektarbeit in jeder Hinsicht erfüllt.
Sicherlich haben sich viele Leserinnen und Leser dieser Arbeit die Frage gestellt
warum man diese Technik nicht anwendet um einem zu grossen Energieverlust
vorzubeugen. Nun, dieses System eignet sich nicht für sehr hohe Leistungen, wie
sie z.B. bei Hochspannungsleitungen verwendet werden, da auch den PZTKeramiken gewisse Grenzen gesetzt sind. Weiter müssten Anlagen, die auf dieser
Technik basieren, total entkoppelt eingerichtet werden. Man dürfte also in keiner
Art und Weise die schwingenden Teile dämpfen, da das Gebilde sofort seine
Resonanzfrequenz ändern und die ungewollte Scheinleistung auftreten würde.
7.2 Ausblick
Diese Art von Matura-Arbeit war ein grosser Erfolg für mich. In erster Linie konnte
ich sehr viel vom Gebiet der Akustik profitieren und in Gesprächen mit anderen
Personen mir noch unbekannte Sachverhalte aneignen. Ich denke, die
Kombination aus einer theoretischen und praktischen Gliederung gab dieser Arbeit
ein sehr breites Spektrum. Auch in Zukunft würde ich mich wieder auf diese Art
von Realisierung einer nächsten Arbeit festlegen, denn man gewinnt dadurch
einen völlig neuen Gesichtspunkt einer Materie.
Natürlich drängt sich hier noch eine weitere Frage auf. Wie und wo kann ein
solches System eingesetzt werden. Genau in einer solchen Konfiguration, wie sie
in dieser Matura-Arbeit verwendet wurde, gibt es im Moment noch kein sinnvolles
Einsatzgebiet. Wird hingegen nur ein Schwinger mit dem Generator gespiesen,
d.h. anstatt des Zwischenstückes und der Last wird ein spezifisches
Schwingungselement an den Schwinger aufgeschraubt, kann diese Wissenschaft
für die Kunststoffverbindungstechnik oder für das Sieben sehr kleiner Partikel
verwendet werden.
27
In weiterer Zukunft wird die Ultraschallverbindungstechnik auch in den
medizinischen Bereichen Einzug finden. Schon seit längerer Zeit versucht man
zerrissene Arterien und Venen mit Ultraschall wieder zu verbinden. Dies würde der
sofortige Stopp der inneren respektiv der äusseren Blutung bedeuten, was vorallem direkt an Unfallstellen betroffenen Menschen das Leben retten könnte.
Sicherlich wird auch die moderne Medizin auf solche Neuentwicklungen, z.B. im
Bereich der Chirurgie, umsteigen.
7.3 Danksagung
Ganz herzlich bedanken möchte ich mich bei Karl Frei, Entwicklungsingenieur
Akustik, der mir eine grosse Unterstützung war, damit ich diese Matura-Arbeit
realisieren konnte.
Ein weiterer Dank geht an die Firma Telsonic AG, die mir das benötigte Material
zur Verfügung stellte.
Danke auch an Joseph Wiesli, der sein Augenmerk auf das Sprachliche dieser
technischen Arbeit richtete.
28
7.4 Quellen- und Literaturverzeichnis
• Koch, Jürgen; Piezoxide-Wandler. Grundlagen, Anwendungen und Schaltungen.
1. Auflage. Hamburg: Verlag Boysen & Maasch 1973.
• Lühe, Friedrich; Physik für Einsteiger, Ein Lehr- und Übungsbuch für Studienanfänger. 1. Auflage. München: Fachbuchverlag Leipzig 1997.
• Meister, Heinz; Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und
Rechenbeispielen. 9. Auflage. Würzburg: Vogel Verlag 1991.
• Orear, Jay; Physik. 1. Auflage. München Wien: Carl Hanser Verlag 1982.
• Rudolf, Millner; Cobet Ulrich u.a. Ultraschalltechnik. Grundlagen und
Anwendungen. 1. Auflage. Weinheim: Physik-Verlag 1987.
• Waanders, J. W.; Piezoelektric Ceramics. Properties and Applications.
1. Auflage. Eindhoven: N. V. Philips’Gloeilampenfabrieken 1991.
7.5 Elektronische Medien
• Physikunterricht: URL: http://www.sfz-bw.de/unterricht/ph/ph.html. 21.04.02
• Active Materials Laboraty:
URL: http://translate.google.com/translate?hl=de&sl=en&u=
http://aml.seas.ucla.edu/PZT/&prev=/
search%3Fq%3Dpiezo%252Bpzt%
26start%3D40%26hl%3Dde%26sa%3DN. 21.04.02
• Theorie und Anwendungen der Auslöser Piezo und der Systeme PZT
NanoPositioning:
URL: http://translate.google.com/translate?hl=de&sl=en&u=http:
//www.physikinstrumente.com/tutorial/&prev=/
search%3Fq%3Dpiezo%26hl%3Dde. 05.05.02
• efunda engineering fundamentals:
URL: http://www.efunda.com/materials/piezo/electronics/elec_equiv_circuit.cfm.
05.05.02
7.6 Interviews
• Frei Karl, Entwicklungsingenieur Akustik, Wil; Interview vom 28. Dezember 2001.
• Frei Karl, Entwicklungsingenieur Akustik, Wil; Interview vom 24. Februar 2002.
• Frei Karl, Entwicklungsingenieur Akustik, Wil; Interview vom 14. Mai 2002.
• Frei Karl, Entwicklungsingenieur Akustik, Wil; Interview vom 09. Juni 2002.
29
7.7 Bildnachweis
• Titelbild:
Photo; Matthias Wiesli
• Abb. 1:
Zeichnung; Matthias Wiesli
• Abb. 2:
Theorie und Anwendungen der Auslöser Piezo und der Systeme PZT
NanoPositioning:
URL: http://translate.google.com/translate?hl=de&sl=en&u=http:
//www.physikinstrumente.com/tutorial/&prev=/
search%3Fq%3Dpiezo%26hl%3Dde.
• Abb. 3:
Theorie und Anwendungen der Auslöser Piezo und der Systeme PZT
NanoPositioning:
URL: http://translate.google.com/translate?hl=de&sl=en&u=http:
//www.physikinstrumente.com/tutorial/&prev=/
search%3Fq%3Dpiezo%26hl%3Dde.
• Abb. 4:
Koch, Jürgen; Piezoxide-Wandler. Grundlagen, Anwendungen und
Schaltungen. 1. Auflage. Hamburg: Verlag Boysen & Maasch 1973.
• Abb. 5:
efunda engineering fundamentals:
URL: http://www.efunda.com/materials/piezo/electronics/elec_equiv_circuit.cfm.
• Abb. 6:
Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen.
S. 215
• Abb. 7:
Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen.
S. 216
• Abb. 8:
Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen.
S. 216
• Abb. 9:
Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen.
S. 226
• Abb. 10:
Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen.
S. 221
30
• Abb. 11:
Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen.
S. 221
• Abb. 12:
Elektrotechnische Grundlagen. Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen.
S. 230
• Abb. 13
Physik für Einsteiger, Ein Lehr- und Übungsbuch für Studienanfänger. S. 113
• Abb.14
Physik für Einsteiger, Ein Lehr- und Übungsbuch für Studienanfänger. S. 111
• Abb. 15:
Akad, Physik II Lektion 9, Wellen I: Grundlegende Begriffe. S. 21
• Abb. 16:
Akad, Physik II Lektion 9, Wellen I: Grundlegende Begriffe. S. 21
• Abb. 17:
Physik für Einsteiger, Ein Lehr- und Übungsbuch für Studienanfänger. S. 139
• Abb. 18:
Zeichnung; Matthias Wiesli
• Abb. 19:
Photo; Matthias Wiesli
• Tabelle 1:
Matthias Wiesli
• Tabelle 2:
Matthias Wiesli
• Abb. 20:
Ausdruck des Messgerätes Anritsu (Firma Telsonic AG)
• Tabelle 3:
Matthias Wiesli
31