2. Übungsblatt - Centrum für Informations

Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS)
Übungen zur Vorlesung ,,Mathematische Grundlagen der
Computerlinguistik“
SS 2014
Florian Fink
Blatt 2, Abgabe Di. 13.05.2014.
Aufgabe 2.1 Für welche der folgenden Gleichungen gibt es keine, genau eine, endlich
viele, für welche gibt es unendlich viele Lösungen B? Wie lassen sich jeweils die möglichen
Mengen B charakterisieren?
({1, 2, 3} ∩ B) ∪ B = {1, 2, 3, 4},
({1, 2, 3} ∩ B) ∪ B = B,
{1, 2, 3} ∩ B = {1, 2},
{1, 2, 3, 4, 5} \ B = {1, 2},
B \ {1, 2, 3} = {4, 5, 6},
B ./ {1, 2, 3} = {1}.
Aufgabe 2.2 Es sei
A := {{{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 4}}, {{1, 2, 3}, {1, 2, 5}, {1, 4}}}.
Berechnen Sie
S S
( A),
S T
( A),
T S
( A) und
T T
( A).
Aufgabe 2.3 Betrachtet werden Aussagen der Form
α ⇒ α
(1)
(α ⇒ α) ⇒ α
(2)
((α ⇒ α) ⇒ α) ⇒ α
(3)
(((α ⇒ α) ⇒ α) ⇒ α) ⇒ α
(4)
Welche dieser Aussagen sind stets (das heißt für jede mathematische Aussage α) aussagenlogische Tautologien? Verallgemeinern Sie Ihre Beobachtung auf Aussagen der entsprechenden Form mit n > 0 Vorkommen von α. Verwenden Sie dazu vollständige Induktion.
Aufgabe 2.4 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n
ungeraden natürlichen Zahlen gleich n2 ist. Eine natürliche Zahl m heißt ungerade, wenn
es eine natürliche Zahl l gibt mit m = 2l + 1.
Aufgabe 2.5 Es seien P1 und P2 zwei unterschiedliche Partitionen einer Menge M . Zeigen
Sie, dass P1 ∪ P2 keine Partition der Menge M sein kann. Zeigen Sie, dass auch P1 ∩ P2
keine Partition der Menge M sein kann.
Aufgabe 2.6 Wir nennen ein Adjektiv w der deutschen Sprache autologisch genau dann,
wenn auf w selbst die durch w ausgedrückte Eigenschaft zutrifft. Das Adjektiv ,,kurz“ ist
etwa autologisch, da es nur vier Buchstaben besitzt. Umgekehrt nennen wir ein Adjektiv
w heterologisch genau dann, wenn w die durch w ausgedrückte Eigenschaft nicht besitzt.
Das Adjektiv ,,lang“ ist heterologisch. Diskutieren Sie: ist das Adjektiv ,,heterologisch“
autologisch oder heterologisch?
Aufgabe 2.7 Gilt für beliebige Mengen A, B und C stets (A\C)×B = (A×B)\(C ×B)?
Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.