Das Architektenbüro "Kreativ" entwirft Häuser nach dem

Lösungen zu Station 33: Architektenhäuser
Das Architektenbüro "Kreativ" entwirft Häuser nach
dem Vorbild des niederländischen Architekten Piet
Blom.
Ein derartiges Haus besteht aus einem auf einer Ecke
stehenden würfelförmigen Baukörper, der in einen
Sockel eingelassen ist.
In der Abbildung 1 ist der Würfel ohne Sockel in einem
kartesischen Koordinatensystem (1 Längeneinheit
entspricht 1 Meter) dargestellt.
Das ebene horizontale Gelände um das Haus befindet
sich in der x-y-Koordinatenebene.
Der Punkt A befindet sich im Koordinatenursprung und
die Raumdiagonale AG des Würfels liegt auf der
z-Koordinatenachse.
Gegeben sind die Punkte B, D und F mit den
Koordinaten B(2,86 | 4,95 | 4,04), D(2,86 | -4,95 | 4,04)
und F(-2,86 | 4,95 | 8,08 ).
2.1 Ermitteln Sie die Kantenlänge des Würfels.
Die Kantenlänge des Würfel entspricht der Länge des Vektors
2.86
⃗
AB= 4,95 →∣⃗
AB∣=7,00
4,04
Die Kantenlänge des Würfels beträgt 7 m.
( )
Weisen Sie nach, dass der Punkt C die Koordinaten C( 5, 72 | 0,00 | 8,
08 ) besitzt.
Aus der Skizze ist ersichtlich, dass gilt: ⃗
OC =⃗
OB+ ⃗
AB →
2,86 2,86
5,72
⃗
OC = 4,95 + 4,95 = 0
4,04 4,04
8,08
Also hat der Punkt C die Koordinaten: C( 5, 72 | 0,00 | 8, 08 )
( )( )( )
2.2 Ermitteln Sie den Abstand des höchsten Punktes des würfelförmigen
Baukörpers vom ebenen horizontalen Gelände.
Der höchste Punkt des Baukörpers entspricht dem Endpunkt der
Raumdiagonale. Für die Raumdiagonale eines Würfels gilt laut
Tafelwerk: d =√ 3⋅a=12,124 m .
Der höchste Punkt hat also einen Abstand von 12,12 m vom ebenen
horizontalen Gelände.
2.3 Die Seitenfläche BFGC des würfelförmigen Baukörpers soll mit Solarkollektoren
ausgestattet werden.
Für einen hohen Wirkungsgrad muss die Neigung der Solarkollektoren bezüglich des
ebenen horizontalen Geländes zwischen 30° und 50“ betragen.
Untersuchen Sie, ob parallel zur Seitenfläche BFGC angebrachte
Solarkollektoren einen hohen Wirkungsgrad ermöglichen.
Aus den Punkten B, F und C lassen sich zwei Spannvektoren der
Ebene ermitteln. Mittels des Vektorprodukts erhält man daraus den
Normalenvektor der Ebene. Der Winkel zwischen dem
0
Normalenvektor der Ebene und dem Vektor 0 entspricht der
1
Neigung der angebrachten Solarkollektoren:
2,86
−5,72
−19,998
⃗
, ⃗
BC= −4,95 , ⃗
BF = 0
n BCF =⃗
BC x ⃗
BF = −34,662
4,04
4,04
−28,314
()
( )
( )
(
)
( ( ))
0
α1 =∢ ⃗
n BCF , 0 =125,28 ° → ein Winkel zwischen 2 Ebenen
1
kann lt. Definition nie größer als 90° sein. Hier ist daher der entsprechende Nebenwinkel zu
ermitteln: α=180 °−α 1=54,71 °
Die Neigung ist zu groß. Der Wirkungsgrad wird nicht optimal sein.
2.4 Das Haus enthält drei Wohnebenen. Diese Wohnebenen
verlaufen jeweils parallel zur x-y-Koordinatenebene.
Die Ebene W, in welcher die unterste Wohnebene liegt,
schneidet die Kanten des würfelförmigen Baukörpers in den
Punkten I( 1,71 | 2,97 | 2,42 ), J( - 3,43 | 0,00 | 2,42)
und K (siehe Abbildung 2).
Geben Sie eine Gleichung der Ebene W an.
Es empfiehlt sich hier die Normalengleichung anzugeben, da
der Normalenvektor und ein Punkt bekannt sind:
1,71 0
⃗x − 2,97 ⋅ 0 =0
2,42 1
[ ( )] ( )
Weisen Sie nach, dass der Punkt K die Koordinaten K(1,71 | -2,97 | 2,42) hat.
Der Punkt K liegt auf der Geraden durch die Punkte A und D. Seine z-Koordinate muss 2,42
betragen. Daraus ergibt sich folgender Ansatz:
0
2,86
A(0 | 0 | 0 ), D(2,86 | -4,95 | 4,04) → Gerade: ⃗x = 0 +t⋅ −4,95
0
4,04
x
0
2,86
Einsetzen von K:
y = 0 +t⋅ −4,95
2,42
0
4,04
Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem. Aus der dritten Gleichung
ermittelt man t=0,599.
Setzt man diesen Parameterwert ein, errechnet man für den Punkt K
die Koordinaten K(1,71 | -2,97 | 2,42).
() ( )
( ) () ( )
Ermitteln Sie den Anteil des Volumens des Körpers AIJK am
Gesamtvolumen des würfelförmigen Baukörpers.
Für den Würfel gilt: V =a 3=73=343 m3
1
Der Körper AIJK ist eine Pyramide: V = AG⋅h , h=2,42 m,
3
1 ⃗ ⃗
AG = ∣ IJ x IK∣
2
−5,14
0
AG =0,5⋅∣ −2,97 x −5,94 ∣=15,268 m2
0
0
1
V = 15,268 m 2⋅2,42 m=12,3144 m 3
3
Der Anteil des Körpers AIJK am Gesamtvolumen beträgt
12,3144
≈0,035902≈3,6 % .
dann
343
( )( )
Das Interesse an einem derartigen Haus ist sehr groß. Da das Einrichten derartiger Häuser
recht schwierig ist, entscheiden sich erfahrungsgemäß nur 5 % der Interessenten für den
Kauf eines derartigen Hauses.
2.5 Es gibt 80 Interessenten für ein derartiges Haus.
Geben Sie an, wie viele Käufer eines derartigen Hauses darunter zu erwarten sind.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B:
Ereignis A: Mindestens drei dieser Interessenten kaufen ein derartiges Haus.
Ereignis B: Der zehnte dieser Interessenten ist der erste Käufer.
X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0,05
Für den Erwartungswert gilt: EX =n⋅p=80⋅0,05=4
Für A gilt: P (A)=B80 ; 0,05( X ≥3)=0,7694≈76,9 %
Für B gilt: P ( B)=0,959⋅0,05=0,03151≈3,2 %
Bemerkung zu B: Der Ansatz entspricht der Pfadregel für einen
einzigen Pfad. Erst kaufen 9 Interessenten nicht, dann kauft der
zehnte Interessent.
2.6 Berechnen Sie, wie viele Interessenten es mindestens für ein derartiges Haus geben
muss, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens ein
Interessent zum Kauf entschließt.
3xmindestens-Aufgabe:
0,9< P ( X ≥1) → 0,9<1−P ( X =0)
→ 0,9<1− n ⋅0,050⋅0,95 n
0
→ n> 44,89
()
Es muss mindestens 45 Interessenten geben, damit sich mit einer
Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens ein Interessent
zum Kauf entschließt.