Mathematik I Übungsblatt 4

HS München
FK 06 MFB 1
Dr. Christian Hort
Übungsblatt 4 zur Mathematik I
1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder nicht.
∞
X
n2
; (Vergleichskriterium!)
a)
4+7
2n
n=1
∞
X
(n + 1)3
; (Quotientenkriterium!)
b)
n!
n=0
∞
X
3k
c)
; (Wurzel- oder Quotientenkriterium!)
2
1000
·
k
k=1
2. Schreiben Sie die folgenden Reihen mit dem Summenzeichen:
8
2 4 8 16
22 23 24
2 4 6
a) 2 − 8 + 8 − 8 ± . . . ; b) + + + + . . . ; c) 1 + + + + + . . .
2
3
4
3 9 27 81
2! 3! 4! 5!
3. Zu einer n-mal differenzierbaren Funktion f (x) ist das sog. Taylorpolynom Tn (x)
n-ter Ordnung im Entwicklungspunkt 0 definiert durch:
Tn (x) :=
n
X
f (k) (0)
k=0
k!
xk .
Dabei bedeutet f (k) die k-te Ableitung, also f (0) = f .
Bestimmen Sie die Taylorpolynome erster, zweiter und dritter Ordnung um den
Entwicklungspunkt 0 für die Funktion
√
f (x) := 3 1 + x.
√
√
Testen Sie die Güte der Approximation, indem Sie 3 1060 = 10 · 3 1 + 0.06 mit Hilfe
der drei ersten Taylorpolynome schätzen und mit dem genaueren Wert 10, 19612822...
vergleichen.
4. Gegeben ist ein Würfel mit den acht Ecken-Koordinaten (x, y, z), wobei jede der
drei Zahlen x, y und z die Werte 0 oder 1 annehmen darf (Skizze!).
a) Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonale des Würfels.
b) Berechnen Sie den spitzen Winkel α zwischen der Seite von (0, 0, 0) nach (0, 0, 1)
und der Raumdiagonale von (0, 0, 0) nach (1, 1, 1). (Hinweis: Stellen Sie die
Seite und die Raumdiagonale als Vektoren dar und verwenden Sie das Skalarprodukt. Erg.: (54.74o ).
c) Berechnen Sie den spitzen Winkel β zwischen den beiden Raumdiagonalen, die
durch (0, 0, 0) bzw. durch (0, 0, 1) gehen (Erg.: 70.53o ).
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