Raumdiagonale eines Quaders Steigungsdreieck k= y2−y1 x2−x1

H
G
E
F
c
d
d1
D
C
b
A
a
B
Raumdiagonale eines Quaders
Die Raumdiagonale eines Quaders kann man mit zweimalige Anwendung
des Satzes des Pythagoras berechnen. Beobachten wir die Seitenfläche
BCGF. Am Dreieck BCD ist der Winkel BCD ein rechter Winkel. Daher
gilt, dass die Flächendiagonale BG = d1 die Hypotenuse ist. Also:
d12 = b² + c²
Am „inneren“ Dreieck ABG ist der Winkel am B auch ein rechter Winkel
(das Dreieck ABG befindet sich innerhalb des Quaders). Daher ist die
Raumdiagonale AG = d die Hypotenuse. Also:
d² = d12 + a² und durch einsetzten von d12:
d² = b² + c² + a²
Also gilt für die Raumdiagonale des Quaders:
d² = a² + b² + c²
Steigungsdreieck
Bei einer linearen Funktion y = k · x + d seien zwei Punkte (x1|y1) und (x2|y2) gegeben (k und d
unbekannt). Dann ist die Steigung k:
k=
y 2−y 1 Δy
=
x 2−x 1 Δx
Das Quotient Δy durch Δx nennt man Differenzenquotient. Den Buchstabe Δ (Griechisch: Delta)
benutzt man um eine Differenz (Griechisch: Διαφορά) zu bezeichnen. Laut Definition gilt:
Δy = y2 – y1
Δx = x2 – x1
Beweis:
Ich drücke erst den y-Achsenabschnitt d durch die anderen Teilen:
d=y–k·x
Dann setze ich in diese Gleichung beide Punkte ein und bekomme ich so zwei Gleichungen:
d = y1 – k · x1
d = y2 – k · x2
Weil die rechten Teile dieser Gleichungen gleich sind (also gleich d), soll das für die linken Teilen auch
gelten: y1 – k · x1 = y2 – k · x2
| + k · x2 - y1
(umformen)
k · x2 – k · x1 = y2 – y1
| k herausheben
k · (x2 – x1) = y2 – y1
| : (x2 – x1)
(umformen)
k=
y 2−y 1 Δy
=
x 2−x 1 Δx
Wenn man schon k berechnet hat, kann man eine der beiden Gleichungen benutzen, um auch den yAchsenabschnitt d zu berechnen:
d = y1 – k · x1
oder
d = y2 – k · x2
Zeichnerisch kann man die Steigung k mit Hilfe des Steigungsdreiecks darstellen:
Die Gerade geht durch die Punkte P1 (-4|-5) und P2 (1|2) (schwarze Punkte). Die Steigung ist daher:
k=
Δy y 2−y 1 2−(−5) 7
=
=
= =1,4
Δx x 2−x 1 1−(−4) 5
Man kann im Koordinatensystem sogar 2 Steigungsdreiecke sehen (das andere ist nicht günstig um die
Steigung zu berechnen, das Ergebnis für die Steigung ändert sich doch nicht).
Man kann auch dann den y-Achsenabschnitt d berechnen, z,B mit der 2. Gleichung:
d = y2 – k · x2 = 2 – 1,4 · 1 = 0,6
Das gleiche Ergebnis ergibt sich selbstverständlich auch mit der 1. Gleichung:
d = y1 – k · x1 = - 5 – 1,4 · (-4) = 0,6
Erweitertes Wissen: Das Quotient Δy/Δx bei irgendeine Funktion (es gibt nicht nur lineare Funktionen),
nennt man Änderungsrate. Es zeigt wie schnell sich die abhängige Variable in Bezug auf die
unabhängige durchschnittlich ändert. Bei einer lineare Funktion ist dieses Quotient eine Konstante,
nämlich k, es ändert sich also nicht, egal welche Punkte man wählt. Dieses Quotient entspricht den
Vergrößerungsfaktor, den wir bei der Ähnlichkeit von Figuren benutzen.