ZA 2 - D-MATH

D-ERDW, D-HEST, D-USYS
Dr. Ana Cannas
Mathematik I
HS 14
Zusätzliche Aufgabe 2:
Allgemeine Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Eine Funktion, die die Zuordnungsvorschrift einer anderen Funktion f rückgängig macht
oder invertiert, wird die Inverse oder Umkehrfunktion von f genannt. Inverse Funktionen kommen oft in naturwissenschaftlichen Anwendungen vor, vor allem die Exponentialund Logarithmusfunktionen.
Der natrürliche Logarithmus oder ln-Funktion
ln : R+ → R
ist definiert durch
y = ex
⇐⇒
ln y = x.
Das heisst, dass ln y derjenige Exponent ist, mit dem man e potenzieren muss, um y zu
erhalten.
Z.B.
1 = e0
⇐⇒
ln 1 = 0
und
ln eπ = π.
Hier ist ein Sketch des Graphen von ln x:
y
1
x
Bitte wenden!
1. Die allgemeinen Exponentialfunktionen sind die Funktionen von der Form
ax ,
wobei die Basis a positiv ist, a 6= 1 und der Exponent ist variabel.
Diese Funktionen sind streng monoton wachsend, falls a > 1,
y
1
x
und streng monoton fallend, falls 0 < a < 1,
y
1
x
Die Logarithmusfunktion zur Basis a, loga x, ist die Umkehrfunktion von ax :
y = ax
⇐⇒
loga y = x.
Insbesondere ist loge y = ln y die übliche (natürliche) Exponentialfunktion.
a) Berechnen Sie die folgenden Zahlen (ohne Taschenrechner!):
log10 1000,
log100 10,
log2 64,
log 1 2.
2
Siehe nächstes Blatt!
b) Mit Hilfe der Potenzregeln
ax · ax0 = ax+x0
1
= a−x und
ax
(ax )k = ax·k
schreiben Sie die entsprechenden Rechenregeln für Logarithmusfunktionen
loga (y · y0 ) = · · ·
1
= ···
loga
y
loga (y k ) = · · ·
bezüglich loga y und loga y0 auf.
c) Fassen Sie den folgenden Ausdruck zusammen:
2 loga (3x) + loga (2x) −
1
loga (9x2 ).
2
d) Lösen Sie die Gleichung
e(ln 0.2)t = 0.04.
4
e) Vorsicht: ein Ausdruck wie 23 kann zweideutig sein! Welche Zahl ist grösser,
(23 )4
4
oder 2(3 ) ?
Ohne Taschenrechner...
1 2
f) Schreiben Sie die Gleichung y = x 3 bezüglich der neuen Variablen X = log10 x
10
und Y = log10 y um.
2. Wir betrachten die Funktion
f : R+ → R,
f (x) =
ln x
.
x
a) Bestimmen Sie ihre Ableitung, f 0 (x), und das Monotonieverahlten von f .
In welchem Intervall ist f streng monoton wachsend?
In welchem Intervall ist f streng monoton fallend?
b) Bestimmen Sie den maximalen Wert von f .
Was ist der Wertebereich von f ?
Bitte wenden!
c) Was ist lim+ f (x)?
x→0
d) Was ist lim f (x)?
x→+∞
Hinweis: Bernoulli-l’Hôpital.
e) Bestimmen Sie die zweite Ableitung, f 00 (x), und die Krümmung von f (x).
f) Skizzieren Sie den Graphen von f (x).
3. Es sei α eine fixe reelle Zahl. Wir untersuchen jetzt die Gleichung
ln t = tα
∗
für t > 1.
a) Substituieren Sie t = ex (x > 0) und logarithmieren Sie, um die Gleichung ∗ als
ln x
=α
x
∗∗
äquivalent zu schreiben.
b) Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung ∗?
Hinweis: Betrachten Sie die äquivalente Gleichung f (x) = α, wobei f die Funktion von Aufgabe 3 ist, und machen Sie eine Fallunterscheidung.
c) Welche ist die grössere Zahl:
√
√
2
3
oder
√ √2
3 ?
Keinen Taschenrechner verwenden!
Hinweis: Logarithmieren und Umschreiben
ab < ba
⇐⇒
b ln a < a ln b
⇐⇒
ln a
ln b
<
.
a
b
|{z}
|{z}
f (a)
Welche ist grösser, f
√ √ 2 oder f
3 ?
f (b)