3 Potenzen und Logarithmen - Universität Koblenz · Landau

3 Potenzen und Logarithmen
3 Potenzen und Logarithmen
Aufgabe 3.1.
(a) Gegeben sei eine natürliche Zahl n ∈ N und eine weitere Zahl a. Definieren Sie
an und geben Sie dabei auch eine maximale Menge von Zahlen an, in der a
liegen darf.
(b) Ergänzen Sie, falls möglich, zu Potenzgesetzen:
Für . . . ∶ an + bn = . . .
Für . . . ∶ an ⋅ am = . . .
Für . . . ∶ an ⋅ bn = . . .
Für . . . ∶ an ∶ bn = . . .
n m
Für . . . ∶ an ∶ am = . . .
Für . . . ∶ (a )
Für . . . ∶ an + am = . . .
= ...
Für . . . ∶ a(n
m
)
= ...
Geben Sie jeweils auch eine Begründung an.
Aufgabe 3.2.
(a) Berechnen Sie:
26
(−3)3
,
(−5)4
,
2
( 14 )
,
3
(− 52 )
,
1999
,
088
,
,
(−1)555
(b) Schreiben Sie als Potenz an mit einem a ∈ Q und einem möglichst großen n ∈ N:
128
,
−216
,
1000000000000
2
(c) Berechnen Sie 2(2
)
1
3125
,
2
und (22 ) . Gilt n(n
n
)
1024
243
,
−121
49
,
1000000
9261
,
n
= (nn ) für alle n ∈ N?
Aufgabe 3.3.
Vereinfachen Sie (falls möglich) die folgenden Ausdrücke.
12 ⋅ 64 ⋅ 155 ⋅ 103
(−27)5 ∶ ((−3)3 ⋅ (−9)2 )
48 + 84
(2a)18 ∶ (64a12 )
54n ⋅ 25n ∶ 1252n+2
2n+1 − 2n
90200
75100 ⋅4850
9
5
( 25 ) ∶ ( 43 )
(abc)9 ∶ ((ab)2 ⋅ (bc)2 ⋅ (ac)2 )
2
m−n
(ab)n ∶ (ac)m ⋅ (abc)
(y 2 +z 4 )⋅(y 4 +z 2 )
(y⋅z)2
(3k − 1) ⋅ (3k + 1) ⋅ (32k + 1)
2
2
2 3
3
(1 −
b
b
) − ( −2a
)
( −5a
2c
3c2
(−1)2n+4m+5
1
n500
Aufgabe 3.4.
(a) Gegeben sei eine ganze Zahl z ∈ N und eine weitere Zahl a. Definieren Sie az
und geben Sie dabei auch eine maximale Menge von Zahlen an, in der a liegen
darf.
(b) Übertragen Sie die Potenzgesetze aus Aufgabe 3.1 für beliebige ganzzahlige Exponenten. (Bleiben sie alle gültig?)
Aufgabe 3.5.
Berechnen Sie:
2−4
16
,
(−3)−6
,
( 17 )
−4
,
( −4
)
3
−3
,
( 25 )
−1
,
0
( 99
)
72
,
1−321
,
(−1)−2
3
3
+z
− ( y zy
)
300
∶ ( n12 )
1 n
)
x2
2n
∶ (1 + x1 )
2
Aufgabe 3.6.
Vereinfachen Sie (falls möglich) die folgenden Ausdrücke.
625−3 ⋅ 1252 ⋅ 255 ⋅ 5−4 ⋅ 17
3
(24 ⋅ 5−2 ⋅ 7−1 ) ∶ (20 ⋅ 4−3 ⋅ 53 )
−nn ⋅ (−n)−n
(5x−4 + 4x−3 )
−2
−2
2
8a−n ⋅((2a)n +bn )
bn ⋅2n+3
−2n
2
−3n
((xy)6 ⋅ (xz)−1 ∶ (yz)−4 )
((x−1 ⋅ y −2 )
−3
⋅ z −4 )
−5
(b2 − a )
∶ ((a − b)
⋅ (a + b)−n )
Aufgabe 3.7.
(a) Gegeben sei eine rationale Zahl q ∈ Q und eine weitere Zahl a. Definieren Sie aq
und geben Sie dabei auch eine maximale Menge von Zahlen an, in der a liegen
√
√
darf. (Definieren Sie dabei auch a und n a für n ∈ N.)
Hinweis: Es ist sinnvoll zunächst den Spezialfall q =
allgemeinen Fall q =
z
n
1
n
(mit n ∈ N) und dann den
(mit n ∈ N und z ∈ Z) zu betrachten.
(b) Übertragen Sie die Potenzgesetze aus Aufgabe 3.1 für beliebige rationale Exponenten. (Bleiben sie alle gültig?)
Aufgabe 3.8.
Berechnen Sie:
1
64 3
√
5
5
,
92
4
3
,
√
5
,
4
− 75
1
)
( 128
625− 4
,
25
√
,
3
3
7
−3
,
2
,
216 3
)
( 1000
√√√
532
,
,
1
27 6
√
−9
3
( 12 )
,
8
9 16
√
,
99
,
( 17 )
(2−33 )
− 12
4
−3
Aufgabe 3.9.
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke, falls möglich:
√
√
√
550 ⋅ 3 297 ⋅ 6 88
√
√
√
3
3
3
5x ⋅ 9x3 ⋅ 75x5
√
√
√
√
( 18 + 2) ⋅ ( 18 − 2)
√
√ 2
( 50 − 8)
√
√
√
√
3
4
5
81u2 v 2 + 125v 3 w3 + 81v 4 w4 + 32u5 v 5
√
3
36a
√
3⋅ a
√
3
√
4
x5 ⋅ x7
√
√
√
u8 ⋅ u10 ⋅ u12
√
3
a4
b2
⋅
√
15
√
5
)
(a
b
√
2
2
√a +b
a4 +b4
√
√
2
( x − 9 − x + 9)
a⋅b4
√
3 2
a +4a+4
√
5
(a+2)3
2
Aufgabe 3.10.
(i) Für welche x ∈ R ist
(ii) Für welche x ∈ R ist
√
√
x2 definiert. Vereinfachen Sie den Ausdruck für diese x.
2
x definiert. Vereinfachen Sie den Ausdruck für diese x.
Frage. Haben Sie Ideen, wie man ax auch für x ∈ R definieren kann?
17
,
11
1− 13
3 Potenzen und Logarithmen
Aufgabe 3.11.
Ergänzen Sie die folgenden Definition:
Für a ∈ . . . und x ∈ . . . bezeichnet loga (x) ∈ . . . (sprich: “Logarithmus von x zur
Basis a“) die Zahl, die . . .
Aufgabe 3.12.
Berechnen Sie die folgenden Logarithmen:
√
√
1
) , log 4 ( √27 ) , log√ 1 (216 ⋅ 6)
log3 (2187) , log2187 (3) , log 13 (2187) , log3 ( 2187) , log2 ( 64
7
6
Aufgabe 3.13.
Ergänzen Sie, falls möglich, zu Logarithmengesetzen:
Für . . . ∶ loga (x + y) = . . .
Für . . . ∶ loga (x ⋅ y) = . . .
Für . . . ∶ loga (xr ) = . . .
Für . . . ∶
Für . . . ∶ loga (1) = . . .
Für . . . ∶ loga (a) = . . .
Für . . . ∶ aloga (x) = . . .
Für . . . ∶ loga (ax ) = . . .
Für . . . ∶ loga (b) + logb (a) = . . .
Für . . . ∶ loga (b) ⋅ logb (a) = . . .
loga (x)
loga (y)
Für . . . ∶ loga ( xy ) = . . .
Für . . . ∶ loga (x) ⋅ logb (x) = . . .
= ...
Geben Sie jeweils auch eine Begründung an.
Aufgabe 3.14. (etwas schwieriger)
Geben Sie einen maximalen Definitionsbereich für die folgenden Funktionen an und
skizzieren Sie ihre Graphen.
f1 (x) = x4
h1 (x) = 3x
i1 (x) = log2 (x)
h2 (x) =
i2 (x) = log 13 (x)
x
( 43 )
x
f2 (x) = x
5
g2 (x) = x
7
6
f3 (x) = x
−1
g3 (x) = x
− 52
h3 (x) = 1
f4 (x) = x
−6
g4 (x) = x
0
h4 (x) = (−2)x
f5 (x) = x1
18
1
g1 (x) = x 3