Formelsammlung Mathematik (AHS)

Mathematik (AHS)
Formelsammlung
für die standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
(ab Schuljahr 2017/18)
1 Potenzen
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
a ∈ ℝ; n ∈ ℕ\{0}
a n = a ∙ a ∙ ... ∙ a
a ∈ ℝ\{0}; n ∈ ℕ\{0}
a1 = a
()
a–1 = 1
a
a0 = 1
a –n = 1n = 1
a
a
n
n Faktoren
Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)
a, b ∈ ℝ0; n, k ∈ ℕ\{0}
+

a = n b ⇔ a n = b
Rechenregeln

1
an = n a

k
a n = n ak
a
a, b ∈ ℝ+; r, s ∈ ℚ
a, b ∈ ℝ\{0}; r, s ∈ ℤ
a r ∙ a s = a r + s
ar
= a r – s
as
a r ∙ a s = a r + s
ar
= a r – s
as
(a r ) s = a r ∙ s
(a r ) s = a r ∙ s
(a ∙ b) r = a r ∙ b r
a r ar
= r
b
b
(a ∙ b) r = a r ∙ b r
a r ar
= r
b
b
()
– nk
1
=
mit a > 0
n
ak
a, b ∈ ℝ0; m, n, k ∈ ℕ\{0}
+



n
a · b = n a ∙ n b

 k
n
ak = ( n a )


n
a
a
n
=
(b ≠ 0)
b n b


n m
a = n · m a
()
Binomische Formeln
a, b ∈ ℝ; n ∈ ℕ
n
(a + b)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2
(a + b) n = ∑
(a – b)2 = a2 – 2 ∙ a ∙ b + b2
(a – b) n = ∑
( )∙a ∙b
(–1) ∙ ( ) ∙ a
k=0
n
n
k
k=0
k
n – k
k
n
k
n – k
∙ bk
(a + b) ∙ (a – b) = a2 – b2
2 Logarithmen
a, b, c ∈ ℝ+; a ≠ 1, x, r ∈ ℝ
x = loga(b) ⇔ a x = b
()
loga(b · c) = loga(b) + loga(c)
loga(br ) = r · loga(b)
loga 1 = –loga(b)
b
loga(a x ) = x
loga(a) = 1
loga(1) = 0
()
loga 1 = –1
a
natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis ℯ): ln(b) = logℯ(b)
dekadischer Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10): lg(b) = log10(b)
2
3 Quadratische Gleichungen
p, q ∈ ℝ
a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0
x2 + p ∙ x + q = 0

p 2
p
x1, 2 = – ±
–q
2
2
a ∙ x² + b ∙ x + c = 0

–b ± b2 – 4 · a · c
x1, 2 =
2·a
()
Satz von Vieta
x1 und x2 sind genau dann die Lösungen der Gleichung x2 + p ∙ x + q = 0, wenn gilt:
x1 + x2 = –p
x1 ∙ x2 = q
Zerlegung in Linearfaktoren:
x 2 + p ∙ x + q = (x – x1) ∙ (x – x2)
4 Ebene Figuren
A ... Flächeninhalt
u ... Umfang
Dreieck
u=a+b+c
Rechtwinkeliges Dreieck
mit Hypotenuse c und Katheten a, b
c · hc
A=a·b=
2
2
Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
Allgemeines Dreieck
A=
a · ha b · hb c · hc
=
=
2
2
2
C
C
hb
b
ha
A
a
b
hc
c
B
A
a
hc
c
B
Viereck
Quadrat
A = a2 = d
2

d = a · 2
2
u=4·a
D
a
C
Rechteck
D
a
d
a
A=a·b
b
A
a
B
u=2∙a+2∙b
A
a
C
b
a
B
3
Raute (Rhombus)
A = a ∙ ha = e · f
2
u=4·a
Trapez
A = (a + c) · h
2
u=a+b+c+d
a
D
a
f
ha
d
u=2∙a+2∙b
C
b
h
a
A
B
Deltoid
A= e·f
2
u=2∙a+2∙b
a
D
Parallelogramm
A = a ∙ ha = b ∙ hb
B
c
D
e
a
a
A
C
hb
ha
b
b
a
A
B
A
a
B
a
D
f
e
b
Kreis
2
A = π ∙ r2 = π · d
4
u=2∙π∙r=π∙d
C
b
C
r
d=2·r
M
5 Körper
V ... VolumenM ... Inhalt der Mantelfläche
O ... Inhalt der OberflächeuG ... Umfang der Grundfläche
G ... Inhalt der Grundfläche
Gerades Prisma
Drehzylinder
V=G∙h
V=G∙h
M = uG ∙ h
h
O=2∙G+M
M = uG ∙ h
O=2∙G+M
G
Gerade Pyramide
Drehkegel
V= G·h
3
O=G+M
V= G·h
3
M=π·r·s
h
O=G+M
G
r
h
r
G
h
G
s
r
Kugel
V = 4 ∙ π ∙ r3
3
O = 4 · π · r2
r
4
6 Trigonometrie
Umrechnung zwischen Gradmaß (DEG) und Bogenmaß (RAD)
π
π
180°
Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck
Gegenkathete von α
Hypotenuse
C
Ankathete von α
Hypotenuse
Gegenkathete von α
Tangens:tan(α) =
Ankathete von α 1
nk
at
he
te
An
ka
th
et
e
Cosinus:cos(α) =
Ge
ge
vo
nα
Sinus:sin(α) =
A
α
Hypotenuse
vo
1
nα
B
α
7 Vektoren
P, Q ... Punkte
Vektoren in ℝ2
Vektoren in ℝn
Pfeil von P nach Q:
Pfeil von P nach Q:
P = ( p1 | p2 ), Q = (q1 | q2 )
P = ( p1 | p2 | ... | pn ), Q = ( q1 | q2 | ... | qn )
q1 – p1
q –p
PQ = 2 .. 2
.
qn – pn
PQ =
( )
(qq –– pp )
1
1
2
2
Rechenregeln in ℝ2
() ()
Rechenregeln in ℝn
(
)
a ± b1
a
b
a= 1 ,b= 1,a±b= 1
a2 ± b2
a2
b2
() () ( )
() ( )
a1 ± b1
a1
b1
a2 ± b2
a
b
..
a = ..2 , b = ..2 , a ± b =
.
.
.
an
bn
an ± bn
k · a1
k · a2
..
.
k · an
a
k · a1
mit k ∈ ℝ
k·a=k· 1 =
a2
k · a2
a1
a
k · a = k · ..2 =
.
an
Skalares Produkt in ℝ2
Skalares Produkt in ℝn
a · b = a1 · b1 + a2 · b2
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn
Betrag (Länge) eines Vektors in ℝ2
Betrag (Länge) eines Vektors in ℝn

| a | = a12 + a22

| a | = a12 + a22 + ... + an2
() ( )
mit k ∈ ℝ
5
sin(α)
α DEG = α RAD ∙ 180° bzw. α RAD = α DEG ∙
cos(α )
(a )
Normalvektoren zu a = a1 in ℝ2
2
n=v·
Winkel φ zwischen a und b
(–aa ) mit v ∈ ℝ\{0}
cos(φ) = a · b
| a | · | b |
2
1
OrthogonalitätskriteriumParallelitätskriterium
a · b = 0 ⇔ a ⊥ b mit a, b ≠ 0
a ∥ b ⇔ a = v · b mit v ∈ ℝ\{0} und a, b ≠ 0
8 Geradengleichungen
g ... Gerade
g ... ein Richtungsvektor der Geraden g
n ... ein Normalvektor der Geraden g
X, P ... Punkte auf der Geraden g
k ... Steigung der Geraden g
α ... Steigungswinkel der Geraden g
a, b, k, d ∈ ℝ
Parameterdarstellung einer Geraden g in ℝ2 und ℝ3
g: X = P + t ∙ g mit t ∈ ℝ
Gleichung einer Geraden g in ℝ2
als Funktionsgleichung: g: y = k ∙ x + d
als allgemeine Geradengleichung: g: a ∙ x + b ∙ y = c
als Normalvektordarstellung: g: n ∙ X = n ∙ P
}
dabei gilt k = tan(α )
dabei gilt n ∥
(ba)
9 Änderungsmaße
Für reelle auf einem Intervall [a; b] definierte Funktionen f gilt:
Absolute Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a)
Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a)
mit f(a) ≠ 0
f(a)
Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. [x; x + ∆x]
f(b) – f(a)
f(x + ∆x) – f(x)
bzw.
mit b ≠ a bzw. ∆x ≠ 0
b–a
∆x
Differenzialquotient (lokale bzw. „momentane“ Änderungsrate) von f an der Stelle x
f(x + ∆x) – f(x)
f(z) – f(x)
lim f′(x) = ∆x → 0
bzw. f′(x) = lim
z → x
∆x
z–x
6
10 Ableitung und Integral
f, g, h ... auf ganz ℝ oder in einem Intervall definierte differenzierbare Funktionen
F ... Stammfunktion von f
G ... Stammfunktion von g
H ... Stammfunktion von h
c, k, q ∈ ℝ, a ∈ ℝ+\{1}
Funktion
Ableitungsfunktion
Unbestimmtes Integral
(Menge der Stammfunktionen)
f(x) = k
f ′(x) = 0
F(x) = k ∙ x + c
f(x) = x q
f′(x) = q ∙ x q – 1
q + 1
F(x) = x
+ c für q ≠ –1
q+1
F(x) = ln(| x |) + c für q = –1
f(x) = ℯ x
f ′(x) = ℯ x
F(x) = ℯ x + c
f(x) = a x
f ′(x) = ln(a) ∙ a x
x
F(x) = a + c
ln(a)
f(x) = sin(x)
f ′(x) = cos(x)
F(x) = –cos(x) + c
f(x) = cos(x)
f ′(x) = –sin(x)
F(x) = sin(x) + c
g(x) = k ∙ f(x)
g′(x) = k ∙ f′(x)
G(x) = k ∙ F(x) + c
h(x) = f(x) ± g(x)
h′(x) = f′(x) ± g′(x)
H(x) = F(x) ± G(x) + c
g(x) = f(k ∙ x)
g′(x) = k ∙ f′(k ∙ x)
G(x) = 1 · F(k ∙ x) + c
k
Bestimmtes Integral
b
∫ f(x) dx = F(x) |
a
b
a
= F(b) – F(a)
11 Statistik
x1, x2, ... , xn ... eine Liste von n reellen Zahlen
Arithmetisches Mittel
x=
x1 + x2 + ... + xn 1 n
= · ∑ xi
n
n i = 1
Streuungsmaße
s2 ... (empirische) Varianz einer Stichprobe
s ... (empirische) Standardabweichung einer Stichprobe

n
1 n
1 ∑
2
2
s = ∙ (xi – x ) bzw. s =
∙ ∑ (x – x )2
n i = 1 i
n i = 1
Wenn aus einer Stichprobe vom Umfang n der Mittelwert μ und die Varianz σ ² einer Grundgesamtheit geschätzt werden sollen:

μ Schätzung = x
n
n
1
1
2
σ ² Schätzung =
∙ ∑ (xi – x )2
∙ ∑ (xi – x ) bzw. σ Schätzung =
n – 1 i = 1 n – 1 i = 1
7
12 Wahrscheinlichkeit
n ∈ ℕ\{0}, k ∈ ℕ, k ≤ n
E, E1, E2 ... Ereignisse
E ... Gegenereignis von E
E1 ∧ E2 ... E1 und E2
E1 ∨ E2 ... E1 oder E2
P(E ) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E
P(E1 | E2) ... Wahrscheinlichkeit für E1 unter der Voraussetzung, dass E2 eingetreten ist
(„bedingte Wahrscheinlichkeit“)
Fakultät (Faktorielle)
n! = n ∙ (n – 1) · ... ∙ 1
0! = 1
1! = 1
Binomialkoeffizient
( )=
n
k
n!
k! ∙ (n – k)!
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch
P(E ) =
Anzahl der für E günstigen Ausgänge
Anzahl der möglichen Ausgänge
Elementare Regeln
P(E) = 1 – P(E ) ... Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
P(E1 ∧ E2) = P(E1) ∙ P(E2 | E1) = P(E2) ∙ P(E1 | E2)
P(E1 ∧ E2) = P(E1) ∙ P(E2) ... wenn E1 und E2 unabhängig voneinander sind
P(E1 ∨ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∧ E2)
P(E1 ∨ E2) = P(E1) + P(E2) ... wenn E1 und E2 unvereinbar sind
Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariablen X
mit den Ausprägungen x1, x2, ... , xn
n
E(X ) = μ (X ) = x1 ∙ P(X = x1) + x2 ∙ P(X = x2) + ... + xn ∙ P(X = xn ) = ∑ xi ∙ P(X = x i )
i=1
Varianz V(X) einer diskreten Zufallsvariablen X
mit den Ausprägungen x1, x2, ... , xn
n
V(X ) = σ 2(X ) = ∑ (xi – μ)2 ∙ P(X = x i )
i = 1
Standardabweichung σ

σ (X ) = V(X)
Binomialverteilung
n ∈ ℕ\{0}, k ∈ ℕ, p ∈ ℝ; k ≤ n, 0 ≤ p ≤ 1
∙ p ∙ (1 – p)
(
)
E(X ) = μ = n ∙ p
P(X = k) =
n
k
k
n – k
V(X ) = σ ² = n ∙ p ∙ (1 – p)
8
Normalverteilung
μ, σ ∈ ℝ, σ > 0
f ... Dichtefunktion
φ ... Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
ϕ ... Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Normalverteilung N(μ; σ ²): Zufallsvariable X ist normalverteilt mit den Parametern μ und σ bzw. σ ²
x
x
1 x – μ
1
P(X ≤ x1) = ∫ f(x) dx = ∫ 
∙ ℯ– 2 · ( σ ) dx
–∞
–∞ σ ∙
2 ∙ π
E(X ) = μ
V(X ) = σ ²
1
2
1
(1) P( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ ) ≈ 0,683
(2) P( μ – 2 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 2 ∙ σ ) ≈ 0,954
(3) P( μ – 3 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 3 ∙ σ ) ≈ 0,997
Standardnormalverteilung N(0; 1)
z=
x–μ
σ
1
∙
2 ∙ π
z
ϕ (z) = P(Z ≤ z) = ∫ φ (x) dx = 
–∞
z
–x
∫–∞ ℯ 2 dx
2
ϕ (–z) = 1 – ϕ (z)
P(–z ≤ Z ≤ z) = 2 ∙ ϕ (z) – 1
P(–z ≤ Z ≤ z)
z
= 90 %
≈ 1,645
= 95 %
≈ 1,960
= 99 %
≈ 2,576
Konfidenzintervall
h ... relative Häufigkeit in einer Stichprobe
p ... unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit
α ... Irrtumswahrscheinlichkeit
γ ... Konfidenzniveau (Vertrauensniveau)
γ-Konfidenzintervall für p (diejenigen Werte p, in deren γ-Schätzbereich der Wert h liegt):
[
h–z∙

h ∙ (1 – h)
;h+z∙
n
α=1–γ

]
h ∙ (1 – h)
, wobei für z gilt: γ = 2 ∙ ϕ(z) – 1
n
13 Vorsilben
TeraGigaMegaKiloHektoDeka-
T
G
M
k
h
da
1012
109
106
103
102
101
DeziZentiMilliMikroNanoPico-
d
c
m
μ
n
p
10–1
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
9
14 Größen und ihre Einheiten
Größe
Einheit
Symbol
Beziehung
Temperatur
Grad Celsius
bzw. Kelvin
°C
K
∆t = ∆T
Frequenz
Hertz
Hz
1 Hz = 1 s–1
Energie, Arbeit,
Wärmemenge
Joule
J
1 J = 1 kg ∙ m2 · s–2
Kraft
Newton
N
1 N = 1 kg ∙ m ∙ s–2
Drehmoment
Newtonmeter
N∙m
1 N ∙ m = 1 kg ∙ m2 · s–2
elektrischer Widerstand
Ohm
Ω
1 Ω = 1 V ∙ A–1 =
1 kg ∙ m2 · A–2 ∙ s–3
Druck
Pascal
Pa
1 Pa = 1 N ∙ m–2 =
1 kg ∙ m–1 ∙ s–2
elektrische Stromstärke
Ampere
A
1 A = 1 C ∙ s–1
elektrische Spannung
Volt
V
1 V = 1 ∙ J ∙ C –1 =
1 kg ∙ m2 ∙ A–1 ∙ s –3
Leistung
Watt
W
1 W = 1 J ∙ s–1 =
1 kg ∙ m2 ∙ s –3
10
15 Physikalische Größen und Definitionen
Dichte
ρ=m
Leistung
P=
Kraft
F=m∙a
Arbeit
W=F∙s
V
∆E
∆t
W = ∫ F(s) ds
P=
∆W
∆t
P=
dW(t)
dt
F = dW
ds
kinetische Energie
Ekin = 1 ∙ m ∙ v2
2
potenzielle Energie
Epot = m ∙ g ∙ h
gleichförmige geradlinige
Bewegung
v=s
t
v = ds
dt
v(t) = s′(t) = ds
dt
gleichmäßig beschleunigte
geradlinige Bewegung
v = a ∙ t + v0
a = dv
dt
d 2s
a(t) = v′(t) = dv = s″(t) = 2
dt
dt
16 Finanzmathematische Grundlagen
Zinseszinsrechnung
K0 ... Anfangskapital
Kn ... Endkapital
Kn = K0 ∙ (1 + i ) n mit i =
p
100
Kosten-Preis-Theorie
x ... (produzierte, verkaufte, nachgefragte) Menge (in ME)
variable Kosten:
Kv(x)
Fixkosten:
Kf
(Gesamt-)Kosten:
K(x) = Kv(x) + Kf
Grenzkosten:
K′(x)
Nachfragepreis:
p(x)
Erlös / Ertrag:
E(x) = p(x) ∙ x
Grenzerlös:
E′(x)
Gewinn:
G(x) = E(x) – K(x)
Grenzgewinn:
G′(x)
Break-even-Point / Gewinnschwelle: E(x) = K(x) ... (erste) Nullstelle der Gewinnfunktion
11