Spezielle Funktionen, Rechenregeln Blatt 4: Spezielle Funktio

WS 15/16
Mathe Test Angewandte Naturwissenschaften und Mechatronik
c 2015 A. Kersch, F. Würthner
Blatt 4: Spezielle Funktionen, Rechenregeln
Regeln zu Potenzfunktionen (mit Basis a): f (x) = ax
(Achtung: wir lassen hier meistens das Zeichen für die Multiplikation weg, d.h. a b statt a b)
ax bx = (a b)x
Produkt von Potenzen
x
ax
= ax y
ay
1
Kehrwert einer Potenz a x = x =
a
Produkt von Potenzen ax ay = ax+y
Quotient von Potenzen
y
(ax ) = ax y
Potenz einer Potenz
ax
a
=
x
b
b
Quotient von Potenzen
x
1
a
Regeln zu Logarithmen (mit Basis a): f (x) = loga x
loga (ax ) = x
Logarithmus der inversen Funktion
Potenz der inversen Funktion aloga x = x
x
Logarithmus eines Quotienten loga
= loga x loga y
y
Wechsel von Basis b zu Basis a logb x = logb a loga x
Logarithmus eines Produktes loga (x y) = loga x + loga y
loga (xy ) = y loga x
Logarithmus einer Potenz
Regeln zu Trigonometrischen Funktionen
sin2 x + cos2 x = 1
Pythagoras
gerade Funktion
cos( x) = cos x
ungerade Funktionen
sin( x) =
Phasenverschiebungen
sin x +
sin (
sin x
tan( x) =
= cos x
2
x) = sin x
cos x +
cos (
2
tan x
=
x) =
sin x
cos x
Blatt 4: Spezielle Funktionen
Entscheide welche Aussagen richtig und welche falsch sind
a) 34 35
=
320
?
b) 23 23 = 43
?
e) 43 53
=
203
?
f) 53 53 = 59
?
i) 33 33
=
93
j) 33 33 = 39
?
c)
1
2
4
4
= ( 2)
63
= 33 ?
23
k) 33 33 = 36 ?
g)
?
?
h)
d)
34
5
610
= 65
62
= 35
l) 33 33 = 63
4
?
(1)
?
?
Bringe die Ausdrücke auf einen Bruchstrich
a)
1
1
+ 6
24
2
1
1
b) p +
x x
1
1
1
c) p + p
+ p
3
6
a
a
a
(2)
Suche die Variablenwerte, die die Gleichung erfüllen
a) z 2 z 4
d)
1
4
=
=
1:5
9z 8
b) (4y)
p
3
z 1=3 z 2
z3
=
p
y
y
p
c) p
=26y
3 y
e) 6x = 2x 9
f)
(3)
1 z
18 = 62z
2
Die folgenden Variablen liegen zwischen zwei ganzen Zahlen, welchen ? Drücke die Lösung durch einen
Logarithmenausdruck aus und berechne dann numerisch
a) 2x = 10
b) 10x = 20
c) 3z =
1
2
d) 8y = 3
(4)
Für welche Werte sind die Gleichungen erfüllt?
a) loga 8 = 3
b) log2 x = 4
d) log2 (8x) + log2 (4x) + log2
c) log5 b2 + log5 b = 6
x
=1
2
e) log3 x
(5)
log9 x = 1
Für welche Werte sind die Gleichungen erfüllt?
a) x
p
4 x+3=0
b) log3 (x)
2
(log3 x) =
1
4
c) 32a
3a 10 + 9 = 0
f) ey + e
y
=4
(6)
Bogenmass und Winkel
(a) Wie gross ist das Bogenmass zu folgenden Winkeln:
(a) Wie gross sind die Gradzahlen zu folgenden Bogenmassen:
90 ; 45 ; 180 ; 270 ?
3
;
; ;
;1 ?
2 3 4
(7)
Winkel und Steigung
10% Steigung bedeutet, dass die Strasse bei 100m in horizontaler Richtung um 10m ansteigt. (8)
(a) Wie gross ist der Winkel der Strasse zur Horizontalen bei 15% Steigung ? (b) bei 100% ?
(a) Wie gross ist die Steigung bei einem Winkel von 15 ? (b) bei bei einem Winkel von 30 ?
Berechne den fehlenden Winkel
(9)
Veranschauliche folgende Beziehungen am Einheitskreis und am Funktionsgraphen
a) sin( x) = sin x
c) cos( x) = cos(x)
b) sin(
d) cos(
x) = sin x
x) = cos(x)
(10)
Löse folgende Gleichungen
a) sin2
2 sin +
c) cos2 z + 2 sin z
3
=0
4
2=0
b) cos2 5 cos x + 6 = 0
d) tan x = 2 sin x
(11)