Blatt 13

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
P. Pickl, J. Nissen-Meyer
WS 2015/16
Blatt 13
25.1.2016
Übung zur Vorlesung
Analysis 1 für Statistiker und Informatiker“
”
1. Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis ist wie folgt definiert. Sei a > 0 und
loga : R+ → R ,
loga x =
ln x
.
ln a
a) Zeigen Sie, dass der Logarithmus zur Basis a die Umkehrfunktion zu ax ist.
b) Zeigen Sie, dass gilt loga x + loga y = loga (x · y) und loga xr = r · loga x für r ∈ R.
c) Bestimmen Sie die Ableitung des Logarithmus zur Basis a.
2. Die aus der Schule bekannte Sinus- und Kosinusfunktion haben folgende Eigenschaften.
Die Ableitungen sind gegeben durch, (sin x)0 = cos x und (cos x)0 = − sin x. Ausserdem
gilt folgenden Identität, (sin x)2 + (cos x)2 = 1. Die Tangesfunktion ist gegeben durch,
sin x
. Die Funktionen sin : [− π2 , π2 ] → R, cos : [0, π] → R und tan : (− π2 , π2 ) → R
tan x = cos
x
sind die Einschränkung auf die Intervalle [− π2 , π2 ], [0, π] bzw. (− π2 , π2 ). Für diese existieren
die Umkehrfunktionen Arkussinus, arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ], Arkuskosinus, arccos :
[−1, 1] → [0, π] und Arkustangens, arctan : R → (− π2 , π2 ). Bestimmen Sie die Ableitung
der Tangensfunktion, sowie der Arkussinus-, Arkuskosinus- und Arkustangensfunktion.
3. Die Funktion f : R → R sei gegeben durch f (x) = x. Die Unterteilung Un teilt das
Intervall [1, 3] in n gleich große Abschnitte. Berechnen Sie jeweils die obere und untere
Schranke zu der Funktion f (x) und der Unterteilung Un für alle n. Bestimmen Sie jeweils
den Grenzwert n → ∞. Warum entspricht dies dem Integral
Z 3
f (x) dx ?
1
4. Nutzen Sie den Hauptsatz der Integralrechnung um folgende Integrale zu bestimmen.
Rb
a) a xn dx, für b > a beliebige reelle Zahlen und n ∈ N,
Rb
b) a x1 dx, für b > a > 0,
Rb 1
dx, b > a > 0 und n ∈ N,
c) a xn+1
Rb
d) a sin x dx, für b > a beliebige reelle Zahlen.