Formelsammlung Angewandte Mathematik (BHS) (gültig ab

Formelsammlung
für die standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung (SRDP)
Angewandte Mathematik
(BHS)
Ab dem Haupttermin 2019 (Mai 2019) ist diese Formelsammlung
die einzig zugelassene Formelsammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik.
Stand: 12. Jänner 2017
Inhaltsverzeichnis
Kapitel
Seite
1 Mengen
3
2 Vorsilben
3
3 Potenzen
3
4 Logarithmen
4
5 Quadratische Gleichungen
4
6 Ebene Figuren
5
7 Körper
6
8 Trigonometrie
7
9 Komplexe Zahlen
8
10 Vektoren
8
11 Geradengleichungen
9
12 Matrizen
10
13 Folgen und Reihen
11
14 Änderungsmaße
11
15 Ableitung und Integral
12
16 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
13
17 Statistik
14
18 Wahrscheinlichkeit
15
19 Lineare Regression
17
20 Finanzmathematik
17
21 Investitionsrechnung
18
22 Kosten- und Preistheorie
19
23 Bewegungsvorgänge
19
Index
20
2
1 Mengen
∈
ist Element von ...
∉
ist nicht Element von …
∩
Durchschnitt(smenge)
∪
Vereinigung(smenge)
⊂
echte Teilmenge
⊆
Teilmenge
\
Differenzmenge („ohne“)
{}
leere Menge
Zahlenmengen
ℕ = {0, 1, 2, ...}
natürliche Zahlen
ℤ
ganze Zahlen
ℚ
rationale Zahlen
ℝ
reelle Zahlen
ℂ
komplexe Zahlen
ℝ
+
ℝ
positive reelle Zahlen
+
0
positive reelle Zahlen mit Null
2 Vorsilben
TeraGigaMegaKiloHektoDeka-
T
G
M
k
h
da
1012
109
106
103
102
101
DeziZentiMilliMikroNanoPico-
d
c
m
μ
n
p
10–1
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
3 Potenzen
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
a ∈ ℝ; n ∈ ℕ\{0}
a n = a ∙ a ∙ ... ∙ a
a ∈ ℝ\{0}; n ∈ ℕ\{0} a1 = a
()
a –n = 1n = 1
a
a
n
a ∈ ℝ\{0}
a–1 = 1
a
a0 = 1
n Faktoren
Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)
a, b ∈ ℝ0; n, k ∈ ℕ\{0}; n ≥ 2
+

a = n b ⇔ a n = b

1
an = n a

k
a n = n ak
a
– nk
1
=
mit a > 0
n
ak
3
Rechenregeln
a, b ∈ ℝ\{0}; r, s ∈ ℤ
bzw. a, b ∈ ℝ+ für beliebige r, s ∈ ℚ
a, b ∈ ℝ0; m, n, k ∈ ℕ\{0}; m, n ≥ 2
+



n
a · b = n a ∙ n b

 k
n
ak = ( n a )


n
a
a
n
=
(b ≠ 0)
b n b


n m
a = n · m a
a r ∙ a s = a r + s
ar
= a r – s
as
(a r ) s = a r ∙ s
(a ∙ b) r = a r ∙ b r
a r ar
= r
b
b
()
Binomische Formeln
a, b ∈ ℝ
(a + b)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2(a + b)3 = a3 + 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 + b3
(a – b)2 = a2 – 2 ∙ a ∙ b + b2(a – b)3 = a3 – 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 – b3
(a + b) ∙ (a – b) = a2 – b2(a – b) ∙ (a2 + a ∙ b + b2) = a3 – b3
4 Logarithmen
a, b, c ∈ ℝ+; a ≠ 1, x ∈ ℝ
x = loga(b) ⇔ a x = b
natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis ℯ): ln(b) = logℯ(b)
dekadischer Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10): lg(b) = log10(b)
loga(b · c) = loga(b) + loga(c)loga b = loga(b) – loga(c)loga(b x ) = x · loga(b)
c
x
loga(a ) = xloga(a) = 1
loga(1) = 0
loga 1 = –1 alog (b) = b
a
()
()
a
5 Quadratische Gleichungen
p, q ∈ ℝ
a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0
x2 + p ∙ x + q = 0

p
p 2
p
x1, 2 = – ±
– q wenn
2
2
2
a ∙ x² + b ∙ x + c = 0

–b ± b2 – 4 · a · c
wenn b2 – 4 · a · c ≥ 0
x1, 2 =
2·a
()
( ) –q≥0
2
Satz von Vieta
x1 und x2 sind genau dann die Lösungen der Gleichung x2 + p ∙ x + q = 0, wenn gilt:
x1 + x2 = –p
x1 ∙ x2 = q
Zerlegung in Linearfaktoren:
x 2 + p ∙ x + q = (x – x1) ∙ (x – x2)
4
6 Ebene Figuren
A ... Flächeninhalt
u ... Umfang
Dreieck
u=a+b+c
Rechtwinkeliges Dreieck
mit Hypotenuse c und Katheten a, b
Allgemeines Dreieck
A=
a · ha b · hb c · hc
=
=
2
2
2
hb
b
A=a·b=
2
2
hc = p · q
a2 = c · p
b2 = c · q
a
hc
ha
c
c · hc
2
b
q
p
c
Heron’sche Flächenformel

A = s · (s – a) · (s – b) · (s – c) mit s = a + b + c
2
Satz des Pythagoras
Ähnlichkeit und Strahlensatz
a
= b = c
b1
a1 b1 c1
Gleichseitiges Dreieck

2
A = a · 3 = a · h
4
2

a
h = a · 3
2
b
a1
a
c
a
hc
a2 + b2 = c2
60°
c1
60°
a
h
60°
a
Viereck
a
Quadrat
A = a2 = d
2

d = a · 2
2
d
a
Raute (Rhombus)
A = a ∙ ha = e · f
2
u=4·a
A=a·b
a
a
a
ha
a
f
d
b
u=2∙a+2∙b

d = a2 + b2
a
u=4·a
a
Rechteck
a
a
Parallelogramm
e
a
A = a ∙ ha = b ∙ hb
u=2∙a+2∙b
b
b
hb
ha
b
a
5
Trapez
A = (a + c) · h
2
u=a+b+c+d
c
d
Deltoid
A= e·f
2
u=2∙a+2∙b
b
h
a
a
a
f
e
b
b
Kreis
Kreisbogen und Kreissektor
A = π ∙ r2 = π · d
4
u=2∙π∙r=π∙d
2
b
α in Grad
r
d=2·r
M
A
r α r
M
b=π∙r· α
180°
2
A=π∙r · α = b·r
360°
2
7 Körper
V ... VolumenM ... Inhalt der Mantelfläche
O ... Inhalt der OberflächeuG ... Umfang der Grundfläche
G ... Inhalt der Grundfläche
PrismaDrehzylinder
V=G∙h
V = π · r2 ∙ h
M = uG ∙ h
M=2∙π∙r·h
h
O=2∙G+M
r
h
O=2∙π∙r +2∙π∙r·h
2
G
r
QuaderWürfel
V=a∙b∙c
V = a3
O = 2 ∙ (a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c) c
b
a
O = 6 · a2
a
a
a
PyramideDrehkegel
V= G·h
3
O=G+M
V = 1 · π ∙ r2 ∙ h
3
M=π·r·s
h
O = π ∙ r2 + π · r ∙ s

s = h2 + r 2
G
Kugel
V = 4 ∙ π ∙ r3
3
O = 4 · π · r2
h
s
r
r
6
8 Trigonometrie
Umrechnung zwischen
Gradmaß und Bogenmaß
180°
· π
Winkel im
Bogenmaß (rad)
·
Winkel im
Gradmaß (°)
π
180°
Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck
1
at
ka
th
et
e
vo
nk
te
vo
1
nα
α
α
Hypotenuse
Trigonometrie im Einheitskreis
cos(α )
1
0
–1
0
α
tan(α)
1
sin(α)
1 y
sin2(α) + cos2(α) = 1
sin(α)
für cos(α) ≠ 0
tan(α) =
cos(α)
he
sin(α)
ge
tan(α)
Ankathete von α
Cosinus:cos(α) =
Hypotenuse
Gegenkathete von α
Tangens:tan(α) =
Ankathete von α Ge
nα
Gegenkathete von α
Hypotenuse
An
Sinus:sin(α) =
x
cos(α )
1
–1
Trigonometrie im allgemeinen Dreieck
Sinussatz:
Cosinussatz:
a
b
c
=
=
sin(α)
sin(β )
sin(γ )
γ
b
a2 = b2 + c2 – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos(α)
b2 = a2 + c2 – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos(β)
c2 = a2 + b2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(γ)
α
a
c
β
Trigonometrische Flächenformel:
A = 1 ∙ b ∙ c ∙ sin(α) = 1 ∙ a ∙ c ∙ sin(β) = 1 ∙ a ∙ b ∙ sin(γ )
2
2
2
Allgemeine Sinusfunktion
A ... AmplitudeT ... Schwingungsdauer (Periodendauer)
ω ... Kreisfrequenzf ... Frequenz
φ ... Nullphasenwinkel
y(t) = A ∙ sin(ω ∙ t + φ)
1
T = 2π
ω = f
φ
t0 = –ω
y(t)
A
f
t
t0
T
–A
7
9 Komplexe Zahlen
j bzw. i ... imaginäre Einheit mit j 2 = –1 bzw. i 2 = –1
+
a ... Realteil, a ∈ ℝr ... Betrag, r ∈ ℝ0
b ... Imaginärteil, b ∈ ℝ
φ ... Argument, φ ∈ ℝ
Komponentenform
Polarformen
z=a+b∙j
z = r ∙ [cos(φ) + j ∙ sin(φ)] = r ∙ ℯ j ∙ φ = (r; φ) = r φ
imaginäre Achse
Umrechnungen
z=a+b·j
b·j

a = r ∙ cos(φ)
r = a2 + b2
b = r ∙ sin(φ)tan(φ) = b
a
r
0
reelle Achse
φ
0
a
10 Vektoren
P, Q ... Punkte
Vektoren in ℝ2
Vektoren in ℝn
Pfeil von P nach Q:
P = ( p1 | p2 ), Q = (q1 | q2 )
Pfeil von P nach Q:
P = ( p1 | p2 | ... | pn ), Q = ( q1 | q2 | ... | qn )
q1 – p1
q –p
PQ = 2 .. 2
.
qn – pn
PQ =
(qq –– pp )
1
1
2
2
Rechenregeln in ℝ2
a=
Rechenregeln in ℝn
(aa ), b = (bb ), a ± b = (aa ±± bb )
1
1
1
1
2
2
2
2
k·a=k·
(aa ) = (kk ·· aa ) mit k ∈ ℝ
1
1
2
2
( )
() () ( )
() ( )
a1
b1
a
b
a = ..2 , b = ..2
.
.
an
bn
a1
a
k · a = k · ..2 =
.
an
a1 ± b1
a2 ± b2
..
,a±b=
.
an ± bn
k · a1
k · a2
mit k ∈ ℝ
..
.
k · an
Skalarprodukt in ℝ2
Skalarprodukt in ℝn
a · b = a1 · b1 + a2 · b2
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn
Betrag (Länge) eines Vektors in ℝ2
Betrag (Länge) eines Vektors in ℝn

| a | = a12 + a22
(a )
Normalvektoren zu a = a1 in ℝ2
2
n=k·

| a | = a12 + a22 + ... + an2
(–aa ) mit k ∈ ℝ\{0} und a ≠ 0
2
1
8
Winkel φ zwischen a und b mit a, b ≠ 0
cos(φ) = a · b
| a | · | b |
a·b=0 ⇔ a⊥b
Einheitsvektor a0 in Richtung a
a0 =
1
| a |
· a mit a ≠ 0
Vektorprodukt in ℝ3
()()(
a1
b1
a2 · b3 – a3 · b2
a × b = a2 × b2 = a3 · b1 – a1 · b3
a3
b3
a1 · b2 – a2 · b1
)
11 Geradengleichungen
g ... Gerade
g ... ein Richtungsvektor der Geraden g
n ... ein Normalvektor der Geraden g
X, P ... Punkte auf der Geraden g
k ... Steigung der Geraden g
α ... Steigungswinkel der Geraden g
a, b, k, d ∈ ℝ
Parameterdarstellung einer Geraden g in ℝ2 und ℝ3
g: X = P + t ∙ g mit t ∈ ℝ
Gleichung einer Geraden g in ℝ2
Funktionsgleichung: g: y = k ∙ x + d
allgemeine Geradengleichung: g: a ∙ x + b ∙ y = c
Normalvektordarstellung: g: n ∙ X = n ∙ P
}
dabei gilt k = tan(α )
dabei gilt n ∥
(ba) für (ba) ≠ (00)
9
12 Matrizen
aij, bij ∈ ℝ; i, j, m, n, p ∈ ℕ\{0}, k ∈ ℝ
Addition/Subtraktion von Matrizen
(
)(
)(
)
a11±b11... a1n ± b1n
a11... a1n
b11... b1n
. .
.
. ..
.
.
.
.
.
.
....
. . ± ....
. . = . . .
am1... amn
bm1... bmn
m1±bm1 ... amn± bmn
a
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl k
(
)(
a11... a1n
k·a11... k·a1n
.
.
.
.
.
k · .
...
. .
.
. . = .
. ..
...
...
am1 amn
k·am1 k·amn
)
Multiplikation von Matrizen
A ... m × p-Matrix
B ... p × n-Matrix
C = A ∙ B ... m × n-Matrix
( )
(
a11... a1p
c11... c1j ... c1n
.
. .
...
...
...
...
...
b
b
b
. . .
...
11
1j
1n
...
... c ... c
...
=
ai1 ... aip · c
...
i1
ij
in
.
. .
...
...
...
...
...
b
b
b
. . .
...
p1
pj
pn
am1... amp
cm1... cmj ... cmn
(
)
Einheitsmatrix E
(
0...0
1
.. ..
. .
E = ..01
.. ..
. . .0
0 ...0 1
)
)
mit cij = ai1 ∙ b1j + ai2 ∙ b2j + … + aip ∙ bpj
Transponierte Matrix AT
(
(
11
a
a21
A = ... am1
a12
a22
..
. am2
a11
a12
AT = ... a1n
a21
a22
..
. a2n
Inverse Matrix A−1
einer quadratischen Matrix
)
)
... a
1n
... a
..
.2n
. ..
... a
mn
... a
m1
... a
..
.m2
. ..
... a
A ∙ A−1 = A−1 ∙ A = E
mn
Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise (n Gleichungen in n Variablen)
a11 ∙ x1 + a12 ∙ x2 + … + a1n ∙ xn = b1
a21 ∙ x1 + a22 ∙ x2 + … + a2n ∙ xn = b2
…
an1 ∙ x1 + an2 ∙ x2 + … + ann ∙ xn = bn
(
a11
a12
..
. an1
...
...
..
. ...
a12
a22
..
. an2
A
a1n
a2n
..
.
ann
)() ()
x1
b1
x2
b
· .. = ..2
.
.
xn
bn
· x
= b
Wenn die inverse Matrix A−1 existiert, dann gilt: x = A−1 ∙ b
10
13 Folgen und Reihen
Arithmetische Folge Geometrische Folge
(an) = (a1, a2, a3, ...)
(bn) = (b1, b2, b3, ...)
d = an + 1 – an
q=
Rekursives Bildungsgesetz
Rekursives Bildungsgesetz
an + 1 = an + d
bn + 1 = bn · q
Explizites Bildungsgesetz
Explizites Bildungsgesetz
an = a1 + (n – 1) · d
bn = b1 · q n – 1
Endliche arithmetische Reihe
Endliche geometrische Reihe
Summe der ersten n Glieder
Summe der ersten n Glieder
n
bn + 1
bn
n
sn = ∑ ak = a1 + a2 + ... + an – 1 + an
k = 1 sn = n ∙ (a1 + an) = n ∙ [2 ∙ a1 + (n – 1) ∙ d]
2
2
sn = ∑ bk = b1 + b2 + ... + bn – 1 + bn
k = 1 qn – 1
mit q ≠ 1
sn = b1 ∙
q–1
Unendliche geometrische Reihe
∞
∑ bn ist genau dann konvergent,
n = 1 wenn | q | < 1
b1
lim sn =
s = n → ∞
für | q | < 1
1–q
14 Änderungsmaße
Für eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion f gilt:
Absolute Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a)
Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a)
mit f(a) ≠ 0
f(a)
Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. [x; x + ∆x]
f(b) – f(a)
f(x + ∆x) – f(x)
bzw.
mit b ≠ a bzw. ∆x ≠ 0
b–a
∆x
Differenzialquotient (lokale bzw. „momentane“ Änderungsrate) von f an der Stelle x
f(x + ∆x) – f(x)
f(z) – f(x)
lim f′(x) = ∆x → 0
bzw. f′(x) = lim
z → x z – x
∆x
11
15 Ableitung und Integral
f, g, h ... auf ganz ℝ oder in einem Intervall definierte differenzierbare Funktionen
F ... Stammfunktion von f
C, k, q ∈ ℝ, a ∈ ℝ+\{1}
Funktion
Ableitungsfunktion
Unbestimmtes Integral
(Menge der Stammfunktionen)
f(x) = k
f ′(x) = 0
F(x) = k ∙ x + C
f(x) = x q
f ′(x) = q ∙ x q – 1
q + 1
F(x) = x
+ C für q ≠ –1
q+1
F(x) = ln(| x |) + C für q = –1
f(x) = ℯ x
f ′(x) = ℯ x
F(x) = ℯ x + C
f(x) = a x
f′(x) = ln(a) ∙ a x
x
F(x) = a + C
ln(a)
f(x) = ln(x)
f′(x) = 1
x
F(x) = x ∙ ln(x) – x + C
f(x) = loga(x)
f′(x) =
f(x) = sin(x)
f′(x) = cos(x)
F(x) = –cos(x) + C
f(x) = cos(x)
f′(x) = –sin(x)
F(x) = sin(x) + C
f(x) = tan(x)
f′(x) = 1 + tan2(x) =
1
x · ln(a)
F(x) = 1 ∙ (x · ln(x) – x) + C
ln(a)
1
cos2(x)
F(x) = –ln(| cos(x) |) + C
Ableitungsregeln
Faktorregel
(k ∙ f )′ = k ∙ f′
Summenregel
(f ± g)′ = f′ ± g′
Produktregel
(f ∙ g)′ = f′ ∙ g + f ∙ g′
Quotientenregel
( gf )′ = f′ ∙ g g²– f ∙ g′ mit g(x) ≠ 0
Kettenregel
h(x) = f(g(x)) ⇒ h′(x) = f′(g(x)) ∙ g′(x)
12
Integrationsmethode – lineare Substitution
∫ f(a ∙ x + b) dx =
F(a ∙ x + b)
+C
a
Bestimmtes Integral
∫ f(x) dx = F(x) |
b
b
a
a
= F(b) – F(a)
Volumen von Rotationskörpern
Rotation des Graphen einer Funktion f mit y = f(x) um eine Koordinatenachse
Rotation um die x-Achse (a ≤ x ≤ b)
b
Rotation um die y-Achse (c ≤ y ≤ d)
d
Vx = π ∙ ∫ y 2 dx
Vy = π ∙ ∫ x 2 dy
a
c
Bogenlänge s des Graphen einer Funktion f im Intervall [a; b]
b 
s = ∫ 1 + (f′(x))2 dx
a
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
m=
1
·
b–a
b
∫ f(x) dx
a
16 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen
y′ = f(x) ∙ g( y) bzw.
dy
= f(x) ∙ g( y) mit y = y(x)
dx
Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ... allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
yh ... allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung y′ + a ∙ y = 0
yp ... partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
s ... Störfunktion
y′ + a ∙ y = s(x) mit a ∈ ℝ, y = y(x)
y = yh + yp
13
17 Statistik
x1, x2, ... , xn ... eine Liste von n reellen Zahlen
Dabei treten k verschiedene Werte x1, x2, ... , xk auf.
Hi ... absolute Häufigkeit von xi mit H1 + H2 + ... + Hk = n
Relative Häufigkeit von xi
hi =
Hi
n
Lagemaße
Arithmetischer Mittelwert
x + x2 + ... + xn 1 n
= · ∑ xi
x= 1
n
n i = 1
x · H + x2 · H2 + ... + xk · Hk 1 k
= · ∑ xi · Hi
x= 1 1
n
n i = 1
Median bei metrischen Daten
Geometrischer Mittelwert

xgeo = n x1 ∙ x2 ∙ … ∙ xn mit xi > 0
x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ... geordnete Liste mit n Werten
x n + 1
... für n ungerade
2
x̃ = 1
· xn + xn + 1) ... für n gerade
2
2 ( 2
{
Quartile
q1: Mindestens 25 % der Werte sind kleiner oder gleich q1, zugleich sind mindestens 75 % der
Werte größer oder gleich q1.
q2 = x̃
q3: Mindestens 75 % der Werte sind kleiner oder gleich q3, zugleich sind mindestens 25 % der
Werte größer oder gleich q3.
Streuungsmaße
Varianz bei einer Vollerhebung (Grundgesamtheit)
n
s2 = 1 ∙ ∑ ( xi – x )2
n i = 1
k
s2 = 1 ∙ ∑ ( xi – x )2 · Hi
n i = 1
Standardabweichung
bei einer Vollerhebung (Grundgesamtheit)


n
1
1 k
s=
s=
∙ ∑ (xi – x )2
∙ ∑ (x – x )2 · Hi
n i = 1
n i = 1 i
Wenn aus einer Stichprobe vom Umfang n der Mittelwert μ und die Varianz σ ² einer Grundgesamtheit geschätzt werden sollen:
Varianz einer Stichprobe
n
s2 = 1 ∙ ∑ (xi – x )2
n – 1 i = 1 Standardabweichung
einer Stichprobe

n
1
s=
∙ ∑ (x – x )2
n – 1 i = 1 i
Spannweite
xmax – xmin
(Inter)quartilsabstand
q3 – q1
s2 =
s=
k
1
∙ ∑ (xi – x )2 · Hi
n – 1 i = 1 
k
1
∙ ∑ (xi – x )2 · Hi
n – 1 i = 1
14
18 Wahrscheinlichkeit
E, A, B ... Ereignisse
¬E = E ... Gegenereignis von E
A ∧ B ... A und B
A ∨ B ... A oder B
P(E) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E
P(A | B) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass
B eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit)
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch
P(E ) =
Anzahl der für E günstigen Ausgänge
Anzahl der möglichen Ausgänge
Elementare Regeln
P(E ) = 1 – P(E )
P(A ∧ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B)
P(A ∧ B) = P(A) ∙ P(B) ... wenn A und B (stochastisch) unabhängig voneinander sind
P(A ∨ B) = P(A) + P(B) – P(A ∧ B)
P(A ∨ B) = P(A) + P(B) ... wenn A und B unvereinbar sind
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
P(A | B) =
P(A ∧ B)
P(B)
Satz von Bayes
P(A | B) =
P(A) ∙ P(B | A)
P(A) ∙ P(B | A)
=
P(B)
P(A) ∙ P(B | A) + P(A) ∙ P(B | A)
Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariablen X
mit den Werten x1, x2, ... , xn
n
E(X ) = μ = x1 ∙ P(X = x1) + x2 ∙ P(X = x2) + ... + xn ∙ P(X = xn ) = ∑ xi ∙ P(X = x i )
i = 1
Varianz V(X) einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x1, x2, ... , xn
n
V(X ) = σ 2 = ∑ (xi – μ )2 ∙ P(X = x i )
i = 1
Standardabweichung σ

σ = V(X)
Binomialverteilung
n, k ∈ ℕ, p ∈ ℝ; k ≤ n, 0 ≤ p ≤ 1
Fakultät (Faktorielle)
n! = n ∙ (n – 1) · ... ∙ 1
0! = 1
1! = 1
Binomialkoeffizient
n
n!
=
k! ∙ (n – k)!
k
()
Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p
n
E(X ) = μ = n ∙ p
P(X = k) =
∙ p k ∙ (1 – p) n – k
k
V(X ) = σ ² = n ∙ p ∙ (1 – p)
()
15
Normalverteilung
μ , σ ∈ ℝ, σ > 0
f ... Dichtefunktion
F ... Verteilungsfunktion
φ ... Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
ϕ ... Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Normalverteilung N(μ; σ ²): Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der
Standardabweichung σ bzw. der Varianz σ ²
x – μ
x
x
– 1 · (
1
)
P(X ≤ x1) = F(x1) = ∫ f(x) dx = ∫ 
∙ ℯ 2 σ dx
–∞
–∞ σ ∙
2 ∙ π
2
1
1
Wahrscheinlichkeiten für σ- Umgebungen
P( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ ) ≈ 0,683
P( μ – 2 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 2 ∙ σ ) ≈ 0,954
P( μ – 3 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 3 ∙ σ ) ≈ 0,997
Standardnormalverteilung N(0; 1)
x–μ
z=
σ
z
z
1
– x
ϕ (z) = P(Z ≤ z) = ∫ φ (x) dx = 
∙ ∫ ℯ 2 dx
–∞
2 ∙ π –∞ ϕ (–z) = 1 – ϕ (z)
P(–z ≤ Z ≤ z) = 2 ∙ ϕ (z) – 1
2
P(–z ≤ Z ≤ z)
z
= 90 %
≈ 1,645
= 95 %
≈ 1,960
= 99 %
≈ 2,576
Zufallsstreubereich und Konfidenzintervall
μ , σ , α ∈ ℝ; σ > 0, 0 < α < 1
x ... Stichprobenmittelwert
s ... Standardabweichung einer Stichprobe
n ... Stichprobenumfang
z α ... 1 – α -Quantil der Standardnormalverteilung
1 – 2
tf; 1 – α
2
( 2)
... (1 – α )-Quantil der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden
2
Zweiseitiger (1 – α )-Zufallsstreubereich für einen Einzelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen
[μ – z
1 – α2
∙ σ ; μ + z1 – α ∙ σ
2
]
Zweiseitiger (1 – α )-Zufallsstreubereich für den Stichprobenmittelwert normalverteilter Werte
μ – z1 – α2 ∙ σ ; μ + z1 – α2 ∙ σ
n
n
[
]
Zweiseitiges (1 – α)-Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen
σ bekannt: x – z1 – α2 ∙ σ ; x + z1 – α2 ∙ σ
n
n
s
s
σ unbekannt: x – tf; 1 – α2 ∙  ; x + tf; 1 – α2 ∙ 
mit f = n – 1
n
n
[
[
]
]
16
19 Lineare Regression
(x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn) ... Wertepaare
x, y ... arithmetischer Mittelwert der xi bzw. yi
Lineare Regressionsfunktion f mit f(x) = k · x + d
n
∑ (xi – x ) · (yi – y )
k = i = 1 n
∑ (xi – x )2
i = 1
d=y–k·x
Korrelationskoeffizient nach Pearson
n
∑ (xi – x ) · (yi – y )
r =  i = 1
n
n
∑ (xi – x )2 · ∑ ( yi – y )2
i = 1
i = 1
20 Finanzmathematik
Zinsen und Zinseszinsen
K0 ... Anfangskapital
Kn ... Endkapital nach n Jahren
i ... Jahreszinssatz
einfache Verzinsung: Kn = K0 ∙ (1 + i ∙ n)
Zinseszinsen: Kn = K0 ∙ (1 + i ) n
Unterjährige Verzinsung
m ... Anzahl der Zinsperioden pro Jahr
Für Zinssätze gelten folgende Abkürzungen:
p. a. ... pro Jahr
p. s. ... pro Semester
p. q. ... pro Quartal
p. m. ... pro Monat
unterjähriger Zinssatz im
Kn = K0 ∙ (1 + i m ) n ∙ m
i = (1 + i m)m – 1
te
len
inom
m
va
ui
äq
im =
e
tz
sä
ns
Zi
inom = m · im
nomineller Jahreszinssatz inom

im = m 1 + i – 1
effektiver Jahreszinssatz i
17
Rentenrechnung
R ... Ratenhöhe
n ... Anzahl der Raten
i ... Zinssatz
q = 1 + i ... Aufzinsungsfaktor
Voraussetzung: Rentenperiode = Zinsperiode
Endwert E
Barwert B
nachschüssig
vorschüssig
n
Enach = R ∙ q – 1
q–1
n
Bnach = R ∙ q – 1 ∙ 1n
q–1 q
n
Evor = R ∙ q – 1 ∙ q
q–1
n
Bvor = R ∙ q – 1 ∙ 1n – 1
q–1 q
Tilgungsplan
Zeit
Zinsanteil
Tilgungsanteil
Annuität
0
Restschuld
K0
1
K0 ∙ i
T1
A1 = K0 ∙ i + T1
K1 = K0 – T1
...
...
...
...
...
21 Investitionsrechnung
Et ... Einnahmen im Jahr t
At ... Ausgaben im Jahr t
A0 ... Anschaffungskosten
Rt ... Rückflüsse im Jahr t
Rt = Et – At
i ... kalkulatorischer Zinssatz (Jahreszinssatz)
n ... Nutzungsdauer in Jahren
Kapitalwert C0
C0 =
Interner Zinssatz iintern
[ (1R+ i) + (1 R+ i)
1
2
2
+ ... +
]
Rn
– A0
(1 + i)n
[ (1 +Ri
1
intern )
+
]
R2
Rn
+ ... +
– A0 = 0
(1 + iintern )2
(1 + iintern )n
Modifizierter interner Zinssatz imod
iw ... Wiederveranlagungszinssatz (Jahreszinssatz)
A0 ∙ (1 + imod ) n = E mit E = R1 ∙ (1 + iw)n – 1 + R2 ∙ (1 + iw) n – 2 + … + Rn – 1 ∙ (1 + iw) + Rn
18
22 Kosten- und Preistheorie
x ... produzierte, angebotene, nachgefragte bzw. verkaufte Menge (x ≥ 0)
Kostenfunktion K
K(x)
Fixkosten F
K(0)
variable Kostenfunktion Kv
Kv(x) = K(x) – F
Grenzkostenfunktion K′
K′(x)
Stückkostenfunktion (Durchschnittskostenfunktion) K
K(x) =
K(x)
x
variable Stückkostenfunktion
(variable Durchschnittskostenfunktion) Kv
Kv(x) =
Kv(x)
x
Betriebsoptimum xopt
K′(xopt) = 0 (Minimumstelle von K)
langfristige Preisuntergrenze (kostendeckender Preis)
K(xopt)
Betriebsminimum xmin
Kv′(xmin) = 0 (Minimumstelle von Kv )
kurzfristige Preisuntergrenze
Kv(xmin )
Kostenkehre
K″(x) = 0
progressiver Kostenverlauf
K″(x) > 0
degressiver Kostenverlauf
K″(x) < 0
Preis p
Preisfunktion der Nachfrage (Preis-Absatz-Funktion) pN
pN(x)
Preisfunktion des Angebots pA
pA(x)
Marktgleichgewicht
pA(x) = pN(x)
Höchstpreis
pN(0)
Sättigungsmenge
pN(x) = 0
Erlösfunktion (Umsatzfunktion) E
E(x) = p ∙ x bzw. E(x) = pN(x) ∙ x
Grenzerlösfunktion E′
E′(x)
Gewinnfunktion G
G(x) = E(x) – K(x)
Grenzgewinnfunktion G′
untere Gewinngrenze (Break-even-Point, Gewinnschwelle) xu
obere Gewinngrenze xo
G′(x)
G(xu) = G(xo) = 0 mit xu ≤ xo
Gewinnzone (Gewinnbereich)
[xu; xo ]
Cournot’scher Punkt C
C = (xC | pN(xC)) mit G′(xC) = 0
23 Bewegungsvorgänge
t ... Zeit
Weg-Zeit-Funktion s
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v
Beschleunigung-Zeit-Funktion a
s(t)
v(t) = s′(t)
a(t) = v′(t) = s″(t)
19
Index
A
Ableitung 12
Ableitungsfunktion 12
Ableitungsregeln 12
absolute Änderung 11
absolute Häufigkeit 14
Ähnlichkeit 5
allgemeines Dreieck 5, 7
Amplitude 7
Änderungsmaße 11
Änderungsrate 11
Anfangskapital 17
Annuität 18
Anschaffungskosten 18
äquivalente Zinssätze 17
arithmetische Folge 11
arithmetischer Mittelwert 14
arithmetische Reihe 11
Aufzinsungsfaktor 18
B
Barwert 18
bedingte Wahrscheinlichkeit 15
Beschleunigung-Zeit-Funktion 19
bestimmtes Integral 13
Betriebsminimum 19
Betriebsoptimum 19
Bewegungsvorgänge 19
Binomialkoeffizient 15
Binomialverteilung 15
binomische Formeln 4
Bogenlänge 13
Bogenmaß 7
Break-even-Point 19
C
Cosinus 7
Cosinussatz 7
Cournot’scher Punkt 19
D
degressiver Kostenverlauf 19
Deka- 3
dekadischer Logarithmus 4
Deltoid 6
Dezi- 3
Dichtefunktion 16
Differenzenquotient 11
Differenzialgleichungen 13
Differenzialquotient 11
Differenzmenge 3
diskrete Zufallsvariable 15
Drehkegel 6
Drehzylinder 6
Dreieck 5
Durchschnitt(smenge) 3
Durchschnittskostenfunktion 19
E
ebene Figuren 5
echte Teilmenge 3
effektiver Jahreszinssatz 17
einfache Verzinsung 17
Einheitskreis 7
Einheitsmatrix 10
Einheitsvektor 9
Element 3
Endkapital 17
Endwert 18
Erlösfunktion 19
Erwartungswert 15, 16
explizites Bildungsgesetz 11
F
Faktorielle 15
Faktorregel 12
Fakultät 15
Finanzmathematik 17
Fixkosten 19
Flächeninhalt 5
Folgen 11
Freiheitsgrad 16
Frequenz 7
G
ganze Zahlen 3
Gegenereignis 15
geometrische Folge 11
geometrischer Mittelwert 14
geometrische Reihe 11
Gerade 9
Geradengleichungen 9
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion 19
Gewinnbereich 19
Gewinnfunktion 19
Gewinngrenze 19
Gewinnschwelle 19
Gewinnzone 19
Giga- 3
gleichseitiges Dreieck 5
Gradmaß 7
Grenzerlösfunktion 19
Grenzgewinnfunktion 19
Grenzkostenfunktion 19
Grundfläche 6
H
Hekto- 3
Heron’sche Flächenformel 5
Höchstpreis 19
homogene Differenzialgleichung 13
Hypotenuse 5
I
Imaginärteil 8
inhomogene Differenzialgleichung 13
Integral 12
interner Zinssatz 18
Interquartilsabstand 14
inverse Matrix 10
Investitionsrechnung 18
J
Jahreszinssatz 17
K
kalkulatorischer Zinssatz 18
Kapitalwert 18
Kathete 5
Kettenregel 12
Kilo- 3
komplexe Zahlen 8
Komponentenform 8
Konfidenzintervall 16
Körper 6
Korrelationskoeffizient 17
Kosten- und Preistheorie 19
kostendeckender Preis 19
Kostenfunktion 19
Kostenkehre 19
Kreis 6
Kreisbogen 6
Kreisfrequenz 7
Kreissektor 6
Kugel 6
kurzfristige Preisuntergrenze 19
L
Lagemaße 14
langfristige Preisuntergrenze 19
Laplace-Versuch 15
leere Menge 3
lineare Gleichungssysteme 10
lineare Regression 17
lineare Substitution 13
linearer Mittelwert 13
Linearfaktoren 4
Logarithmen 4
lokale Änderungsrate 11
M
Mantelfläche 6
Marktgleichgewicht 19
Matrix 10
Median 14
Mega- 3
Mengen 3
Mikro- 3
Milli- 3
20
Mittelwert 14
mittlere Änderungsrate 11
modifizierter interner Zinssatz 18
momentane Änderungsrate 11
N
nachschüssig 18
Nano- 3
natürliche Zahlen 3
natürlicher Logarithmus 4
nomineller Jahreszinssatz 17
Normalvektor 8
Normalverteilung 16
Nullphasenwinkel 7
Nutzungsdauer 18
O
Oberfläche 6
P
Parallelogramm 5
Parameterdarstellung 9
Periodendauer 7
Pico- 3
Polarformen 8
Potenzen 3
Preis 19
Preis-Absatz-Funktion 19
Preisfunktion der Nachfrage 19
Preisfunktion des Angebots 19
Prisma 6
Produktregel 12
progressiver Kostenverlauf 19
prozentuelle Änderung 11
Pyramide 6
Q
Quader 6
Quadrat 5
quadratische Gleichungen 4
Quantil 16
Quartil 14
Quartilsabstand 14
Quotientenregel 12
R
Rate 18
Ratenhöhe 18
rationale Exponenten 3
rationale Zahlen 3
Raute 5
Realteil 8
Rechteck 5
rechtwinkeliges Dreieck 5, 7
reelle Zahlen 3
Reihen 11
rekursives Bildungsgesetz 11
relative Änderung 11
relative Häufigkeit 14
Rentenrechnung 18
Restschuld 18
Rhombus 5
Richtungsvektor 9
Rotationskörper 13
Rückflüsse 18
S
Sättigungsmenge 19
Satz des Pythagoras 5
Satz von Bayes 15
Satz von Vieta 4
Schwingungsdauer 7
Sigma-Umgebungen 16
Sinus 7
Sinusfunktion 7
Sinussatz 7
Skalarprodukt 8
Spannweite 14
Stammfunktionen 12
Standardabweichung 14, 15, 16
Standardnormalverteilung 16
Statistik 14
Steigung 9
Steigungswinkel 9
Stichprobe 14, 16
Stichprobenmittelwert 16
Stichprobenumfang 16
Störfunktion 13
Strahlensatz 5
Streuungsmaße 14
Stückkostenfunktion 19
Summenregel 12
V
variable Durchschnittskostenfunktion 19
variable Kostenfunktion 19
variable Stückkostenfunktion 19
Varianz 14, 15
Vektoren 8
Vektorprodukt 9
Vereinigung(smenge) 3
Verteilungsfunktion 16
Verzinsung 17
Viereck 5
Volumen 6, 13
vorschüssig 18
Vorsilben 3
W
Wahrscheinlichkeit 15, 16
Weg-Zeit-Funktion 19
Wiederveranlagungszinssatz 18
Winkel 7
Würfel 6
Wurzeln 3
Z
Zahlenmengen 3
Zenti- 3
Zinsanteil 18
Zinsen 17
Zinseszinsen 17
Zinssatz 18
Zufallsstreubereich 16
Zufallsvariable 15, 16
σ-Umgebungen 16
T
Tangens 7
Teilmenge 3
Tera- 3
Tilgungsanteil 18
Tilgungsplan 18
transponierte Matrix 10
Trapez 6
trennbare Variablen 13
Trigonometrie 7
trigonometrische Flächenformel 7
t-Verteilung 16
U
Umfang 5, 6
Umsatzfunktion 19
unbestimmtes Integral 12
unendliche geometrische Reihe 11
unterjährige Verzinsung 17
21