Theoretische Physik I: Mathematische Grundlagen

Theoretische Physik I: Mathematische Grundlagen
http://www.tu-chemnitz.de/physik/THUS/de/lehre/MM1 WS1516.php
Dr. Philipp Cain
[email protected]
Raum 2/P310, Telefon 531-33144
Fabian Teichert
[email protected]
Raum 2/W449, Telefon 531-32314
Übung 0
– Wiederholung –
0/1 Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich.
4
25x
48ax 63ay
·
b)
xy ·
a)
49by 32bx
15
28y
45ac 81ad
99ac
11
c)
:
d)
:
ab
56bd 49bc
35b
14
a+1
a−1
1
4
x2 + y 2
x2
y2
e) 2
− 2
+ − 2
f)
−
− 2
2
a −a a +a a a −1
xy
xy + y
x + xy
2
1
1
a+1
+
+ 2
−1
2
y
xy x
h) a − 1
g)
1
a+1
1
−
+1
y 2 x2
a−1
x5 − 3x4 + 5x3 − 7x2 + 9x − 5
x−1
3
2
3x + 4x − 9x − 8
k)
x+2
i)
j)
x3 − 1
x−1
0/2 Nutzen Sie Potenz- und Logarithmengesetze, um die folgenden Terme zusammenzufassen.
a)
q√
4
3
x·
q√
6
x2 ·
√
12
x7
d) log5 12 − 2 log5 2 − log5 3
f)
v s
u
ua b ra
b) t
b
a
b
x+y
c)
z
s
3
x2
z4 − z3x
+ 2xy + y 2
e) log3 30 − 2 log3 5 + log3 10 − 32 log3 8
loga v + 2 loga w
loga u
0/3 Zeichnen Sie einen Einheitskreis. Zeichnen Sie für zwei beliebige Winkel ϕ die geometrische Bedeutung der folgenden Ausdrücke ein.
a) sin ϕ
b) cos ϕ
c) tan ϕ
d) cot ϕ
0/4 Gegeben sei ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Weiterhin sei ϕ ein Winkel, durch den ein Punkt P auf dem Kreis definiert ist. Berechnen
Sie die Koordinaten des Punktes P = (x, y).
a) P1 : r = 2 cm, ϕ = 45◦
b) P2 : r = 3 cm, ϕ = 120◦
c) P3 : r = 3 cm, ϕ = π
Berechnen Sie die Länge des Kreisbogens zwischen den Punkten P2 und P3 .
0/5 Zeigen Sie am Einheitskreis, dass folgende Aussagen gelten.
a) sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
c) sin π4 =
b) sin ϕ = cos
√
d) sin π6 =
2
2
π
2
−ϕ
1
2
e) cos ϕ = cos(ϕ + 2π)
f) cos ϕ = − cos(π − ϕ)
g) cos ϕ = cos(−ϕ)
h) sin ϕ = − sin(−ϕ)
0/6 Zeichnen Sie die quadratische Funktion
y(x) = a(x − b)2 + c
in ein Koordinatensystem ein. Welche Bedeutung haben die Parameter a, b und c?
0/7 Formen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen in die Normalform bzw. die
Scheitelpunktform um. Berechnen Sie jeweils die Lösungen x für y = 2.
Normalform:
y(x) = ax2 + bx + c
Scheitelpunktform:
y(x) = a(x − b)2 + c
a) y(x) = (x − 2)2 + 1
b) y(x) = 21 (x + 5)2 − 6
c) y(x) = x2 + x
d) y(x) = x2 + 6x + 11
0/8 Gegeben seien die Punkte P1 = (1, 4) sowie P2 = (−2, 1).
a) Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel, deren Minimum in P1 liegt.
b) Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel, deren Maximum in P2 liegt.
0/9 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung ax2 + bx + c ≥ 0.
Beachten Sie die Unterscheidung aller Fälle.