4√ ___

32
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Wurzeln, irrationale Zahlen
Wurzeln, irrationale Zahlen
REGEL
Für alle positiven rationalen Zahlen a ist das Wurzelziehen eine Umkehrung des
Potenzierens.
n-te Wurzel
a
für alle a . 0 und nPN*\{1}
b
hoch n
__
Die Zahl ​√ a ​ (lies: n-te Wurzel aus a) ist diejenige positive Zahl b, für die
bn = a gilt.
n
__
_
__
​√ a ​ wird kurz √
​ a ​
geschrieben und heißt Quadratwurzel, ​√ a ​ heißt Kubikwurzel.
2
3
___
__ n
Allgemein gilt: ​√ an ​ = ( ​​ ​√ a ​ )​​ ​= a
n
Beispiele:
___
√ 4
1
n
_
a) ​√ 9 ​ = 3, weil 32 = 9
1
( 1 )
4
3
√ _
<44< Berechnen Sie die Wurzel.
_
____
n
√ √ _
c)​√ 0,16 ​ b) ​√ 343 ​ 3
<45< Bestimmen Sie n durch Probieren.
____
_______
289 ​ = 17
a)​√ ( )
25 __
5
5 2 25
d)​ ​ ___
​ ​= ​ 7 ​ , weil ​​ __
​ 7 ​ ​​ ​= ​ ___
​
49
49
1
c)​ __
​ 16 ​ ​ = __
​ 2 ​ , weil ​​ __
​ 2 ​ ​​ ​= __
​ 16 ​ a)​√ 144 ​ _____
b)​√ 1000 ​ = 10, weil 103 = 1000
b)​√ 0,0081 ​
= 0,3
n
3
____
64
n
____
81
3
d)​ ____
​ 625 ​ ​ = __
​ 5 ​
c) ​√ 256 ​ = 2
n
___
d)​ ___
​ 216 ​ ​ REGEL
— Viele Wurzeln sind keine rationalen Zahlen, sie sind irrational (d. h. nicht dara
Man kann sie dann als
stellbar als gekürzter Bruch __
​ b ​mit aPN und bPN*).
_
unendliche, nicht periodische Brüche schreiben. √
​ 2 ​ ist z. B. irrational.
_
a
a
— Beweis: Gäbe es einen gekürzten Bruch __
​ b ​ (b ° 1) mit √
​ 2 ​ = __
​ b ​, dann müsste
a2
durch Quadrieren gelten 2 = ___
​ 2 ​. Das aber ist unmöglich, da nicht weiter geb
kürzt werden kann.
Beispiele:
Welche Kantenlänge__
a hat ein Würfel, dessen Volumen 4 m3 beträgt?
__
3
3
4 ​ ist irrational, es gilt: ​√ 4 ​ = 1,587 401 0… ⇒ a ø 1,59 m
Auch ​√ <46< Geben Sie die Wurzel auf drei Nachkommastellen gerundet an.
_
___
__
3
4
a)​√ 2 ​ b)​√ 10 ​ c)​√ 5 ​ _
d)​√ 0,75 ​ <47< Gegeben ist der Flächeninhalt eines Quadrates.
Geben Sie seine Kantenlänge auf vier geltende Ziffern gerundet an.
b) A = 4,8 m2
c) A = 12,5 m2
d) A = 1000 m2
a) A = 7 m2
<48< Gegeben ist das Volumen eines Würfels.
Geben Sie die Kantenlänge auf drei geltende Ziffern gerundet an.
b) V = 5,5 m3
c) V = 200 dm3
d) V = 100 mm3
a) V = 2 cm3
33
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Wurzeln, irrationale Zahlen
REGEL
Es gelten die folgenden Wurzelgesetze:
__ n __
___
a ​ · ​√ b ​ = ​√ a b ​ 1.​√ n
n
__ n __
____
__
____
√ n m
2.​√ a ​ : ​√ b ​ = ​√ a : b ​ n
n
3.​ ​√ b ​ ​
= ​
__
√ n·m
b ​ Hinweis: Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand.
Beispiele: ___
____
_
___
a) ​√ 10 ​ · ​√ 2,7 ​
= ​√ 27 ​ = 3
3
3
3
_
_
_____
_
√ b) ​√ 50 ​ : ​√ 2 ​ = √
​ 25 ​ = 5
3
<49< Wenden Sie das passende Wurzelgesetz an und ziehen Sie dann die Wurzel.
_
_
a)​√ 3 ​ · ​√ 27 ​ _
_
b)​√ 8 ​ · ​√ 18 ​ ____
__
3
____
6
____
d)​√ 432 ​ · ​√ 0,5 ​
c)​√ 250 ​ · ​√ 4 ​ 3
3
3
<50< Wenden Sie das passende Wurzelgesetz an und ziehen Sie dann die Wurzel.
_
_
a)​√ 7,2 ​ : ​√ 0,2 ​ _____
___
b)​√ 2430 ​ : ​√ 10 ​ 5
5
___ 3 __
_____
____
d)​√ 171,5 ​ : ​√ 0,5 ​
c)​√ 96 ​ : ​√ 12 ​ 3
___
c) ​ ​√ 64 ​ ​ = ​√ 64 ​ = 2
3
3
<51< Wenden Sie das passende Wurzelgesetz an, ziehen Sie dann die Wurzel mit dem
­Taschenrechner und geben Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen gerundet an.
____
_
25 ​ ​ √√ 3
a)​ ​
_____
____
√ √ _____
_
√ √ √ 4 3 ____
b)​ ​ 100 ​ ​ 3 3 ___
c)​ ​ 91 ​ ​ d) ​ ​√ 0,4 ​ ​ 5
Beispiele: TIPP
Durch geschicktes Anwenden der
Potenz- und Wurzelgesetze lassen
sich Wurzeln oft vereinfachen.
Teilweises
_
_ Wurzelziehen:
_
_
√​ 50 ​ = √​ 25 ​ · ​√ 2 ​ = 5 · ​√ 2 ​ Anwenden
einer Kürzungsregel:
_____
___
√( √ 3
3
​ 56 ​ = ​ ​​ 52 3​​ ​ ​ =
)
__ 21
[ __ 7 3
]
52; ( ​​ ​√ a ​ )​​ ​= ​​ ​​( ​√ a ​ )​​ ​ ​​ ​= a3
7
7
<52< Zerlegen Sie den Radikanden geschickt, sodass Sie teilweise die Wurzel ziehen
­können.
_
a)​ 12 ​ √ ___
√ 3
b)​ 16 ​ <53< Vereinfachen Sie die Wurzel.
___
815 ​ a)​√ 5
___
b)​√ 78 ​ 4
<54< Vereinfachen Sie den Term.
_
√ a)​ 5 a2 ​ __ 18
e)​​( ​√ a ​ )​​ ​
6
_____
b)​√ 27 x3 ​ 3
__ 15
f)​​( ​√ a ​ )​​ ​
3
<55< Vereinfachen Sie den Term.
√ _
2 a4
a)​ ____
​ 6 ​ ​ b
√ _
a
b)​ ___
​ 49 ​ ​ ____
c)​ 125 ​ √  
__ 12
c)​​( ​√ 5 ​ )​​ ​
4
__
√ c)​ 5a2 b4 ​ ___ 20
)​​ ​
g)​​( ​√ a b ​ 4
√ _
9 a4
c)​ ____
​ 3 ​ ​ b
√ _
3
d)​ __
​ 16 ​ ​ __ 18
d)​​( ​√ 7 ​ )​​ ​
3
__
√ ___
h)​​( 6​√ x y ​ )24
​​ ​
d)​ 4 a6 · 2 b2 ​ √ √ _
_
b
3 a
27 a4 ____
b6
d)​ _____
​ 2 ​ ​ · ​ ​ 2 ​ ​
36
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Logarithmen und Logarithmengesetze
Logarithmen und Logarithmengesetze
REGEL
Für alle a . 0, a ° 1, b . 0 und cPR gilt:
— c heißt Logarithmus der Zahl b zur Basis a, wenn ac = b gilt.
c = loga b ⇔ ac = b
— c heißt dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus) der Zahl b, wenn
10c = b gilt.
c = log b (oder lg b) ⇔ 10c = b
— c heißt natürlicher Logarithmus der Zahl b, wenn ec = b gilt
(mit e = 2,718 281…).
c = ln b ⇔ ec = b (lies: logarithmus naturalis)
— Jede positive Zahl x kann als Potenz zur Basis a . 0, a ° 1 geschrieben
­werden: x = ​alog
​ ax​
<67< Bestimmen Sie die Logarithmen ohne Taschenrechner.
1
__
b) log2 ​ 8 ​
c) log2 1
a) log2 32
f) log8 4
j) log0,5 8
e) log 10 000
i) log7 ​( 715 )​
g) log9 3
<68< Bestimmen Sie die Variable.
a) loga 16 = 2
e) log2 b = 4
d) log5 125
h) log625 125
1
c) loga ​ __
7 ​ = — 1
1
g) log8 b = ​ __
3 ​
b) loga 32 = 5
f) log3 b = — 3
d) loga 125 = — 3
2
h) log7 b = ​ __
5 ​
REGEL
— Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Gesetze:
(1) loga (b · c) = loga b + loga c
(2) loga (b : c) = loga b — loga c
__
loga b
_____
(4) loga ​( ​√ b ​ )​= ​ ​
(3) loga (br) = r · loga b
n — Berechnung von beliebigen Logarithmen:
n
loga b
log b
ln b
____ ___
logc b = ​ _____
​ also z. B.: logc b = ​ ​= ​ ​
log c
log c ln c
a
— Beweis von Gesetz (1):
1. Potenz​ ac​
b · c = ​a​logab​ · ​alog
logab + loga c​
gesetz
b · c = ​a​
loga (b · c) = loga b + loga c
Beispiel: ln 90
TIPP
Mit log und ln auf dem
­ aschenrechner kann man
T
­jeden Logarithmus berechnen.
4,499 809 7
log7 90 = _____
​ ln 7 ​ø ​ __________
​ø 2,312 444 7
1,945 910 1
<69< Berechnen Sie mit dem Taschenrechner.
a) log11 250
b) log0,7 16
__
c) logπ ​√ 10 000 ​ 37
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen
REGEL
Eine Gleichung, in der die zu bestimmende Variable im Exponenten auftritt,
heißt Exponentialgleichung. Solche Gleichungen löst man, indem man zuerst
alle möglichen Term- und ­Gleichungsumformungen ausführt und dann die
Gleichungen logarithmiert. Welchen Logarithmus (z. B. den natürlichen oder
dekadischen) man dabei ­benutzt, spielt keine Rolle. Anschließend folgen wieder
die üblichen Gleichungsumformungen.
Beispiel: 4248 + 3,8 · 17 4y — 3 = 67 542
⇔
3,8 · 17 4y — 3 = 63 294
⇔
17 4y — 3 = 16 656,3158
⇔
ln ​( 17 4y — 3 )​= ln 16 656,3158
⇔
(4 y — 3) ln 17 = ln 16 656,3158
⇔
⇔
⇔
⇔
| — 4248
| : 3,8
(gerundet)
| : ln 17
ln 16 656,3158
4 y — 3 = ​ ____________
​ ln 17
| + 3
ln 16 656,3158
4 y = ​ ____________
​ + 3
ln 17
ln 16 656,3158
1 ____________
y = ​ __
​ + 3 ​
4 ​ ​ ​ ln 17
( | : 4
)
y = 1,60 773
(gerundet)
<70< Bestimmen Sie die Lösung der Exponentialgleichung.
a) 2,532x + 1 — 478 = 50 196
b) 172y — 5 = 21y
<71< Mit der Formel px = p0 · 0,88x
(p0: Luftdruck in Meereshöhe;
x: Höhe in km) lässt sich näherungsweise der
Luftdruck berechnen.
In welcher Höhe fliegt ein Flugzeug, das einen
äußeren Luftdruck von 328 hp (Hektopascal)
misst, wenn gleichzeitig auf Meereshöhe ein
Luftdruck von 1020 hp herrscht?
<72< Lena hat zu ihrem 18. Geburtstag 5000 € bekommen, die sie zu 3 % Zinsen p. a.
anlegt. Sie möchte wissen, wie lange es dauern würde, bis ihr Kapital bei gleichbleibendem Zinssatz auf 80 000 € angewachsen wäre. In ihrer Formelsammlung findet sie
p
dazu folgende Formel: Kt = K0 · qt ​ K0: Startkapital, q = 1 + ___
​ 100 ​ mit p: Zinssatz;
t in Jahren ​. Auf welches Ergebnis kommt Lena?
)
( <73< Ein Biologe forscht mit Bakterien. Eine seiner Bakterienkolonien verdreifacht bei
ungehindertem Wachstum alle 8 Stunden ihren Bestand. Der Biologe legt die Kolonie
mit 750 Bakterien an. Nach welcher Zeit kann er eine Zahl von 3 000 000 Bakterien
erwarten? Verwenden Sie zur Berechnung die Formel Bt = B0 · 3x.
Die in den Aufgaben 71 bis 73 genannten Formeln lassen sich alle auf die Formel für exponentielles Wachstum zurückführen.
Vergleichen Sie dazu das Kapitel „Exponentielles Wachstum“ auf Seite 83.