1. Rechensteine und Pythagoräischer Lehrsatz.

1. Rechensteine und Pythagoräischer
Lehrsatz.
Der Beginn der wissenschaftlichen Mathematik fällt
mit dem Beginn der Philosophie zusammen. Er kann
auf die Pythagoräer zurückdatiert werden. Die Pythagoräer waren eine Gruppe, manche sagen ein Geheimbund, die zwischen 500 - 400 v.u.Z. in Süd Italien
gewirkt hat und die eine erste Philosophie der Natur
entwickelt hat und dies war in dieser frühen Zeit dasselbe wie Naturwissenschaft (andere Philosophen in
dieser Zeit waren Thales und Anaximander von denen
wir aber nicht viel wissen). Grundlage dieser Philosophie war nun Mathematik, insbesondere die Zahlen.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
2
. Geometrie (L2)
Für die Pythagoräer waren die Zahlen die Grundlage
aller Wirklichkeit. Ihre Devise war ”Alles ist Zahl”.
Das Wort Zahl aber hatte für sie nicht nur eine quantitative sondern auch eine qualitative Bedeutung. Weiter sahen sie die Welt, wie in der Musik von harmonischen Zahlenverhältnissen bestimmt. Wir können hier
auf diese philosophische Seite nicht eingehen.
Bemerkenswert ist vielleicht die Tatsache, dass sich die
griechische Mathematik (und damit die wissenschaftliche Mathematik) nicht aus den Bedürfnissen der Anwendungen heraus entwickelt hat. Vielmehr stand am
Anfang der antiken Mathematik und damit am Anfang der wissenschaftlichen (oder der philosophischen)
Mathematik ein Spiel, das Spiel mit Rechensteinen.
Rechensteine und Zahlenreihen.
Rechensteine hatten verschiedene Farben (zumindest
schwarz und weiss) und die Aufgabe bestand darin
Rechensteine zu interessanten geometrischen Konfigurationen zu legen um mathematische Gesetzmässigkeiten zu entdecken.
Eines der ältesten überlieferten Stücke der antiken
Mathematik ist die Lehre vom Geraden und Ungeraden (die den Pythagoräern zugeschrieben wird). Sie
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
3
beginnt mit der Beobachtung, dass eine Kette von
Steinen einen Mittelstein haben kann oder nicht, und
damit kann man zwischen Gerade und Ungerade unterscheiden. Um dies anzudeuten kann man für den
Mittelstein eine besondere Farbe wählen, etwa: weiß:
gerade
ungerade
Pythagoräische Lehre vom Geraden und
Ungeraden. Die überlieferten Lehrsätze sind:
gerade + gerade = gerade
gerade + ungerade = ungerade
ungerade + ungerade = gerade
gerade × gerade = gerade
gerade × ungerade = gerade
ungerade × ungerade = ungerade.
Aufgabe. Man zeige, mit Rechensteinen, dass ungerade × ungerade = ungerade.
Lösung.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
4
. Geometrie (L2)
Für die Lösung der Aufgabe beobachte man z.B., dass
jeder Stein im Quadrat sein Gegenstück hat. Ausgenommen der Stein in der Mitte. Für ihn gibt es kein
Gegenstück. Also ist die Anzahl der Steine im Quadrat
(= das Produkt) ungerade. ♦
Mit den Spielsteinen konnte man Dreiecke, Quadrate,
Rechtecke und andere Figuren legen. Solche Figuren
nennt man figurierte Zahlen.
Einen besonders wichtigen symbolischen Wert für die
pythagoräische Mathematik, hatte die Zehnzahl. Sie
galt als vollkommen galt. Weiter wichtig war der Drusenstern, der den Pythagoräern als Erkennungszeichen diente. Diesen Drusenstern erhält man aus den
Diagonalen des Pentagons. Deshalb hat das Pentagon
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
5
(und später auch andere regularr̈e Polygone) in der
griechischen Mathematik eine wichtige Rolle gespielt.
Der Drusenstern
Die Zehnzahl
Die Pythagoräer kannten neben der Dreieckszahl 10
auch andere Dreieckszahlen. Tatsächlich bildeten sie
aus Rechensteinen eine ganze Folge von Dreieckszahlen:
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
x x
Aufgabe. Man zeige, mit Rechensteinen, dass das
n-te Dreieck 12 n(n + 1) Steine hat.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
6
. Geometrie (L2)
Lösung. Zur Lösung der Aufgabe braucht man Steine
in zwei Farben (also etwa weisse und schwarze Steine).
Dann bilde folgende Rechteckszahlen:
o
x
o
x
x
o
o
x
o o
x o
x x
x x
o
o
o
x
o o
x o
x x
x x
x x
o o
o o
o o
x o
x x
Zwei Dreieckszahlen bilden zusammen eine Rechteckszahl, eine sog. ”Heteromeke”. Das n-te Rechteck
hat
n · (n + 1)
Steine. Dreieckszahlen sind die Hälfte davon. Also
folgen die Dreickszahlen dem Bildungsgesetz
1
n(n + 1)
2
Dies löst die Aufgabe. ♦
Aufgabe. Man zeige, dass 1+3+. . .+2(n−1) = n2 .
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
7
Lösung. Die Pythagoräer betrachteten die Folge der
Quadratzahlen und machten folgende Beobachtung bei
Verwendung zwei-farbiger Spielsteinen:
x
o o
x o
o o o
x x o
x x o
o o o o
x x x o
x x x o
x x x o
Die Folge der Quadratzahlen entsteht also durch Ansetzen von sog. ”Gnomonen” (die auch bei Euklid eine
große Rolle spielen):
o o o o
o
o
o
Die Gnomone bestehen aus 2n + 1 Steinen. Die Differenzen der Quadrate bildet also die Folge aller ungeraden Zahlen. Die Summierung der ungeraden Zahlen
ist aber natürlich das Gleiche wie das letzte Quadrat.
Also
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
oder allgemeiner
n2 = 1 + 3 + . . . + (2n − 1) =
n
X
(2m − 1)
m=1
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
8
. Geometrie (L2)
Mit Hilfe der Gnomone konnten die Pythagoräer auch
Formeln für die Summe von Quadraten aufstellen. Der
nächste Satz zeigt eine etwas anspruchsvollere Anwendung der pythagoräischen Spielstein Arithmetik.
Aufgabe. Man zeige, dass 12 + 22 + . . . + n2 =
1
3 (2n + 1)(1 + 2 + . . . + n).i
Lösung.
Unterer, mittlerer und oberer Teil sind gleich
Im unteren Drittel sieht man die vier Quadrate 42 +
32 + 22 + 12 . Streckt man die Gnomone zu Strecken
aus, dann sieht man leicht, dass das untere Drittel der
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
9
schwarzen Steine gleich der Anzahl der weißen Steine
ist. Zusammen mit dem oberen Drittel erhält man:
3 · (12 + 22 + 32 + 42 ) = (2n + 1) · (1 + 2 + 3 + 4)
Daraus folgt der Satz. ♦
Verdoppeln von Seiten.
Das Problem des Verdoppelns konnte man auch mit
Rechensteien angehen.
Das nächste Bild zeigt das Ergebnis einer Seitenverdopplung beim Quadrat:
Wir sehen: bei einer Verdopplung der Seiten verdoppelt sich nicht der Inhalt sondern er vervierfacht sich.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
10
. Geometrie (L2)
Behauptung. Beim Quadrat gilt immer:
Seite ×2 ⇒ Fläche ×22 = Fläche ×4.
Bemerkung. Wie sieht das bei anderen Figuren aus.
Hier ist das Ergebnis beim Hexagon.
Die Seite ist wieder verdoppelt? Wieviel Steine hat
das rechte Hexagon?
Um die Frage zu beantworten, würden wir heute die
Steine des Hexagons auszählen. Wir erhalten 37. Das
Vierfache des linken Hexagons ist aber 28. ALso ist
der Flächeninhalt nicht verdoppelt.
Die Pythagoräer würden aber so nicht vorgehen. Zählen is verpönt.
Sie könnten stattdessen z.B. die Steine des linken Hexagons in eine Reihe legen und dann verdoppeln. Danach könnten Sie die Steine des rechten Hexagons in
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
11
eine Reihe legen und danach mit der verdoppelten
Reihe vergleichen.
Oder alternativ könnten sie ihre Lehre vom Geraden
und Ungeraden verwenden. Das rechte Hexagon hat
eine gerade Zahl von geraden Zeilen und eine ungerade Zahl von ungeraden Zeilen. Gerade mal gerade
ist gerade. Ungerade mal ungerade ist ungerade. Gerade plus ungerade isit ungerade. Also muß die Anzahl
der Steine im grossen Hexagon ungerade sein. Also
kann es nicht das Inhalts-doppelte irgendeiner anderen
Figur sein.
Dies gilt für alle Hexagone. Also ist der Inhalt eines
Seiten-verdoppelten Hexagons niemals das Vierfache
des ursprünglichen Hexagons.
Rechensteine und pythagoräische Tripel.
Beim Legen der Quadratzahlen macht man eine andere
interessante Entdeckung:
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
12
. Geometrie (L2)
Beobachte, dass man das letzte Quadrat wie folgt zerlegen kann:
=
+
=
+
Wir sehen, dass das grosse Quadrat die Summe des
kleinen Quadrats und eines Gnomons ist.
Das Gnomon wiederum ist Summe von zwei Rechtecken und einem Quadrat.
Diese Teile kann man auseinander nehmen und neu zu
einem Quadrat zusammenlegen.
Damit ist das grosse Quadrat eine Summe von zwei
Quadraten!
Alle drei Quadrate sind aus Rechensteinen gebildet
und wir haben
32 + 42 = 52
Definition. Ein Tripel (a, b, c) von Zahlen heißt
pythagoräisches Tripel, wenn
a2 + b2 = c2 .
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
13
Aufgabe. Man zeige, dass es beliebig viele Quadrate
gibt, die Summe von zwei Quadrate sind.
Lösung. Zur Lösung beobachten wir, dass das 5Quadrat noch eine andere Zerlegung hat:
Diesmal haben wir ein Gnomon der Breite 1 (statt
eines Gnomons der Breite 2). Man sieht leicht, dass
auch das neue Gnomon wieder eine Quadratzahl ist.
Und wir lesen ab:
42 + 32 = 52
Diesmal kann man aber aus der Zerlegung des Quadrats eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für pythagoräische Tripel herleiten.
Sei dazu n irgendeine ungerade Zahl, z.B. n = 5.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
14
. Geometrie (L2)
Wir sehen, dass das Gnomon aus 5 Stücken mit jeweils
5 Steinen besteht. Also ist das Gnomon ein Quadrat.
Die Summe von diesem Quadrat mit dem grauen Quadrat ist auch ein Quadrat. Also ist
122 + 52 = 132
und wir haben ein neues pythagoräisches Tripel gefunden.
Die obige Konstruktion funktioniert aber nicht nur für
n = 5, sondern für alle ungeraden Zahlen n. Somit
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
15
haben wir den allgemeinen Satz bewiesen, dass es beliebig viele pythagoräische Tripel gibt. Die Aufgabe
ist gelöst. ♦
Entdeckung des pythagoräischen Lehrsatzes.
Das Operieren mit Gnomonen führt noch zu einer weiteren allgemeinen Beobachtung. Um diese zu beschreiben, betrachte man eine beliebige Gnomon Zerlegung
eines Quadrats:
Bemerkung. Diesmal sind wir zum ersten Mal von
Rechensteinen abgegangen und benutzen vielmehr eine
geometrische Zeichnung (vielleicht eine Zeichnung im
Sand oder auf Papyros).
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
16
. Geometrie (L2)
Wir haben die Rechtecke (schraffiert) in Paare von
rechtwinkligen Dreiecken zerlegt und innerhalb des
großen Quadrats neu verschoben. Es entsteht das Bild
auf der rechten Seite.
Diesmal besteht die Zerlegung des großen Quadrats
aus 4 (schraffierten) Dreiecken und 1 (weißen) Viereck.
Die Seiten des weißen Vierecks sind alle gleich lang.
Ebenso sind seine beiden Diagonalen gleich lang. Also
ist es ein Quadrat.
Die beiden weißen Dreiecke des linken Quadrats sind
außen an das rechte Quadrat angesetzt. Ihre Summe
ist flächengleich dem weißen Quadrat der rechten Figur.
Damit gilt:
Satz von Pythagoras. Im rechtwinkligen Dreieck is
das Quadrat über der Hypothenuse gleich der Summe
der Quadrate über den Katheten. ♦
Umkehrung (vom Satz des Pythagoras).
∆ABC ein Dreieck. Dann gilt:
Sei
AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇒ 6 BAC = R := rechter Winkel
Beweis. Angenommen
6
BAC < R.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
17
Dann betrachte das folgende Bild.
H
E
A
D
B
F
C
G
Beobachte ∆DBC = ∆ABF (wegen Kongruenzssatz
SWS).
Zum Beweis des Satzes beobachte weiter, dass die gerade Linie AE die gerade Linie CA nicht geradlinig
fortsetzt, da 6 BAC 6= R und 6 EAB = R. Deshalb
ist
♦BG = ∆ABF = ∆DBC < ♦DA
Im nächsten Bild ist der hierfür relevante Teil des obigen Bildes herausgestellt:
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
18
. Geometrie (L2)
A
E
K
L
D
C
B
Wir sehen, dass ∆DBC = ♦DBLK < ♦DBAE,
wenn der Winkel 6 BAC < R und 6 EAB = R.
Ebenso zeigt man
♦GC < ♦CH
Also ist
BC 2 = ♦F C = ♦BG + ♦GC < ♦DA + ♦CH
= AB 2 + AC 2
und somit BC 2 < AB 2 + AC 2 . Widerspruch.
Ebenso erhält man einen Widerspruch zur Annahme
6 BAC > R. ♦
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
19
Bemerkung. Aus heutiger Sicht ist die Gnomon Zerlegung des Quadrats
a
b
ab
b2
b
a2
ab
a
Der binomische Lehrsatz
nichts weiter als der binomische Lehrsatz:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Was den pythagoräischen Lehrsatz betriftt, würden
wir heute in moderner Sprechweise (die aber die Pythagoräer nicht kannten) wie folgt argumentieren.
Satz von Pythagoras. In einem rechtwinkligen
Dreieck mit Hypothenuse c und Katheten a, b gilt
a2 + b2 = c2 .
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
20
. Geometrie (L2)
Beweis. Betrachte
b
a
a
b
c
c
b
a
c
c
a
b
Einfacher Beweis des Satzes von Pythagoras
Aus dem obigen Diagramm entnimmt man
c2 + 2ab = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ⇒ c2 = a2 + b2 ♦
Problem. Der Satz von Pythagoras wurde mit Rechensteien entdeckt, die obigen Beweise wurden aber
geometrisch geführt. Gibt es auch einen Beweis mit
Rechensteinen? Die Antwort zu dieser Frage ist: Nein.
Dieses Problem behandeln wir in der nächsten Vorlesung.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
21
Anhang. Die arithmetische Theorie der
pythagoräischen Tripel.
Der Vollständigkeit halber geben wir hier die komplette Auflistung aller pythagoräische Tripel. Der Beweis gehört nicht zur Geometrie, sondern zur elementaren Zahlentheorie, deshalb behandeln wir ihn nur in
einem Anhang.
Existenz.
Wenn
x := r2 − s2 , y := 2rs, z := r2 + s2
dann
x2 + y 2 = (r2 − s2 )2 + (2rs)2
= r4 − 2r2 s2 + s4 + 4r2 s2
= r4 + 2r2 s2 + s4
= (r2 + s2 )2
= z2
Damit haben wir eine unendliche Menge von pythagoräischen Tripeln (x, y, z) gefunden.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
22
. Geometrie (L2)
Wir behaupten, dass dies auch alle pythagoräischen
Tripel sind.
Vollständigkeit.
Sei (x, y, z) ein pythagoräisches Tripel.
O.B.d.A. x = ungerade und y =gerade.
(Andernfalls sind x, y, z alle gerade oder x, y beide
ungerade. Der erste Fall ist o.B.d.A. unmöglich. Im
zweiten Fall 4|x2 − 1, 4|y 2 − 1 und somit 4|z 2 − 2.
Das ist aber unmöglich, wie man leicht sieht, wenn
man gerade oder ungerade Zahlen mit sich selbst multipliziert.)
Dann ist z ungerade, da z 2 = x2 + y 2 .
Also gilt
z 2 − x2
y2
z+x z−x
·
=
=
2
2
4
4
und somit
z+x
z−x
= r2 und
= s2
2
2
z−x
und
ist 1). Er teilt nämlich
(der ggT von z+x
2
2
auch die Summe und somit z (und ebenso x). Aber
ggT (x, z) = 1.)
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§1 Pythagoräischer Lehrsatz
23
Nun ist
z+x z−x
−
= r2 − s2
2
2
y2
y = 2rs, denn
= r2 · s2
4
z+x z−x
+
= r2 + s2
z=
2
2
Dies war zu zeigen. ♦
x=
Klaus Johannson, Geometrie (L2)