Klausur zu Grundkurs IIIb fuer Physiker und Wirtschaftsphysiker

Klausur
Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom
Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik
Othmar Marti, ([email protected])
13. Februar 2003
Prüfungstermin 13. 2. 2003, 8:00 bis 10:00
Name
Vorname
Matrikel-Nummer
Kennwort
Die Prüfungsresultate werden ab 17. 2. 2003 im Sekretariat Experimentelle
Physik, N25/540, bekanntgegeben. Dabei können Sie Ihre Klausur einsehen.
Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang vor dem Sekretariat
bekanntgegeben werden kann, müssen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.
Aufgabe
Punkte
1
Note:
Vom Korrektor auszufüllen:
2
3
4
5
6
Σ
Prüfer:
Universität Ulm
13. 2. 2003 Klausur
c
1 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
1
Matrikelnummer
2
Hinweise zur Bearbeitung der Klausur
Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam
durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.
1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner und 2 Blätter (vier Seiten) mit eigener Hand in Handschrift
verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in
einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack
aufbewahrt werden!
2. Die Klausur umfaßt:
(a) 2 Blätter (4 Seiten) mit 6 Aufgaben.
(b) 1 Deckblatt und dieses Hinweisblatt.
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer aus.
4. Jede Aufgabe ergibt 6 Punkte.
5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der
Aufgabenstellung, soweit angegeben.
6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen und
Ihre Matrikelnummer sowie eine Seitennummer.
7. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer. Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf
dieses Blatt. Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch. Sollten Sie
ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden ist.
Viel Erfolg!
13. 2. 2003 Klausur
c
2 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
2
Matrikelnummer
3
Aufgaben
1. (a) Zeigen Sie, wie man aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichung
ableitet. (1 Punkt)
(b) Geben Sie eine Anordnung von zwei Objekten an, sowie die dazu
gehörenden Ladungen und/oder Ströme, die ein homogenes elektrisches und magnetisches Feld erzeugt. (0.5 Punkte)
(c) Erklären Sie mit einer Skizze die Orientierungspolarisation. Welche
Eigenschaft müssen die Atome haben? (0.5 Punkte)
(d) Erklären Sie mit einer Skizze die Verschiebungspolarisation. Welche
Eigenschaft müssen die Atome haben? (0.5 Punkte)
(e) Leiten Sie mit der Kontinuitätsgleichung und den entsprechenden Sätzen
aus der Vektoranalysis die Knotenregel von Kirchhoff ab. (1 Punkt)
(f) Die Ankerwicklung eines Motors hat N Windungen und ist rechteckig,
mit der langen Seite a und der kurzen Seite b. Die Drehachse sei parallel zu a und gehe durch die Mitte der Seiten b. Ein Magnetfeld B
sei so angeordnet, dass es senkrecht zur Achse stehe. Geben Sie den
Fluss durch die Ankerspule und die induzierte Spannung als Funktion
des sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω ändernden Drehwinkels der
Spule an. (1 Punkt)
~ und B
~ an. (0.5
(g) Geben Sie die Lorentztransformation der Felder E
Punkte)
(h) Begründen Sie, warum bei einem zeitlich sich ändernden Strom die
Stromverteilung nicht wie bei Gleichstrom homogen in einem homogenen Leiter ist. (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
2. Zur Definition: Eine Leiter besteht aus zwei Holmen, verbunden durch
Sprossen.
Die Enden des einen Holms heissen A und B, die des anderen A0 und B 0 .
- Man lötet eine sehr lange Leiter zusammen; jede Sprosse hat einen Widerstand R2 , jeder Holm hat zwischen je zwei Sprossen den Widerstand
R1 .
13. 2. 2003 Klausur
c
3 °2002
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Klausur Name:
Matrikelnummer
4
(a) Welchen Widerstand misst man zwischen den ”oberen” Enden A und
A0 ? (2.5 Punkte)
(b) Wenn man an AA0 die Spannung U legt, welche Spannung misst man
dann zwischen den Lötstellen der ersten Sprosse, (0.5 Punkte)
der zweiten Sprosse, (0.5 Punkte)
der n-ten Sprosse? (0.5 Punkte)
(c) Kann man z.B. erreichen, dass an jeder Sprosse genau halb soviel Spannung liegt wie an der vorhergehenden? (1 Punkt)
(d) Wenn man gezwungen ist, die Leiter auf wenige Sprossen zu verkürzen:
Was kann man tun, damit sich der Widerstand zwischen A und A0 und
die Spannungen an den verbleibenden Sprossen nicht ändern? Hinweis:
Wie ändert sich der Widerstand zwischen A und A0 , wenn Sie die
ohnehin schon sehr lange Leiter um eine weitere Sprosse (R2 ) und die
beiden Holmstücke (R1 ) nach oben verlängern? (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
3. Zwei Punktladungen q1 und q2 sind an der Peripherie einer mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse rotierenden Scheibe vom Radius a
diametral gegenüber befestigt. Es ist ω · a ¿ c und q1 = −q2 . Es ist
x(t) = a cos(ωt) und y(t) = a sin(ωt).
(a) Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt P (y) auf der (raumfesten) y-Achse, wobei y À a ist. (2 Punkte)
(b) Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 3a) an. (0.5 Punkte)
(c) Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt Q(z) auf der (raumfesten) z-Achse, wobei z À a ist. (1 Punkt)
(d) Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 3c) an. (0.5 Punkte)
(e) Berechnen Sie die Felder für die Anordnung aus der Aufgaben 3a),
wenn q1 = q2 ist. (1 Punkt)
(f) Berechnen Sie die Felder für die Anordnung aus der Aufgaben 3c),
wenn q1 = q2 ist. (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
13. 2. 2003 Klausur
c
4 °2002
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Klausur Name:
Matrikelnummer
5
4. Die folgende Schaltung soll berechnet werden:
Der Schalter S ist für t < 0 offen und wird bei t = 0 geschlossen. Der
Transformator ist auf einen Eisenkern mit dem Querschnitt A gewickelt.
Das Eisen bewirkt, dass das Magnetfeld B und der Fluss nur im Eisen
existiert. Die Primärwicklung hat N1 Windungen, die Sekundärwicklung
N2 Windungen. Die Spulen haben jeweils die Länge `.
(a) Geben Sie die Induktivität der Primärwicklung an. (0.5 Punkte)
(b) Geben Sie die Induktivität der Sekundärwicklung an. (0.5 Punkte)
(c) Geben Sie die Gegeninduktivität zwischen der Primär- und der Sekundärwicklung an. Drücken Sie das Resultat mit L1 und L2 aus. (0.5
Punkte)
(d) Wie lautet das Differentialgleichungssystem der Schaltung ausgedrückt
mit Strömen? (1 Punkt)
(e) Lösen Sie die Gleichung für I2 , den Strom im Sekundärkreis. (2 Punkte)
(f) Wie ändern sich der Betrag der Spannung am Widerstand R, UR und
am Kondensator C, UC in der Zeit kurz nach dem Einschalten. (1
Punkt)
(g) Wie ist das asymptotische Verhalten der Spannung am Widerstand R,
UR und am Kondensator C, UC für t → ∞? (0.5 Punkte)
Σ : 6 Punkte
5. Wir betrachten das Elektron als eine homogen geladene Kugel mit dem
Radius re , der Masse me = 9.1 · 10−31 kg und der Ladung Q = −e =
−1.6 · 10−19 C.
(a) Geben Sie an, wie man mit dem Gaussschen Gesetz das elektrische
Feld als Funktion des Abstandes r vom Ladungszentrum berechnet,
wenn die Ladung homogen über eine Kugel mit dem Radius R verteilt
ist. Die Ladungsdichte sei ρel . (1 Punkt)
(b) Geben Sie das Resultat für R < r und R > r an. (1 Punkt)
13. 2. 2003 Klausur
c
5 °2002
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Matrikelnummer
6
(c) Berechnen Sie die potentielle Energie einer homogen mit der Ladungsdichte ρel geladenen Kugelschale der Dicke dr, die zur homogen geladenen Kugel, Ladungsdichte ρel mit dem Radius R hinzugefügt wird.
(1.5 Punkte)
(d) Wie gross ist die gesamte potentielle Energie, wenn sie die homogen
geladene Kugel (Ladungsdichte ρel ) vom Radius R = 0 zum Radius
R = re aufbauen? (1 Punkt)
(e) Berechnen Sie mit der Elektronenladung −e und dem Elektronenradius re die Ladungsdichte ρel und setzen Sie sie ein. (0.5 Punkte)
(f) Der klassische Elektronenradius ist so definiert, dass die elektrostatische Selbstenergie der Ladung der relativistischen Ruheenergie entspricht. Wie gross ist der klassische Elektronenradius re ? (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
6. Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei dünnen kreisförmigen Spulen
mit dem Radius R und mit N Windungen, die hintereinander geschaltet
sind (der gleiche Strom durchfliesst beide im gleichen Umdrehungssinn).
Die Ebenen der beiden Kreise sind parallel und parallel zur yz-Ebene. Die
Kreismittelpunkte liegen auf der x-Achse bei x = −R/2 und bei x = R/2.
(a) Geben Sie für die Spule bei x = R/2 die Abhängigkeit des Magnetfeldes auf der x-Achse von x an. (1.5 Punkte)
(b) Benutzen Sie diese Gleichung, um das Magnetfeld des Helmholtz-Spulenpaares
auf der x-Achse zu berechnen. (0.5 Punkte)
(c) Berechnen Sie, dass für P = (0; 0; 0) die ersten drei Ableitungen
∂B/∂x, ∂ 2 B/∂x2 und ∂ 3 B/∂x3 . Was schliessen Sie aus dem Resultat? (2 Punkte)
(d) Nehmen Sie an, dass jede der Spulen den Radius R = 0.1m sowie
N = 300 Windungen habe. Was ist B(0), wenn Imax = 20A ist. (1
Punkt)
(e) Wie schnell muss ein Elektron sein, damit es sich in dem oben berechneten Helmholtzspulenpaar in der yz-Ebene um den Nullpunkt mit
R = 0.01m bewegt. (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
Gesamt-Σ : 36 Punkte
• µ0 = 4π · 10−7 N · A−2 = 4π · 10−7 T · m · A−1
13. 2. 2003 Klausur
c
6 °2002
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Klausur Name:
Matrikelnummer
7
−2
• ²0 = µ−1
0 c
• c = 3 · 108 m/s
• me = 9.1 · 10−31 kg
• e = 1.6 · 10−19 C
13. 2. 2003 Klausur
c
7 °2002
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Klausur Name:
3
Matrikelnummer
8
Lösung
1. Vorläufig
(a)
• 2. Maxwellgleichung
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
• Wir nehmen die Rotation:
~
~ = −rot ∂ B = − ∂ rot B
~
rot rot E
∂t
∂t
• 4. Maxwellgleichung
mit µ0 ²0 = c−2 .
• Eingesetzt:
~
~ = 1 ∂E
rot B
c2 ∂t
~
~
∂ 1 ∂E
1 ∂ 2E
~
rot rot E = −
=
−
∂t c2 ∂t
c2 ∂t2
(0.5 Punkte)
• Mit
~ = grad div E
~ − div grad E
~ = grad div E
~ − 4E
~
rot rot E
bekommt man
~
∂ 2E
~
= −c2 4E
2
∂t
(0.5 Punkte)
(b) Zwei unendlich ausgedehnte Platten, eine positiv geladen, die andere
~
negativ geladen (erzeugt das homogene E-Feld),
wobei die Ladungen
(positiv und negativ) in die gleiche Richtung fliessen (dies ergibt das
~
homogene B-Feld.
(0.5 Punkte)
(c) Die Atome müssen ein permanentes elektrisches Feld haben
(0.5 Punkte)
13. 2. 2003 Klausur
c
8 °2002
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Klausur Name:
Matrikelnummer
9
(d) Die Atome sind keine permanenten Dipole.
(0.5 Punkte)
(e)
• Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung ist
div~i (~x, t) = −
∂
ρel (~x, t)
∂t
• Die Integralform lautet (mit dem Satz von Gauss)
Z
A
~i · d~a =
Z
div~idV =
V
Z
V
∂
ρel dV
∂t
(0.5 Punkte)
• Integrieren wir über eine Fläche um den Knoten und beachten,
dass sich keine Ladungsmenge ansammeln darf (C = 0) so folgt
die Knotenregel. (0.5 Punkte)
(f)
• Der Fluss durch die Wicklung ist
φB (t) = a · b · N · B · cos(ωt)
(0.5 Punkte)
• Die induzierte Spannung ist
Uind = −
d
φB
dt
• Also:
Uind = −a · b · N · B · (−ω) · sin(ωt)
oder
Uind = a · b · N · B · ω · sin(ωt)
(0.5 Punkte)
13. 2. 2003 Klausur
c
9 °2002
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Klausur Name:
Matrikelnummer
10
(g)
Ex0 = γ (Ex + v · Bz )
Ey0 = Ey
Ez0 = γ (Ez − v · Bx )
¶
µ
v
0
Bx = γ Bx − 2 Ez
c
By0 = By
µ
¶
v
0
Bz = γ Bz + 2 Ex
c
(0.5 Punkt
(h) )
• Zeichnung:
• Bei Gleichstrom in einem zylindrischen Leiter ist das elektrische
Feld konstant über dem Querschnitt. Nach dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz ist das Magnetfeld proportional zum Abstand.
Für den Fall eines Wechselstroms mit niedriger Frequenz müssen
wir das Induktionsgesetz berücksichtigen. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die Kurve S, die auf einer Ebene, in der auch die
Zylinderachse liegt, liegt
I
S
~ · d~s = − d
E
dt
ZZ
~ · d~a
B
A(S)
• Für die eingezeichnete Schlaufe gilt
h [E(r − ∆r) − E(r)] =
13. 2. 2003 Klausur
dB̄
· h · ∆R
dt
c
10 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
11
wobei wieder B̄ das über die Fläche ∆r · h gemittelte Magnetfeld
~
ist. Da der Strom zeitabhängig ist, muss auch das E-Feld
ortsabhängig sein. Eine homogene Stromverteilung bei Wechselstrom
ist bei einem Ohmschen Leiter nicht vereinbar mit dem Induktionsgesetz. Die Taylorentwicklung liefert die betragsmässige Bedingung
∂E(r, t)
∂ B̄(r, t)
=
∂r
∂t
• Das elektrische Feld muss also bei Wechselstrom mit zunehmendem Abstand vom Radius zunehmen. Da der Gesamtstrom gegeben ist, ist die Stromdichte an der Oberfläche konzentriert. Dies
ist der Skin-Effekt. (0.5 Punkte)
2. Vorläufig
(a) Zwischen A und A0 messe man den Widerstand R für eine sehr lange
Leiter.
Aus der Tatsache, dass überhaupt etwas Endliches herauskommt, d.
h. dass der Widerstand konvergiert, folgt, dass man oben ein weiteres
Glied anlöten kann, ohne R zu ändern. (0.5 Punkte)
Die zu berechnende Schaltung ist:
R = (2R1 + R)||R2 =
R2 · (2R1 + R)
2R1 + R + R2
(0.5 Punkte)
R2 + RR2 + 2R1 R = 2R1 R2 + RR2
R2 + 2R1 R − 2R1 R2 = 0
(0.5 Punkte)
µ
¶
q
q
1
R=
−2R1 ± 4R12 + 8R1 R2 = −R1 ± R12 + 2R1 R2
2
(0.5 Punkte)
Nur die Lösung mit + ist physikalisch sinnvoll, so dass wir
13. 2. 2003 Klausur
c
11 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
Ãs
12
!
R2
1+2
−1
R1
R = R1
(0.5 Punkte)
(b)
• Legen wir zwischen A und A0 die Spannung U an, ist die Spannung
über der ersten Sprosse
³q
´
2
1 + 2R
−1
R1
q
2
1 + 2R
−1
R
R1
³q
´
q
U=
U
=
U
U1 =
2
2
R + 2R1
R1
1 + 2R
− 1 + 2R1
1 + 2R
+1
R1
R1
R1
(0.5 Punkte)
• Für die zweite Sprosse lautet die Gleichung:
q
2
2
1 + 2R
−1
R
R2
R1

 U
q
U2 =
U1 =
U
=
2
R2
R + 2R1
(R + 2R1 )
1 + 2 R1 + 1
(0.5 Punkte)
• Un berechnet man, indem man diese Formel wiederholt anwendet.
Wir benützen die Tatsache, dass der Widerstand unserer unendlich langen Leiter konstant ist.
q
2
−1
1 + 2R
R1
Un =  q
2
1 + 2R
+1
R1
n
 U
(0.5 Punkte)
(c) Wir setzen
q
2
1 + 2R
−1
1
R1
=q
2
2
1 + 2R
+1
R1
oder
s
s
R2
R2
1+2
+1=2 1+2
−2
R1
R1
(0.5 Punkte)
s
3=
1+2
9=1+2
13. 2. 2003 Klausur
R2
R1
R2
R1
c
12 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
13
R2
R1
R2 = 4R1
8=2
R ist dann R = 2R1 . (0.5 Punkte)
(d) Dieses R ist auch der Widerstand, mit dem man die kurze Leiter abschliessen muss, damit sie sich verhält wie eine lange. (1 Punkt)
3. Vorläufig
(a)
~ r, t) = − q 2 ~a⊥ (t0 ) wobei t0 = t − r/c
• Das Strahlungsfeld ist E(~
4π²0 c
r
und a⊥ die Beschleunigungskomponente senkrecht zur Beobachtungsruichtung ist. (0.5 Punkte)
• Nur die x-Komponente zählt. a⊥,1 = ax,1 = −aω 2 cos(ωt) für die
erste Ladung und a⊥,2 = ax,2 = aω 2 cos(ωt) für die zweite Ladung.
(0.5 Punkte)
• Da y À a ist r = a.
•
Ex (y) = −
h
i
1
2
2
−q
aω
cos(ω(t
−
r/c))
+
q
aω
cos(ω(t
−
r/c))
1
2
4π²0 c2 y
=
1
(q1 − q2 ) aω 2 cos(ω(t − r/c))
4π²0 c2 y
(1 Punkt)
(b) (0.5 Punkte)
(c)
• Hier ist die wirksame Beschleunigung sowohl in der x- wie auch
in der y-Richtung.
• ax und ay sind um π/2 phasenverschoben. (0.5 Punkte)
• zÀa
•
1
(q1 − q2 ) aω 2 cos(ω(t − r/c))
Ex (z) =
4π²0 c2 z
und
1
Ey (z) =
(q1 − q2 ) aω 2 sin(ω(t − r/c))
4π²0 c2 z
(0.5 Punkte)
• Dies ist eine zirkular polarisierte Strahlung.
(d) (0.5 Punkte)
(e) Wenn q1 = q2 dann ist Ex (y) = 0 (1 Punkt)
13. 2. 2003 Klausur
c
13 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
14
(f) Wenn q1 = q2 dann ist Ex (z) = Ey (z) = 0 (1 Punkt)
4. Vorläufig
N12
A. (0.5
`
2
N
L2 = µµ0 `2 A. (0.5
M12 = µµ0 N1`·N2 A =
(a) Die Induktivität ist L1 = µµ0
Punkte)
(b) Die Induktivität ist
Punkte)
√
L1 · L2 . (0.5 Punkte)
(c) Die Induktivität ist
(d)
• Das durch den Transformator übertragene Signal ist eine EMK.
(0.5 Punkte)
• Im Primärkreis haben wir
U (t) + M12 I˙2 = I1 R + L1 I˙1
(0.5 Punkte)
• Im Sekundärkreis haben wir
M12 I˙1 = L2 I˙2 +
Q
C
M12 I¨1 = L2 I¨2 +
I2
C
mit Q̇ = I2
• oder
(0.5 Punkte)
(e)
• Wir leiten die Gleichung des Primärkreises zweimal ab und ersetzen I1 mit der Gleichung für den Sekundärkreis.
•
d2 U (t)
d3 I2 d2 I1
d3 I1
=
−M
+
R
+
L
12
1
dt2
dt3
dt2
dt3
(0.5 Punkte)
• Da U (t) für t 6= 0 konstant ist, ist die U (t) überall ausser bei t = 0
null.
• Wir haben
L2 d2 I2
I2
d2 I1
=
+
2
2
dt
M12 dt
CM12
und
d3 I1
L2 d3 I2
1 dI2
=
+
dt3
M12 dt3
CM12 dt
•
"
#
"
I2
L2 d3 I2
1 dI2
d3 I2
L2 d2 I2
+
R+L
+
0 = −M12 3 +
1
dt
M12 dt2
CM12
M12 dt3
CM12 dt
13. 2. 2003 Klausur
c
14 °2002
University Ulm, Othmar Marti
#
Klausur Name:
Matrikelnummer
15
• Wir sammeln die Ableitungen gleicher Ordnung
·
¸
L1 · L2 d3 I2 R · L2 d2 I2
L1 dI2
R · I2
0 = −M12 +
+
+
+
3
2
M12
dt
M12 dt
CM12 dt
CM12
(0.5 Punkte)
2
• Nun ist L1 · L2 = M12
. Damit ist der Vorfaktor der dritten AbleiL1 ·L2
tung −M12 + M12 = 0
• Die Differentialgleichung lautet also
0 = R · L2
• oder
0=
d2 I2 L1 dI2 R · I2
+
+
dt2
C dt
C
d2 I2
L1 dI2
1
+
+
I2
2
dt
RCL2 dt
CL2
(0.5 Punkte)
• Dies ist die gewöhnliche Schwingungsdifferentialgleichung. Wir setzen I2 (t) = I2,0 eiωt
• Die Lösung ist
√
ω0 =
1L2 C
ω = ω0
v
u
u
t
µ
L1
1−
2CRL2
s
¶2
CL2 = ω0 1 −
L21
4CL2 R2
I2 (t) = I2,0 e−L1 t/(2RCL2 )
(0.5 Punkte)
(f) Für kleine Zeiten nimmt I1 linear zu, ebenso I2 und UR (0.5 Punkte)
. UC nimmt quadratisch zu (lineare Zunahme für konstanten Strom)
(0.5 Punkte) .
(g) Für grosse Zeiten geht I1 → 0 und damit auch UR → 0. Damit ist
auch UC → 0. (0.5 Punkte)
5. Vorläufig
(a) Das Gausssche Gesetz auf diesen Fall angewandt lautet:
Z
Z
ρel dV = ²0
V
~ · d~r
E
A(V )
(1 Punkt)
13. 2. 2003 Klausur
c
15 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
(b)
Matrikelnummer
• Für R < r gilt
4π 3
R ρel = ²0 · 4πr2 E
3
oder
E=
(0.5 Punkte)
• Für r < R gilt
16
R3 ρel
3²0 r2
4π 3
r ρel = ²0 · 4πr2 E
3
oder
E=
rρel
3²0
(0.5 Punkte)
(c)
• Die potentielle Energie einer Probeladung q im Abstand R von
der Ladung Q ist:
Epot (q, R) =
1 q·Q
4π²0 R
(0.5 Punkte)
• Mit Q = 4π
R3 ρe l bekommt man
3
1
Epot (q, R) =
4π²0
4π 3
R ρel
3
R
q=
1 2
R ρel q
3²0
(0.5 Punkte)
• Mit q = 4πR2 · dr · ρel bekommt man
dEpot (R) =
1 2
4π 4 2
R ρel 4πR2 · dr · ρel =
R ρel · dr
3²0
3²0
(0.5 Punkte)
(d)
• Wir erhalten
Zre
Epot (re ) =
0
(0.5 Punkte)
• sowie
Epot (re ) =
4π 4 2
r ρel · dr
3²0
4π 5 2
r ρ
15²0 e el
(0.5 Punkte)
13. 2. 2003 Klausur
c
16 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
(e)
Matrikelnummer
• Wir setzen ρel =
−3e
4πre3
17
und erhalten
Ã
4π 5 −3e
Epot (re ) =
r
15²0 e 4πre3
• und
Epot (re ) =
!2
3e2
20π²0 re
(0.5 Punkte)
(f)
• Es ist
me c2 =
3e2
20π²0 re
• Mit ²0 = 1/(µ0 c2 ) erhalten wir
me c2 =
3µ0 c2 e2
20πre
(0.5 Punkte)
• Damit ist der klassische Elektronenradius
re =
3µ0 e2
= 1.687912088 · 10−15 m
20πme
(0.5 Punkte)
6. Vorläufig
(a)
• Aus Symmetriegründen ist B auf der x-Achse parallel zu x.
• Gesetz von Biot-Savart:
~ =
dB
(0.5 Punkte)
• Dann ist
µ0 Id~` × (~r/r)
4π
r2
¯
¯
µ0
¯ ~¯
³
¯dB ¯ =
4π
IN d`
R2
+ (x − R/2)2
´
• Die x-Komponente ist
dBx =
µ0
IN d`
R
³
´q
2
4π R2 + (x − R/2)
R2 + (x − R/2)2
(0.5 Punkte)
13. 2. 2003 Klausur
c
17 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
• Das Integral
H
18
d` = 2πR, so dass
Bx =
µ0
IN R2
³
´
2 R2 + (x − R/2)2 3/2
(0.5 Punkte)
(b)
• Wir ersetzen bei der zweiten Spule (x − R/2) durch (x + R/2):
Bx =
µ0
IN R2
³
´
2 R2 + (x + R/2)2 3/2
• Also

2
Bx =
µ0 IN R 
1
³
´3/2 +
2
R2 + (x + R/2)2

³
1

R2 + (x − R/2)
´ 
2 3/2
(0.5 Punkte)
(c)
• Erste Ableitung:


2
2x + R
∂Bx
−3µ0 IN R 
2x − R

=
³
´5/2 + ³
´5/2 
2
2
∂x
4
R2 + (x + 1/2 R)
R2 + (x − 1/2 R)
Damit
∂Bx
(0) = 0
∂x
(0.5 Punkte)
• Zweite Ableitung:

³
´
µ0 IN R2  15
∂ 2 Bx
(2 x + R)2
2 −5/2
2
=
−
3
R
+
(x
+
1/2
R)

³
´
∂x2
2
4 R2 + (x + 1/2 R)2 7/2

2
+
³
15
(2 x − R)
− 3 R2 + (x − 1/2 R)2
³
´
4 R2 + (x − 1/2 R)2 7/2
Damit
´−5/2


∂ 2 Bx
(0) = 0
∂x2
(0.5 Punkte)
13. 2. 2003 Klausur
c
18 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
19
• Zweite Ableitung:

∂ Bx
µ0 IN R  105
(2 x + R)3
45
2x + R
=
−
³
´9/2 +
³
´
2
2
∂x
2
8 R2 + (x + 1/2 R)
2 R2 + (x + 1/2 R)2 7/2
2
2

3
−
45
105
(2 x − R)
2x − R

³
´9/2 +
³
´7/2 
2
2
8 R2 + (x − 1/2 R)
2 R2 + (x − 1/2 R)
Damit
∂ 3 Bx
(0) = 0
∂x3
(0.5 Punkte)
• Das Magnetfeld in der x-Richtung ist deshalb sehr homogen. (0.5
Punkte)
(d)
"
4π · 10−7 TA·m · 20A · 300 · 0.12 m2
1
B(0) =
2
2
(0.12 m2 + 0.052 m2 )3/2
#
= 0.05395057712T
(1 Punkt)
(e)
• Wir nehmen an, dass das Magnetfeld homogen ist.
• Betragsmässig: FL = evB = Fz = me v 2 /r
• Damit v = eBr/me = 1.6 · 10−19 C · 0.05395057712T · 0.01m/9.1 ·
10−31 kg = 94858157.57m/s = 0.3161938586c (1 Punkt)
13. 2. 2003 Klausur
c
19 °2002
University Ulm, Othmar Marti
Klausur Name:
4
Matrikelnummer
20
Notenskala
Punkte
Note
0-11,5
5
12-12,5
4
13-13,5
3,7
14-14,5
3,3
15-15,5
3
16-16,5
2,7
17-17,5
2,3
18-18,5
2
19-19,5
1,7
20-20,5
1,3
21-36
1
Anzahl
13. 2. 2003 Klausur
c
20 °2002
University Ulm, Othmar Marti